第八章矩阵特征值PPT讲稿.ppt

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1、第八章矩阵特征值第1页，共62页，编辑于2022年，星期三2.幂法和反幂法.一、幂法 求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。第2页，共62页，编辑于2022年，星期三第3页，共62页，编辑于2022年，星期三第4页，共62页，编辑于2022年，星期三第5页，共62页，编辑于2022年，星期三第6页，共62页，编辑于2022年，星期三第7页，共62页，编辑于2022年，星期三两种特殊情况第8页，共62页，编辑于2022年，星期三第9页，共62页，编辑于2022年，星期三幂法小结第10页，共62页，编辑于2022年，星期三二、幂法的加速 因为

2、幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值 ，当比值接近于1时，幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍 两种。第11页，共62页，编辑于2022年，星期三第12页，共62页，编辑于2022年，星期三第13页，共62页，编辑于2022年，星期三第14页，共62页，编辑于2022年，星期三第15页，共62页，编辑于2022年，星期三第16页，共62页，编辑于2022年，星期三（三）、瑞利商加速定义：设A为n阶实对称矩阵，对于任一非零向量x，称为对应向量x的瑞利（Rayleigh)商。（P298）定理定理14：设：设为对称矩阵，特征值得满足对应的特征向量满足 ，应用幂法计算A的主特征值 ，则规范化向量的瑞利

3、商给出的较好近似（P307）第17页，共62页，编辑于2022年，星期三三、反幂法 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方 法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。第18页，共62页，编辑于2022年，星期三第19页，共62页，编辑于2022年，星期三反幂法的一个应用第20页，共62页，编辑于2022年，星期三第21页，共62页，编辑于2022年，星期三第22页，共62页，编辑于2022年，星期三3.Jacobi方法第23页，共62页，编辑于2022年，星期三一、矩阵的旋转变换（Givens变换）第24页，共62页，编辑于2022年，星期三也称Givens变换。第25页，共6

4、2页，编辑于2022年，星期三第26页，共62页，编辑于2022年，星期三二、Jacobi方法第27页，共62页，编辑于2022年，星期三第28页，共62页，编辑于2022年，星期三第29页，共62页，编辑于2022年，星期三第30页，共62页，编辑于2022年，星期三第31页，共62页，编辑于2022年，星期三第32页，共62页，编辑于2022年，星期三第33页，共62页，编辑于2022年，星期三第34页，共62页，编辑于2022年，星期三第35页，共62页，编辑于2022年，星期三4.QR方法一、基本QR方法 60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。理

5、论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。与A相似 k=1,2,第36页，共62页，编辑于2022年，星期三 可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列A(k)“基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则A(k)“基本”收敛于对角矩阵。因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k充分大时，A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为A的特征

6、值的近似。基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解，分解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法为例。第37页，共62页，编辑于2022年，星期三第38页，共62页，编辑于2022年，星期三第39页，共62页，编辑于2022年，星期三 基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列相似变换将A化成拟上三角矩阵（称为上Hessenberg矩阵），然后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，故可减少运算量。化A为相似的拟上三角阵的方法有多种。第40页，共62页，编辑于2022年，星期三第41页，共62页，编辑于20

7、22年，星期三第42页，共62页，编辑于2022年，星期三二、豪斯豪尔德(Householder)变换第43页，共62页，编辑于2022年，星期三第44页，共62页，编辑于2022年，星期三三、化一般矩阵为拟上三角阵 (P313)第45页，共62页，编辑于2022年，星期三第46页，共62页，编辑于2022年，星期三第47页，共62页，编辑于2022年，星期三第48页，共62页，编辑于2022年，星期三第49页，共62页，编辑于2022年，星期三第50页，共62页，编辑于2022年，星期三四、拟上三角矩阵的QR分解第51页，共62页，编辑于2022年，星期三第52页，共62页，编辑于2022年，星期三第53页，共62页，编辑于2022年，星期三第54页，共62页，编辑于2022年，星期三第55页，共62页，编辑于2022年，星期三第56页，共62页，编辑于2022年，星期三第57页，共62页，编辑于2022年，星期三第58页，共62页，编辑于2022年，星期三第59页，共62页，编辑于2022年，星期三第60页，共62页，编辑于2022年，星期三五、带原点移位的QR方法 (p322)第61页，共62页，编辑于2022年，星期三第62页，共62页，编辑于2022年，星期三