北京市东城区2013届高三数学下学期综合练习（二）理（东城二模）（含解析）.doc

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1、 北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，那么集合是（ ）A B C D【答案】B【解析】，所以，选B.2.如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，则图中的值等于（ ） A BCD【答案】C【解析】成绩在的矩形的面积为

2、，所以，解得，选C.3已知圆的极坐标方程是，那么该圆的直角坐标方程是（ ）A B C D【答案】A【解析】由得，即，即标准方程为，选A.4已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形故选D5阅读程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】若输入的值为时，则，循环，此时不满足条件，输出，选D.6已知，那么的值为（ ）A

3、B C D【答案】B【解析】,选B.7过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于（ ）A B C D【答案】D【解析】抛物线的焦点（1，0），准线为：，设AB的中点为 E，过A、E、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，EF交纵轴于点H，如图所示：则由EF为直角梯形的中位线知，所以,即则B的中点到y轴的距离等于4选D. 8已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（其中是的导函数），若，则，的大小关系是（ ）A B C D【答案】C【解析】令，则,当时，所以，即函数，所以函数在上为减函数因为函数为定义在实数上的偶函数所以函数在上为增函数则,因为，所以.因为当函数在上为增函

4、数，所以，即，选C.第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知向量，若，则_ 【答案】【解析】因为，所以，解得。10若复数是纯虚数，则实数的值为_【答案】【解析】，因为复数是纯虚数，即，解得。11各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为_，的值为_ 【答案】 【解析】若公比，则，不满足，所以。所以由，得，解得或（舍去），。所以，所以。12如图，为的直径，切于点，且过点的割线交的延长线于点，若，则_，_ 【答案】 【解析】因为AC切O于点A，CM=MN，AC=，所以AC2=CMCN，所以,解得,所以.因为AB为O的直径，AC切O于点A，所以ACAD在RtACD

5、中，由勾股定理可得.13. 5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有_种 【答案】【解析】5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则有，1,1,3或1,2,2两种分法。若为1,1,3时，有.若为1,2，2时，有.所以共有150种。14.在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差现给出以下命题：等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；若数列满足，（），则该数列不是比等差数列；若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列其中所有真命题的序号是_ 【答案】【解析】若等比数列的公比为

6、,则为常数，所以一定是比等差数列。当等差数列的公差时，有，为比等差数列。当等差数列的公差，不是常数，所以此时不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故正确。若数列满足，则，不是常数，所以数列不是比等差数列，所以错误。由得。，因为，所以，即数列不是比等差数列。所以正确。若是等差数列，是等比数列，不妨设，则，所以，所以不是常数，所以数列不是比等差数列，所以错误。所以正确的命题是三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共13分）已知函数 求的最小正周期； 当时，求的取值范围 16.（本小题共13分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、

7、良好、合格三个等级测试结果如下表：（单位：人）优秀良好合格男女按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取人，其中成绩为优的有人 求的值； 若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为的样本，从中任选人，记为抽取女生的人数，求的分布列及数学期望17（本小题共14分）如图，是等边三角形， ，将沿折叠到的位置，使得 求证：； 若，分别是，的中点，求二面角的余弦值18（本小题共14分）已知函数（） 求的单调区间； 如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； 讨论关于的方程的实根情况 19（本小题共13分）已知椭圆：（）的离心率，原点到过点，的直线的距离是 求椭圆的方

8、程； 若椭圆上一动点关于直线的对称点为，求的取值范围 如果直线（）交椭圆于不同的两点，且，都在以为圆心的圆上，求的值20（本小题共13分）已知数列，（）求，；是否存在正整数，使得对任意的，有；设，问是否为有理数，说明理由北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）A （4）D（5）D （6）B （7）D （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13） （14） 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分三、解答

9、题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）因为 = 所以的最小正周期 （） 因为， 所以 所以的取值范围是 13分（16）（共13分）解：（）设该年级共人，由题意得，所以则 （）依题意，所有取值为 ， 的分布列为： 13分（17）（共14分）（）证明：因为 所以， 又因为，且， 所以 平面， 因为平面， 所以 （）因为是等边三角形， 不防设，则 ， 又因为，分别为，的中点， 由此以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 则有，所以， 设平面的法向量为则即令，则所以 又平面的一个法向量为 所以 所以二面角的余弦值为 14分（18）（共14分）解:() ，定义域为， 则 因为，

10、由得， 由得， 所以的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ()由题意，以为切点的切线的斜率满足 ，所以对恒成立 又当时， ，所以的最小值为 ()由题意，方程化简得+ 令，则 当时， ，当时， ，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减 所以在处取得极大值即最大值，最大值为 所以 当，即时， 的图象与轴恰有两个交点，方程有两个实根， 当时， 的图象与轴恰有一个交点，方程有一个实根， 当时， 的图象与轴无交点，方程无实根 14分（19）（共13分）解: ()因为，所以 因为原点到直线：的距离，解得， 故所求椭圆的方程为 ()因为点关于直线的对称点为，所以 解得 ， 所以 因为点在椭圆:上，所以因为， 所以所以的取值范围为 ()由题意消去 ，整理得 可知 设，的中点是，则，所以 所以 即 又因为， 所以所以 13分（20）（共13分）解：（）； （）假设存在正整数，使得对任意的，有则存在无数个正整数，使得对任意的，有 设为其中最小的正整数若为奇数，设（），则与已知矛盾 若为偶数，设（），则，而从而而，与为其中最小的正整数矛盾综上，不存在正整数，使得对任意的，有 （）若为有理数，即为无限循环小数，则存在正整数，对任意的，且，有与（）同理，设为其中最小的正整数若为奇数，设（）， 当时，有与已知矛盾 若为偶数，设（），当时，有，而从而而，与为其中最小的正整数矛盾故不是有理数 13分- 13 -