【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质、4.4单位圆的对称性与诱导公式 新人教A版必修4.doc
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1、14.34.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.44.4 单位圆的对称性与诱导公式单位圆的对称性与诱导公式,)1问题导航(1)由于与的终边关于x轴对称,故若与的终边关于x轴对称,则必有,这样说对吗?(2)角与角的所有三角函数值都相等,则与有什么关系?(3)在应用诱导公式时,公式中的角必须是锐角吗?2例题导读P20例 3.通过本例学习,学会利用与,与,与的正弦、余弦函数关系求三角函数值试一试:教材 P20练习 1T1你会吗?P22例 4.通过本例学习,学会利用诱导公式求三角函数值试一试:教材 P23习题 14A 组 T2你会吗?P22例 5.通过本例学
2、习,学会利用诱导公式化简三角函数式试一试:教材 P24习题 14A 组 T8你会吗?1根据单位圆理解正弦函数ysinx的性质根据正弦函数ysinx的定义,我们不难从单位圆看出函数ysinx有以下性质:(1)定义域是 R R;(2)最大值是 1,最小值是1,值域是1,1;(3)它是周期函数,其周期是 2k(kZ,k0),最小正周期为 2;(4)正弦函数ysinx在区间0,2,2k-2,2k+32(kZ)上是增加的,在区间2k+2,2k+32(kZ)上是减少的2特殊角的终边的对称关系(1)的终边与角的终边关于原点对称;(2)的终边与角的终边关于x轴对称;(3)的终边与角的终边关于y轴对称3诱导公式
3、(1)sin(2k)sin_,cos(2k)cos,.(1.8)(2)sin()sin_,cos()cos.(1.9)(3)sin(2)sin,cos(2)cos_(1.10)(4)sin()sin,cos()cos_(1.11)(5)sin()sin_,cos()cos.(1.12)(6)sin2cos_,cos2sin.(1.13)2(7)sin2cos,cos2sin_(1.14)1判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)由公式(1.9)知 cos()cos()()(2)在ABC中,sin(AB)sinC()(3)sin2 cos.()(4)若为第二象限角,则 sin2cos.()(
4、5)sin4cos4.()解析:(1)错误由公式(1.9)知 cos()cos(),故 cos()cos()是不正确的(2)正确因为ABC,所以ABC,所以 sin(AB)sin(C)sinC.(3)错误因为 sin2 sin2cos,所以 sin2 cos是错误的(4)正确诱导公式中的角为任意角,在化简时先限定为锐角(5)正确因为442,所以成立答案:(1)(2)(3)(4)(5)2已知 sinx13,则 cosx2()A.13B.2 23C.23D13解析:选 A.cosx2 cos 2xcos2xsinx13.3化简cos2cos(2)sin32sin()sin32_解析:原式sinco
5、s sin2sin(cos)sincoscos sincoscos.答案:cos3对正弦、余弦函数诱导公式的理解(1)利用诱导公式,可以将任意角的正弦、余弦函数问题转化为锐角的正弦、余弦函数问题具体步骤是:首先将任意负角的三角函数利用公式转化为任意正角的三角函数,其次转化为 0360的三角函数,然后转化为锐角的三角函数,最后运用特殊角的三角函数值求值步骤可简记为“负化正,大化小,化到锐角再求值”如:cos203cos203cos623cos23cos3 cos312.(2)所有诱导公式可用口诀“奇变偶不变,符号看象限”来记忆,其中:“变”与“不变”是指互余的两个角的三角函数名改变“奇”、“偶”
6、是对k2中的整数k来讲的“象限”指k2中,将看作锐角时,k2所在象限,再根据“一全正,二正弦,四余弦”的符号规律确定原函数值符号例如,将 cos2写成 cos12,因为 1 是奇数,则“cos”变为正弦函数符号“sin”,又将看作锐角时,2是第二象限角,cos2的符号为“”,故有 cos2sin.给角求值求下列各角的三角函数值:(1)cos(1 290);(2)sin 1 230;(3)cos294;(4)sin54cos6 sin193cos34.(链接教材 P22例 4)解(1)cos(1 290)cos 1 290cos(2103360)cos 210cos(18030)cos 3032
7、.(2)sin 1 230sin(1503360)sin 150sin(18030)sin 3012.4(3)cos294cos546cos54cos4 cos422.(4)sin54cos6 sin193cos34sin4 cos6sin36cos4sin4cos6sin3cos4223232 22 0.方法归纳求正弦、余弦函数值的一般步骤1(1)代数式 sin 120cos 210的值为()A34B.34C32D14(2)求下列各三角函数式的值:sin 1 320;cos316.解:(1)选 A.由诱导公式可得,sin 120cos 210sin 60(cos 30)323234,故选 A
8、.(2)法一:sin 1 320sin(3360240)sin 240sin(18060)sin 6032.法二:sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin 6032.法一:cos316cos3165cos476cos6 cos632.法二:cos316cos656cos6 cos632.给值求值(1)已知 sin3x35,则 cosx6()A.35B.45C35D45(2)已知 sinx6 14,则 sin56xcos23x_(链接教材 P23练习 2 T3,P24习题 14B 组 T1)解析(1)由3xx6 2,故x623x,有 cosx6cos2
9、3xsin3x35.(2)因为x6 56x,所以 sin56xsin x6sinx6 14.又因为x6 3x2,所以 cos3xcos2x66sinx6 14.所以 sin56xcos23x14116516.答案(1)A(2)516若本例(1)中条件不变,求“cos56x”解:因为56x3x2,故56x23x,cos56xcos23xsin3x35.方法归纳(1)解答这类给值求值的问题,首先应把所给的值进行化简,再结合被求值的式子的特点,观察所给值的式子与被求式的特点,找出它们之间的内在联系,特别是角之间的关系,恰当地选择诱导公式(2)常见的角之间的关系有362;442;ABC,ABC22(A
10、,B,C是ABC的三个内角)等2(1)已知 sin5235,那么 cos()A25B35C.35D25(2)已知 cos632,求 cos56的值解:(1)选 C.sin52sin22sin2cos35.7(2)cos56cos 6cos632.利用诱导公式化简式子设k为整数,化简下面的式子:sin(k)cos(k1)sin(k1)cos(k).解法一:当k为偶数时,设k2m(mZ Z),则原式sin(2m)cos(2m1)sin(2m1)cos(2m)sin()cos()sin()cos(sin)(cos)sincos1;当k为奇数时,可设k2m1(mZ Z),同理可得,原式1.故不论k为奇
11、数还是偶数,原式1.法二:由(k)(k)2k,(k1)(k1)2k,得sin(k)sin(k),cos(k1)cos(k1)cos(k),sin(k1)sin(k)故原式sin(k)cos(k)sin(k)cos(k)1.方法归纳(1)化简三角函数式的过程,实质上是“统一角”“统一函数名”的过程,所以在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函数名”的分析方法(2)化简三角函数式时,若遇到k的形式时,需分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论,然后再正确运用诱导公式进行化简常见的一些关于参数k的结论有sin(k)(1)ksin(kZ Z)cos(k)(1)kcos(kZ Z)sin(k)(1)k1s
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