【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质、4.4单位圆的对称性与诱导公式 新人教A版必修4.doc

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1、14.34.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.44.4 单位圆的对称性与诱导公式单位圆的对称性与诱导公式,)1问题导航(1)由于与的终边关于x轴对称，故若与的终边关于x轴对称，则必有，这样说对吗？(2)角与角的所有三角函数值都相等，则与有什么关系？(3)在应用诱导公式时，公式中的角必须是锐角吗？2例题导读P20例 3.通过本例学习，学会利用与，与，与的正弦、余弦函数关系求三角函数值试一试：教材 P20练习 1T1你会吗？P22例 4.通过本例学习，学会利用诱导公式求三角函数值试一试：教材 P23习题 14A 组 T2你会吗？P22例 5.通过本例学

2、习，学会利用诱导公式化简三角函数式试一试：教材 P24习题 14A 组 T8你会吗？1根据单位圆理解正弦函数ysinx的性质根据正弦函数ysinx的定义，我们不难从单位圆看出函数ysinx有以下性质：(1)定义域是 R R；(2)最大值是 1，最小值是1，值域是1，1；(3)它是周期函数，其周期是 2k(kZ，k0)，最小正周期为 2；(4)正弦函数ysinx在区间0，2，2k-2，2k+32(kZ)上是增加的，在区间2k+2，2k+32(kZ)上是减少的2特殊角的终边的对称关系(1)的终边与角的终边关于原点对称；(2)的终边与角的终边关于x轴对称；(3)的终边与角的终边关于y轴对称3诱导公式

3、(1)sin(2k)sin_，cos(2k)cos，.(1.8)(2)sin()sin_，cos()cos.(1.9)(3)sin(2)sin，cos(2)cos_(1.10)(4)sin()sin，cos()cos_(1.11)(5)sin()sin_，cos()cos.(1.12)(6)sin2cos_，cos2sin.(1.13)2(7)sin2cos，cos2sin_(1.14)1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)由公式(1.9)知 cos()cos()()(2)在ABC中，sin(AB)sinC()(3)sin2 cos.()(4)若为第二象限角，则 sin2cos.()(

4、5)sin4cos4.()解析：(1)错误由公式(1.9)知 cos()cos()，故 cos()cos()是不正确的(2)正确因为ABC，所以ABC，所以 sin(AB)sin(C)sinC.(3)错误因为 sin2 sin2cos，所以 sin2 cos是错误的(4)正确诱导公式中的角为任意角，在化简时先限定为锐角(5)正确因为442，所以成立答案：(1)(2)(3)(4)(5)2已知 sinx13，则 cosx2()A.13B.2 23C.23D13解析：选 A.cosx2 cos 2xcos2xsinx13.3化简cos2cos（2）sin32sin（）sin32_解析：原式sinco

5、s sin2sin（cos）sincoscos sincoscos.答案：cos3对正弦、余弦函数诱导公式的理解(1)利用诱导公式，可以将任意角的正弦、余弦函数问题转化为锐角的正弦、余弦函数问题具体步骤是：首先将任意负角的三角函数利用公式转化为任意正角的三角函数，其次转化为 0360的三角函数，然后转化为锐角的三角函数，最后运用特殊角的三角函数值求值步骤可简记为“负化正，大化小，化到锐角再求值”如：cos203cos203cos623cos23cos3 cos312.(2)所有诱导公式可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，其中：“变”与“不变”是指互余的两个角的三角函数名改变“奇”、“偶”

6、是对k2中的整数k来讲的“象限”指k2中，将看作锐角时，k2所在象限，再根据“一全正，二正弦，四余弦”的符号规律确定原函数值符号例如，将 cos2写成 cos12，因为 1 是奇数，则“cos”变为正弦函数符号“sin”，又将看作锐角时，2是第二象限角，cos2的符号为“”，故有 cos2sin.给角求值求下列各角的三角函数值：(1)cos(1 290)；(2)sin 1 230；(3)cos294；(4)sin54cos6 sin193cos34.(链接教材 P22例 4)解(1)cos(1 290)cos 1 290cos(2103360)cos 210cos(18030)cos 3032

7、.(2)sin 1 230sin(1503360)sin 150sin(18030)sin 3012.4(3)cos294cos546cos54cos4 cos422.(4)sin54cos6 sin193cos34sin4 cos6sin36cos4sin4cos6sin3cos4223232 22 0.方法归纳求正弦、余弦函数值的一般步骤1(1)代数式 sin 120cos 210的值为()A34B.34C32D14(2)求下列各三角函数式的值：sin 1 320；cos316.解：(1)选 A.由诱导公式可得，sin 120cos 210sin 60(cos 30)323234，故选 A

