天津市河东区2013届高三数学第二次模拟考试 理（河东二模）（含解析）新人教A版.doc

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1、2013年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求1（5分）（2013河东区二模）设全集U=R，集合A=x|x2，B=x|0x5，则集合（UA）B=（）Ax|0x2Bx|0x2Cx|0x2Dx|0x2考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：根据全集U=R，集合A=x|x2，易知CUA=x|x2再根据交集定义即可求解解答：解：全集U=R，集合A=x|x2CUA=x|x2B=x|0x5（CUA）B=x|0x2故选B点评：本题考查了补集、交集及其运算，属于基础题2（5分）（2013河东区二模）已知实数x，y满足

2、条件，那么2xy的最大值为（）A3B2C1D2考点：简单线性规划专题：作图题分析：先根据约束条件画出可行域，z=2xy表示斜率为2的直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可解答：解：由约束条件作出图形：易知可行域为一个三角形，验证当直线过点A（0，1）时，z取得最大值z=20（1）=1，故选C点评：本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题3（5分）（2013河东区二模）函数图象的一个对称轴方程是（）ABCDx=考点：二倍角的正弦；正弦函数的对称性专题：三角函数的图像与性质分析：将函数解析式最后一个因式中的角变形后，利用诱导公

3、式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，最后利用诱导公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的图象与性质即可得出函数y的对称轴方程，进而确定出正确的选项解答：解：y=2sin（x+）cos（x）=2sin（x+）cos（x+）=2sin2（x+）=1cos（2x+）=1+sin2x，令2x=2k+，kZ，得到x=k+，kZ，则k=1时，x=为函数的一个对称轴方程故选A点评：此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键4（5分）（2009浙江）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A10B10C5D5考点：二项式定理专题：计算题分析：利用二项展开式的

4、通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得解答：解：对于，对于103r=4，r=2，则x4的项的系数是C52（1）2=10故选项为B点评：二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具5（5分）（2013河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A3B2C1D考点：导数的几何意义分析：根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间解答：解：设切点的横坐标为（x0，y0）曲线的一条切线的斜率为，y=，解得x0=3或x0=2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A点评：考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域比如，该题的定义

5、域为x06（5分）（2013河东区二模）已知，为不重合的两个平面，直线m，那么“m”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的判定分析：利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判断出后者推不出前者；利用各种条件的定义得到选项解答：解：平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直直线m，那么“m”成立时，一定有“”成立反之，直线m，若“”不一定有“m”成立所以直线m，那么“m”是“”的充分不必要条件故选A点评：本题考查平面垂直的判定定理、考查各种条件的定义并利用定义如何

6、判定一个命题是另一个命题的什么条件7（5分）（2013河东区二模）（其中m、n为正数），若，则的最小值是（）A2B3C3+2D2+3考点：平行向量与共线向量；基本不等式专题：平面向量及应用分析：由两个向量共线的性质可得m+n=1，再根据 =3+，利用基本不等式求得它的最小值解答：解：（其中m、n为正数），若，则 m（1n）=0，即 m+n=1=3+3+2=3+2，当且仅当= 时，取等号，故的最小值是3+2，故选D点评：本题主要考查两个向量共线的性质，基本不等式的应用，属于基础题8（5分）（2013河东区二模）己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）=f（x）当0x

7、1对，f（x）=x2若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A0B0或C0或D或考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：由题意可得函数的图象，属性结合可得当直线为图中的m，或n是满足题意，求出其对应的a值即可解答：解：由对任意的xR，都有f（x+2）=f（x）可知，函数的周期为T=2，结合函数为偶函数，且当0x1对，f（x）=x2可作出函数y=f（x）和直线y=x+a的图象，当直线为图中的直线m，n时，满足题意，易知当直线为m时，过原点，a=0，当直线为n时，直线与曲线相切，联立，消y可得x2xa=0，由=1

8、+4a=0可得a=，故a的值为0，或，故选C点评：本题考查根的存在性与个数的判断，涉及函数的奇偶性与周期性，数形结合的思想，属中档题二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上）9（5分）（2013河东区二模）已知i为虚单位，则复数的虚部为1考点：复数的基本概念专题：计算题分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简可得复数z，从而得到复数的虚部解答：解：=i复数的虚部为1故答案为：1点评：本题考查复数的乘除运算及复数的基本概念，熟练掌握复数的运算法则是解题的关键，属于基础题10（5分）（2012广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s

