湖南省十三校2014届高三数学第二次联考试题 理（含解析）新人教A版.doc

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1、湖南省2014届高三十三校联考 第二次考试理科数学试卷 得分: 【试卷综析】 本套试卷是湖南省13校第二次联考试题，试卷在题型、题量、分值、难度、知识点分布及覆盖面上都和高考试题比较接近。从整体上看，试卷难度适当，具有较好的区分度、效度和信度。试题注重考查了基础知识、基本技能和基本方法，突出了对学生数学能力的考查。例如第6题，第8题，9题都很好地考查了学生的数学能力。在学生熟悉的背景下进行命题，进行创新，这是高考的要求，也是中学教学的要求。在本套试卷中，有所体现，这是一大亮点。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填

2、在答题卡中对应位置.1.已知集合，,则( ) A. B. C. D. 【知识点】借助分式不等式和对数不等式考查集合的运算。【答案解析】D 或，所以【思路点拨】解分式不等式时，要时刻注意，移项通分。利用数轴求集合的交集。2.已知,则“”是“复数为虚数单位)为纯虚数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【知识点】本题考查了复数知识和充分必要条件的判断。开始是输出k否k=1S100?S=S+2Sk=k+1结束S=1【答案解析】C 复数为虚数单位)为纯虚数的充要条件是，所以。【思路点拨】复数为纯虚数，必须保证实部等于0，虚部不等于0. 解决充

3、分必要问题需要先求出充要条件，然后再把充要条件的范围放大或缩小。3.(2013肇庆二模改编)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【知识点】程序框图问题。【答案解析】A 【思路点拨】根据程序框图的循环结构，依次求出即可。4.等差数列的前项和为,且,则过点和的直线的斜率是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 【知识点】 考查等差数列的基本知识，基本量的计算。【答案解析】C 由 求出公差。【思路点拨】等差数列的通项公式是关于的一次函数形式，其图像是一些孤立的点，它的斜率就是等差数列的公差。5.若函数的图象如图,则函数的图象大致为( )O、

4、yx、1O、yx、1AO、yx、-1B-22、yx、1DOO、yx、-1C【知识点】本题考查了函数图象的变换。【答案解析】A 函数 的图象与的图象关于轴对称，再把的图象向右平移一个单位即可。正视图侧视图俯视图4335【思路点拨】函数，先把的图象作关于轴对称的图象，然后再平移。【典型总结】函数图象的平移，一定要注意把的系数提出。6.(2013嘉兴一模)如图,给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵,在其中任意取三个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是( ) A. 12 B. 13 C. 15 D. 16【知识点】计数问题【答案解析】C 按顺序查即可【思路点拨】依次查可得 7

5、.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该棱锥的体积等于( ) A. 10cm3 B. 20cm3 C. 30cm3 B. 40cm3【知识点】计数问题【答案解析】C 按顺序查即可【思路点拨】依次查可得 8.已知双曲线,为实轴顶点,是右焦点,是虚轴端点,若在线段上(不含端点)存在不同的两点,使得构成以为斜边的直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【知识点】考查双曲线的性质和基本量的计算（离心率的求法）。【答案解析】D ，由题意知，圆心O到直线的距离小于半径，即，解得。假设点与点重合，求得。故选D。【思路点拨】根据题意，可以确定点在以为直径的圆上，再利用特殊点

6、可求。9.(2013金山区一模改编)若实数a,b,c成等差数列,点在,点,则的最大值是( ) A. B. C. D. 【知识点】等差数列的性质；直线关于点、直线对称的直线方程。【答案解析】A 2b=a+c，所以a-2b+c=0，可知直线恒过定点（1，-2）。又 在动直线上的射影为,所以，此时圆心（0，-1），。【思路点拨】此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本题的突破点10.已知点是的重心,且,则实数的值为( ) A. B. C. D. 【知识点】考查三角形的重心，三角基本关

7、系式。【答案解析】B 以G为坐标原点，以GA、GB分别为x,y轴建立平面直角坐标系。不妨设A(1，0), B(0，1)，依题意，G为的重心，则点C(1，1). 所以可得tanA=tanB=3,tanC=4/3. 可得的值为 。【思路点拨】利用点是的重心, 且AG与BG垂直，用特值法，建立平面直角坐标系，再应用重心坐标公式求出tanA=tanB=3,tanC=4/3.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)ACEBFD11.(2011天津卷改编)如图