8、.(2)法一：sin 1 320sin(3360240)sin 240sin(18060)sin 6032.法二：sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin 6032.法一：cos316cos3165cos476cos6 cos632.法二：cos316cos656cos6 cos632.给值求值(1)已知 sin3x35，则 cosx6()A.35B.45C35D45(2)已知 sinx6 14，则 sin56xcos23x_(链接教材 P23练习 2 T3，P24习题 14B 组 T1)解析(1)由3xx6 2，故x623x，有 cosx6cos2

9、3xsin3x35.(2)因为x6 56x，所以 sin56xsin x6sinx6 14.又因为x6 3x2，所以 cos3xcos2x66sinx6 14.所以 sin56xcos23x14116516.答案(1)A(2)516若本例(1)中条件不变，求“cos56x”解：因为56x3x2，故56x23x，cos56xcos23xsin3x35.方法归纳(1)解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式(2)常见的角之间的关系有362；442；ABC，ABC22(A

10、，B，C是ABC的三个内角)等2(1)已知 sin5235，那么 cos()A25B35C.35D25(2)已知 cos632，求 cos56的值解：(1)选 C.sin52sin22sin2cos35.7(2)cos56cos 6cos632.利用诱导公式化简式子设k为整数，化简下面的式子：sin（k）cos（k1）sin（k1）cos（k）.解法一：当k为偶数时，设k2m(mZ Z)，则原式sin（2m）cos（2m1）sin（2m1）cos（2m）sin（）cos（）sin（）cos（sin）（cos）sincos1；当k为奇数时，可设k2m1(mZ Z)，同理可得，原式1.故不论k为奇

11、数还是偶数，原式1.法二：由(k)(k)2k，(k1)(k1)2k，得sin(k)sin(k)，cos(k1)cos(k1)cos(k)，sin(k1)sin(k)故原式sin（k）cos（k）sin（k）cos（k）1.方法归纳(1)化简三角函数式的过程，实质上是“统一角”“统一函数名”的过程，所以在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函数名”的分析方法(2)化简三角函数式时，若遇到k的形式时，需分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论，然后再正确运用诱导公式进行化简常见的一些关于参数k的结论有sin(k)(1)ksin(kZ Z)cos(k)(1)kcos(kZ Z)sin(k)(1)k1s

12、in(kZ Z)cos(k)(1)kcos(kZ Z)3化简下列各式(1)cos（）sin（2）sin（）cos（）；(2)cos 190sin（210）cos（350）sin（585）.解：(1)原式cossinsin（）cos（）cossinsincos1.(2)原式cos（18010）sin（18030）cos（36010）sin（360225）cos 10sin 30cos 10（sin 225）8sin 30sin 45122222.易错警示诱导公式记忆不清导致出错求 sin314的值解sin314sin314sin84sin4 sin422.错因与防范(1)对“奇变偶不变，符号看象

13、限”的理解错误易出现 sin734cos34，是不成立的(2)诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角函数的化简求值，证明中经常使用，因此必须熟记公式4(1)化简：sin（n）sin（n）sin（n）cos（n）(nZ Z)_(2)化简sin（2）cos（）cos2cos112cos（）sin（3）sin（）sin92.解：(1)当n为偶数时，设n2k，kZ Z，原式sin（2k）sin（2k）sin（2k）cos（2k）2cos；当n为奇数时，设n2k1，kZ Z，原式sin（2k1）sin（2k1）sin（2k1）cos（2k1）2cos.故填2cos，n为偶数，2cos，n为奇数.(2

14、)原式（sin）（cos）（sin）cos 52（cos）sin（）sin（）sin 429sin2coscos2（cos）sin（sin）sin2sin2cossincossin2cossincos.1sin 210()A.32B32C.12D12解析：选 D.sin 210sin(18030)sin 3012.2已知 cos633，则 cos116_解析：cos116cos 26cos633.答案：333化简：sin（）cos（）sin32cos（3）sin（3）sin52_解析：原式sin（cos）（cos）（cos）（sin）cos1.答案：1,学生用书单独成册)A.基础达标1如果 s

15、in()12，则 cos32()A12B12C32D32解析：选 A.因为12sin()sin，10所以 sin12，所以 cos32sin12.2.下列三角函数中，与sin3数值相同的是()sinn43；cos2n6；sin2n3；cos（2n1）6；sin（2n1）3(nZ Z)ABCD解析：选 C.中n为偶数时，sinn43sin3；中 cos2n6 cos6sin3；中 sin2n3 sin3；中 cos（2n1）6 cos6sin3；中 sin（2n1）3 sin3 sin3.故正确3已知 sin5215，那么 cos()A25B15C.15D25解析：选 C.sin52cos，故

