【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第23讲 方案优化型综合问题（含详解）.doc

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1、方案优化型综合问题题型预测寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现范例选讲例1某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元（）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？讲解：（）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所

2、以这时租出了88辆车（）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：整理得：所以，当时，最大，最大值为307050即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围例2某工厂生产容积为立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料每平方米30元，制造侧面的材料每平方米20元，设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计() 把制造容器的成本y（元）表示成容器底面半径x（米）的函数，并指出当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；() 若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于2（米），此时最低成本为多少元？（精确到1元）

3、讲解：（）设圆柱形容器的高为h，则所以，因为，所以，等号当且仅当，即时取得() 当时，由（）可知，不能利用均值不等式来求解的最小值，所以，我们可以考虑函数的单调性任取，且设，则，由于，所以，所以，所以，函数在区间上单调递增所以，当时，取得最小值为：（元）点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件例3小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：项目1年期2年期3年期5年期年利率1.98%2.25%2.52%2.79%利息税为20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大请说明理由讲解：小红父母存款的方式可以有多种选

4、择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行为叙述方便，用表示把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期所得本息和如：表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和首先，可以考虑下面的问题：是否成立？即把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期与先存一次m年期，再存一次n年期，所得本息和是否相同？因为，所以，根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：，方法之一是直接计算，但运算量相对较大为此，我们可以考虑下面的办法：（1）比较与的大小关系：因为，所以，所以，只需考虑上述八种情况中的：，（2）比较和的大小，所以，所以，只需比较，因为：，所以，最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多这与我们通常的认识是一致的点评：本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程4