8、,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且,若与圆相切,且,则= .【知识点】相交弦定理，切割线定理【答案解析】 由得,又,得.【思路点拨】应用相交弦定理，切割线定理解题，属容易题。12.在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.则与的交点直角坐标为 .【知识点】考查抛物线的参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，直线与抛物线的位置关系。【答案解析】（1,2） 曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程是，二者联立，求出交点坐标。【思路点拨】把参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，联立求解。13.设

9、,则的最小值为 .【知识点】考查柯西不等式。【答案解析】9 【思路点拨】根据已知条件凑成柯西不等式的形式。（二）必做题（14 16题）14.定积分的值为 .【知识点】定积分运算【答案解析】0 原式=【思路点拨】记住基本初等函数的导数公式15.(2013昌平区一模)在中,是的中点,(1) .(2)是的中点,是(包括边界)内任意一点,则的取值范围是 .【知识点】向量的数量积运算、线性规划【答案解析】（1）2 （2） （1）以C为坐标原点，CA、CB分别为x，y轴建立直角坐标系，则A(4，0), B(0,2)，D(0,1)，;(2) 根据题意知，点P所在的平面区域为，令，画出平面区域，可知。所以的取

10、值范围是。【思路点拨】根据题意建立直角坐标系，运用向量的坐标运算能使过程简单、易操作。16.(2013石景山区一模改编)给定有限单调递增数列,数列至少有两项)且xi0（1in），此处已做修改定义集合.若对任意点,存在点使得为坐标原点),则称数列具有性质.(1)给出下列四个命题,其中正确的是 .(填上所有正确命题的序号) 数列-2,2具有性质; 数列:-2,-1,1,3具有性质; 若数列具有性质,则中一定存在两项,使得; 若数列具有性质,且,则.(2)若数列只有2014项且具有性质,则的所有项和 .【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性本题考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解

11、决问题的能力，难度较大【答案解析】（1） （2） （1）对于数列xn，若A1（-2，2），则A2（2，2）；若A1（-2，-2）则A2（2，-2）；均满足OA1OA2，所以具有性质P对于数列yn，当A1（-2，3）若存在A2（x，y）满足OA1OA2，即-2x+3y=0，即，数列yn中不存在这样的数x，y，因此不具有性质P取A1（xi，xi），又数列xn具有性质P，所以存在点A2（xi，xj）使得OA1OA2，即xixi+xixj=0，又xi0，所以xi+xj=0。数列xn中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；又数列xn是单调递增数列且x20，所以1为数列xn中的一项假设x21，则存在k

12、（2kn，kN*）有xk=1，所以0x21此时取A1（x2，xn），数列xn具有性质P，所以存在点A2（xi，xs）使得OA1OA2，所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以当x1=-1时x2=xnxsxsx2，矛盾；当xs=-1时x2=1，矛盾所以x2=1（2）x2=1若数列xn只有2014项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，猜想数列xn从第二项起是公比为2的等比数列所以S2013=-1+1+2+4+22012=22013-2【思路点拨】利用数列an具有性质P的概念，对数列xn：-2，2与数列yn：-2，-1，1，3分析判断即可；取A1（xi，xi），数列xn具有性质P，故存在点A2（

13、xi，xj）使得OA1OA2，利用向量的坐标运算整理即可证得xi+xj=0；数列xn中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；数列xn是单调递增数列且x20，1为数列xn中的一项，通过反证法可证得x2=1；若数列xn只有2014项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，猜想数列xn从第二项起是公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知的三内角分别为,向量,记函数.()若,求的面积;()若关于的方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围.【知识点】向量的数量积运算、辅助角公式的应用，

14、利用图形判断方程解的情况。【答案解析】()由 即, 又因为,所以代入上式得, 由,得,又,所以,且5分 也所以,即,从而为正三角形, 所以8分()由()知,令,Oxy 则方程有两个不同的实数解等价于在上有两上不同实根,作出草图如右, 可知当或时,直线与曲线 有两个交点,符合题意,故实数的取值范围为 .12分【思路点拨】熟练应用辅助角公式，正确画出函数的图象，利用数形结合解决问题。18. (本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答

