第六章拉普拉斯变换PPT讲稿.ppt
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1、第六章拉普拉斯变换第1页,共39页,编辑于2022年,星期三第一篇第一篇 复变函数论复变函数论 第六章第六章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 6.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换6.2 拉普拉斯变换反演拉普拉斯变换反演6.3 应用例应用例第2页,共39页,编辑于2022年,星期三第六章第六章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换6.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、一、拉普拉斯变换拉普拉斯变换的定义的定义1、定义:、定义:对于任意函数对于任意函数 f(t),设设 t 0,f(t)0,只要只要 足足 够大够大,g(t)=f(t)e-t 的付氏的付氏(积分)(积分)变换为变换为令令 ,其中,其中 称为称为收敛指标收敛指标
2、。记记 第3页,共39页,编辑于2022年,星期三称称 为为 f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换.记积分记积分称称 为为 f(t)的拉普拉斯的拉普拉斯变换函数变换函数;其中积分其中积分 称为称为 f(t)的拉普拉斯的拉普拉斯积分积分;称称 为拉普拉斯变换的为拉普拉斯变换的核核;第4页,共39页,编辑于2022年,星期三G()的傅里叶逆变换的傅里叶逆变换2、拉普拉斯变换的原函数和像函数、拉普拉斯变换的原函数和像函数令令 得得黎曼黎曼-梅林反演公式梅林反演公式称称 f(t)为原函数为原函数称称 为为像函数像函数 第5页,共39页,编辑于2022年,星期三例例1:求:求 L1解:解:第6页,共39
3、页,编辑于2022年,星期三例例2:求:求 Lt 解:解:第7页,共39页,编辑于2022年,星期三同理可得同理可得:第8页,共39页,编辑于2022年,星期三例例3:求:求 Lest ,s为常数为常数。解:解:第9页,共39页,编辑于2022年,星期三例例4:求:求 Lt est ,s为常数为常数。解:解:同理可得同理可得:第10页,共39页,编辑于2022年,星期三例例5:求:求 Lt f(t),其中其中f(t)为任意函数为任意函数。解:解:即即:同理同理:第11页,共39页,编辑于2022年,星期三二、拉普拉斯变换的性质二、拉普拉斯变换的性质证明证明:因为因为1、是在是在 的半平面上的半
4、平面上的解析函数。的解析函数。对于实常数对于实常数 ,考察积分,考察积分(一)拉普拉斯变换函数(一)拉普拉斯变换函数 的基本性质的基本性质 有界有界.第12页,共39页,编辑于2022年,星期三即即 即即 在在 半平面上半平面上处处可导。处处可导。即在即在 的半平面上的的半平面上的解析函数。解析函数。所以,所以,可以交换积分次序,可以交换积分次序,第13页,共39页,编辑于2022年,星期三因为因为证明证明:考察考察 的收敛性。的收敛性。2、当、当 ,而,而 时,时,存在,而且满足存在,而且满足所察所察 的收敛,而且的收敛,而且 证毕!证毕!第14页,共39页,编辑于2022年,星期三(二)拉
5、普拉斯变换(二)拉普拉斯变换(运算运算)的基本性质的基本性质1、线性定理、线性定理证明:证明:如果如果 则则 证毕!证毕!第15页,共39页,编辑于2022年,星期三例例6:求:求 Lsin t,Lcos t解:解:同理可得同理可得:第16页,共39页,编辑于2022年,星期三2、导数定理、导数定理证明:证明:第17页,共39页,编辑于2022年,星期三由此可以得:由此可以得:推广到高阶导数:推广到高阶导数:证毕!证毕!第18页,共39页,编辑于2022年,星期三3、积分定理、积分定理证明:证明:令令则则因为因为所以所以 证毕!证毕!第19页,共39页,编辑于2022年,星期三4、相似定理、相
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