9、的值为8考点：循环结构专题：阅读型分析：由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值解答：解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（24）=4；当i=6，k=3时，s=（46）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：8点评：本题主要考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题11（5分）（2013河东区二模）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是4x3y20=0考点：双曲线的简单性质

10、专题：函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线方程，可得右焦点的坐标为F（5，0），且经过一、三象限的渐近线斜率为k=由平行直线的斜率相等，可得所求的直线方程的点斜式，再化成一般式即可解答：解：双曲线的方程为a2=9，b2=16，得c=5因此，该双曲线右焦点的坐标为F（5，0）双曲线的渐近线方程为y=x双曲线经过一、三象限的渐近线斜率为k=经过双曲线右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是y=（x5）化为一般式，得4x3y20=0故答案为：4x3y20=0点评：本题给出双曲线方程，求经过一个焦点并且平行于渐近线的直线方程，考查了直线的方程、直线的位置关系和双曲线的

11、简单性质等知识，属于基础题12（5分）（2013河东区二模）如图，以ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EFAB于点F，AF=3BF，BE=2EC=2那么CD=考点：与圆有关的比例线段专题：计算题分析：连结AE，OE说明OBE是正三角形，求出圆的半径为2，然后求出AC，利用切割线定理去CD即可解答：解：连结AE，OE，O是圆的圆心，因为AB是圆的直径，所以AEBC，又AF=3BF，EFAB，所以OBE是正三角形，BE=2EC=2所以圆的半径为2，AE=2，所以AC=，CA与CB是圆的割线，所以CDCA=CECB，=故答案为：点评：本题考查圆的切割线定理的应用，勾股定理的应用，

12、考查分析问题解决问题的能力13（5分）（2013红桥区二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥且棱锥的底面是一个以（2+1）=3为底，以1为高的三角形棱锥的高为3故棱锥的体积V=（2+1）13=故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知判断出几何体的形状是解答本题的关键14（5分）（2013河东区二模）在ABC中，A=90，AB=1，AC=2，设点P，Q满足，若，则=

13、考点：向量在几何中的应用专题：计算题；平面向量及应用分析：由题意推出=0，根据=2，通过向量的转化求得的值解答：解：由题意可得=0，因为，由于=（）（）=（1）=0（1）+0=（1）41=2，解得 =，故答案为：点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题三、解答题：（本大题6个题，共80分）15（13分）（2013河东区二模）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）22sin22x（）求f（x）的最小正周期；（）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x0，时，求

14、y=g（x）的最大值和最小值考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（x+）的图象变换专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（）利用两角和差的正弦公式，化简函数f（x）的解析式为，由此求得函数f（x）的最小正周期（）依题意，y=g（x）=，根据x的范围求得，结合图象求出y=g（x）的最大值和最小值解答：解：（）因为f（x）=（sin2x+cos2x）22sin22x=sin4x+cos4x=，（6分）所以函数f（x）的最小正周期为（8分）（）依题意，y=g（x）=+1=（10分）因为，所以（11分）当，即时，g（x）取最大值；当，即x=0时，g（x）取最小值0（

15、13分）点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，三角函数的周期性性以及求法，正弦函数的定义域和值域，y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题16（13分）（2010四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列及数学期望E考点：离散型随机变量及其分布列；随机事件专题：计算题分析：（1）甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为，乙、丙没有中奖的概率为，相乘即可（2）中奖人数的所有

16、取值为0，1，2，3，是二项分布B（3，）解答：解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P（A）=P（B）=P（C）=，P（）=P（A）P（）P（）=，答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为（2）的可能值为0，1，2，3，P（=k）=（k=0，1，2，3）所以中奖人数的分布列为E=0+1+2+3=点评：本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布及期望等知识同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力17（13分）（2013河东区二模）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，DAB=DBF=60，且FA=FC（）求证：AC平面BDEF；（）求证：FC平面EA

17、D；（）求二面角AFCB的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题：综合题分析：（）设AC与BD相交于点O，连接FO因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，且O为AC中点由FA=FC，知ACFO由此能够证明AC平面BDEF（）因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以ADBC，DEBF，平面FBC平面EAD由此能够证明FC平面EAD（）因为四边形BDEF为菱形，且DBF=60，所以DBF为等边三角形因为O为BD中点，所以FOBD，故FO平面ABCD由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系Oxyz设AB=2因为四边形ABCD为菱形，DAB=60，