15、错)减5分,至少得15分才能入选.()求乙得分的分布列和数学期望;()求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.【知识点】概率问题，分布列、数学期望、独立重复试验。【答案解析】()设乙答题所得分数为,则的可能取值为.1分-1501530 且 5分 乙的得分的分布列如右表,且8分()由已知甲、乙至少答对2题才能入选, 记甲、乙入选的事件分别为,则由()知,又甲回答3题可以视为独立重复试验,故,于是甲、乙至少有一人入选的概率12分【思路点拨】（1）求出的可能取值，并求出其概率，即可得到分布列。（2）是独立重复试验问题。利用对立事件求解。19. (本小题满分12分)ABCDMP如图,在四棱锥中,平面,且,

16、点在上.()求证:;()若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.yAxBCzDMPE【知识点】空间线面的位置关系、二面角的大小。【答案解析】()如图,设为的中点,连结, 则,所以四边形为平行四边形, 故,又, 所以,故, 又因为平面,所以, 且,所以平面,故有5分()如图,以为原点,分别以射线 为轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 则, 设,易得, 设平面的一个法向量为,则, 令得,即. 又平面的一个法向量为, 由题知,解得, 即,而是平面的一个法向量, 设平面与平面所成的角为,则. 故直线与平面所成的角的正弦值为.12分【思路点拨】（1）熟练应用线面平行、垂直的判定定理和性质定理是解此类问题

17、的关键。（2）建立平面直角坐标系，用空间向量求出各面的法向量求解。BOxC(A)yDMNP20. (本小题满分13分)如图,矩形是一个观光区的平面示意图,建立平面直角坐标系,使顶点在坐标原点分别为轴、轴,(百米),(百米)()观光区中间叶形阴影部分是一个人工湖,它的左下方边缘曲线是函数的图象的一段.为了便于游客观光,拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路(宽度不计),要求其与人工湖左下方边缘曲线段相切(切点记为),并把该观光区分为两部分,且直线左下部分建设为花圃.记点到的距离为表示花圃的面积.()求花圃面积的表达式;()求的最小值.【知识点】分段函数、利用导数研究函数的切线方程、判断单调性、求最

18、值。【答案解析】()由题意可设,又因,所以过点的切线方程为BOxC(A)yDEFMNP,即,切线与轴交于点,与轴交于点,当,即时,切线左下方区域为直角三角形. 所以;FOxC(A)yDEBMNP当,即时,切线左下方区域为直角梯形. 所以;FOxC(A)yEDBMN当,即时,切线左下方区域为直角梯形. 所以;综上有,7分()当时,当时,;当时, 所以在上递减,所以, 下面比较与的大小,由于, 所以可知即求.13分【思路点拨】解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题

19、中加以说明F1OxMF2yBPN面 A21.(本小题满分13分)已知分另为椭圆的上、下焦点,是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点, 且()求椭圆的方程;()与圆相切的直线交椭于,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.【知识点】考查椭圆、抛物线的基本量运算，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系其中还糅合着函数值域的求法。【答案解析】()由题知,所以, 又由抛物线定义可知,得, 于是易知,从而, 由椭圆定义知,得,故, 从而椭圆的方程为6分()设,则由知, ,且, 又直线与圆相切,所以有, 由,可得 又联立消去得 且恒成立,且, 所以,所以得8分 代入式得,所以 又将式代入得,10分 易知,所以,

20、所以的取值范围为13分【思路点拨】（1）运用抛物线和椭圆的定义解题；（2）利用直线和圆相切得到k和t 的关系，在联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系得到P坐标，带入椭圆方程，再分离变量求函数的值域。22.(本小题满分13分)设和是函数的两个极值点,其中.()求的取值范围;()若为自然对数的底数),求的最大值.【知识点】利用导数研究函数的极值问题，考查运算求解能力、等价转化能力、函数与方程的思想，考查分析问题和解决问题的能力。【答案解析】()函数的定义域为,. 依题意,方程有两个不等的正根, 故有,解得,且, 所以, ， 又,所以的取值范围是.6分()由, 令,所以, 又因为, 所以,可化为 ,因为,所以得,求在上最大值, 由,所以在上递减, 所以,故的最大值为.13分【思路点拨】（1）函数的极值点问题通常都转化为导数值为0来解决。（2）构造函数。把所求问题进行适当的转化，转化为大家熟悉的知识上来。- 12 -