16、cos15，故选 C.4已知 600角的终边上有点P(a，3)，则a的值为()A.3B 3C.33D33解析：选 B.cos 600cos(360240)cos 240cos(18060)cos 6012，而 cos 600aa29，11所以aa2912，所以a0.解得a 3.5.cos203()A.12B32C12D32解析：选 C.cos203cos203cos623cos23cos3 cos312.6.已知 sin6x35，则 cosx3 _解析：因为6xx3 2，所以 cosx3 cos26xsin6x35.答案：357化简sin（150）cos（210）cos（420）cos（600

17、）sin（1 050）的值等于_解析：原式（sin 150）cos 210cos 420cos 600（sin 1 050）sin（18030）cos（18030）cos（36060）cos（720120）sin（1 08030）sin 30（cos 30）cos 60cos 120（sin 30）sin 30cos 30cos 60sin 30sin 30123212121232.答案：328.计算：cos7cos27cos37cos47cos57cos67_12解 析：原 式 cos7cos67cos27cos57cos37cos47cos7cos7cos27cos27cos37cos37

18、cos7cos7 cos27cos27cos37cos370.答案：09.化简 cos(nx)cos(nx)(nZ)解：当n为奇数时，设n2k1(kZ)，原式cos(2k1)xcos(2k1)xcos(x)cos(x)cosxcosx2cosx；当n为偶数时，设n2k(kZ)，原式cos(2kx)cos(2kx)cos xcos(x)2cosx，故原式2cosx，n为奇数，2cosx，n为偶数.10.计算下列各式的值：(1)cos5cos25cos35cos45；(2)sin 420cos 330sin(690)cos(660)解：(1)原式cos5cos45cos25cos35cos5cos

19、5cos25cos25cos5cos5 cos25cos250.(2)原式sin(36060)cos(36030)sin(236030)cos(236060)sin 60cos 30sin 30cos 60323212121.B.能力提升1在ABC中，若 sin(ABC)sin(ABC)，则ABC必是()A等腰三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D等腰直角三角形解析：选 C.因为 sin(ABC)sin(ABC)，所以 sin(2C)sin(2B)，即 sin 2Csin 2B，所以 2C2B或 2C2B，即CB或CB2，所以ABC是等腰或直角三角形2 设函数f(x)(xR R)满足f(x)f

20、(x)sinx 当 0 x时，f(x)0，则f236()A.12B3213C0D12解析：选 A.因为f(x)f(x)sinx，所以f(x2)f(x)sinx.所以f(x2)f(x)sinxsinxf(x)所以f(x)是以 2为周期的周期函数又f236f46 f6，f6f6 sin6，所以f56f6 12.因为当 0 x时，f(x)0，所以f560，所以f236f6 12.故选 A.3若是三角形的一个内角，且 cos32cos6，则_解析：因为 cos32sin32，所以 sin32.又因为是三角形的一个内角，所以3或23.答案：3或234若函数f(x)asin(x)bcos(x)，其中a，b

21、，都是非零实数，且满足f(2 014)2，则f(2 015)_解析：因为f(2 014)asin(2 014)bcos(2 014)2，所以f(2 015)asin(2 015)bcos(2 015)asin(2 014)bcos(2 014)asin(2 014)bcos(2 014)2.答案：25已知f()sin（3）cos（2）sin32cos（）sin（）.(1)化简f()；(2)若为第四象限角且 sin3215，求f()的值；(3)若313，求f()解：(1)f()（sin）cos（cos）（cos）sincos.14(2)因为 sin32sin2 cos15，所以f()cos15.

22、(3)f313cos313cos6253cos53cos312.6(选做题)已知f(k)sink4，kZ Z.(1)求证：f(1)f(2)f(8)f(9)f(10)f(16)；(2)求f(1)f(2)f(2 015)的值解：(1)证明：因为 sink4sin2k4sink84(kZ Z)，所以f(k)f(k8)，所以f(1)f(2)f(8)f(9)f(10)f(16)(2)由(1)可知f(k)是以 8 为一个周期的周期函数，而 2 01525187，所以f(1)f(2)f(2 015)251f(1)f(2)f(8)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)又因为f(1)f(2)f(8)sin4sin24sin840，所以f(1)f(2)f(2 015)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)sin4sin24sin34sin44sin54sin64sin74sin4sin2sin34sin sin4sin2sin34sin 0.