18、则BD=2，所以 ，求得平面BFC的法向量为，平面AFC的法向量为=（0，1，0）由此能求出二面角AFCB的余弦值解答：（）证明：设AC与BD相交于点O，连接FO因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，且O为AC中点 （1分）又 FA=FC，所以 ACFO （3分）因为 FOBD=O，所以 AC平面BDEF （4分）（）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以ADBC，DEBF，所以 平面FBC平面EAD（7分）又FC平面FBC，所以FC平面EAD （8分）（）解：因为四边形BDEF为菱形，且DBF=60，所以DBF为等边三角形因为O为BD中点，所以FOBD，故FO平面ABCD由OA，

19、OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz （9分）设AB=2因为四边形ABCD为菱形，DAB=60，则BD=2，所以OB=1，所以 所以 ，设平面BFC的法向量为=（x，y，z），则有，取x=1，得平面AFC的法向量为=（0，1，0） （11分）由二面角AFCB是锐角，得|cos，|=所以二面角AFCB的余弦值为（12分）点评：本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意向量法的合理运用18（13分）（2013河东区二模）已知a，b为常数，且a0，函数f（x）=ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71

20、828是自然对数的底数）（1）求实数b的值；（2）求函数f（x）的单调区间考点：利用导数研究函数的单调性；函数的值专题：导数的综合应用分析：（1）由f（e）=2计算可得b的值；（2）由（1）可得f（x）=ax+2+axlnx，故f（x）=alnx，分类讨论：当a0，a0时，分别令f（x）0，f（x）0解不等式可得对应的单调区间解答：解：（1）由f（e）=2可得ae+b+aelne=b=2，故实数b的值为2；（2）由（1）可得f（x）=ax+2+axlnx，故f（x）=a+alnx+ax=alnx，因为a0，故当a0时，由f（x）0可得x1，由f（x）0可得0x1；当a0时，由f（x）0可得0x

21、1，由f（x）0可得x1；综上可得：当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（0，1）；当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+），；点评：本题考查利导数研究函数的单调性，涉及分类讨论的思想，属中档题19（14分）（2013河东区二模）已知椭圆（ab0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e（）若，求椭圆的方程；（）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：综合题；转化思想分析：（）由题意得，得，由此能求出

22、椭圆的方程（）由得（b2+a2k2）x2a2b2=0设A（x1，y1），B（x2，y2）所以，依题意OMON知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2BF2，因为，所以由此能求出k的取值范围解答：解：（）由题意得，得（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3（3分）所以，椭圆的方程为（4分）（）由得（b2+a2k2）x2a2b2=0设A（x1，y1），B（x2，y2）所以，（6分）依题意，OMON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2BF2，（7分）因为，所以（8分）即，（9分）将其整理为（10分）因为，所以，12a218（11分）所以，即（13分）点评：本题考查椭圆方

23、程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化20（14分）（2013河东区二模）已知正项数列an中，a1=6，点在抛物线y2=x+1上；数列bn中，点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上（）求数列an，bn的通项公式；（文理共答）（）若f（n）=，问是否存在kN，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（文理共答）（）对任意正整数n，不等式0成立，求正数a的取值范围（只理科答）考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合专题：综合题

24、；等差数列与等比数列分析：（）将点代入抛物线y2=x+1，得an+1=an+1，由此能求出an；过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，把点Bn（n，bn）代入能求出bn（）由f（n）=，利用题设条件能推导出存在唯一的k=4符合条件（）由0，知a，设f（n+1）=，利用构造法能求出正数a的取值范围解答：解：（）将点代入抛物线y2=x+1，得an+1=an+1，an+1an=d=1，an=a1+（n1）1=n+5，过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上，bn=2n+1（）由（）知f（n）=，当k为偶数时，k+27为奇数，f（k+27）=4f（k），k+27+5=4（2k+1），k=4当k为奇数时，k+27为偶数，2（k+27）+1=4（k+5），k=（舍去）综上所述，存在唯一的k=4符合条件（）由0，即a，设f（n+1）=，=，f（n+1）f（n），即f（n）递增，f（n）min=f（1）=，0a（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用13