广东省广州市2013届高三数学毕业班综合测试试题 理（一）（广州一模）（含解析）.doc

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1、试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科） 2013.3本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以

2、上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式： 如果事件相互独立,那么.线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集，集合，则A BC D【答案】D【解析】由，则。2. 已知，其中是实数，i是虚数单位，则iAi Bi Ci Di 【答案】B【解析】由，即，得，。3已知变量满足约束条件则的最大值为A B C D【答案】C【解析】如图：要使取

3、得最大值，只有直线经过点，因此的最大值是1。x0y4. 直线截圆所得劣弧所对的圆心角是A B C D 【答案】D【解析】圆心到直线的距离是：。可见， ，所以劣弧所对的圆心角的一半是，圆心角是。5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A B C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知，这个几何体是水平放置的直三棱柱，且底面是直角三角形。则。6. 函数是A奇函数且在上单调递增 B奇函数且在上单调递增 C偶函数且在上单调递增 D偶函数且在上单调递增 【答案】C【解析】，可见它是偶函数，并且在上是单调递增的。7已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的

4、是 A B. C. D. 【答案】A【解析】由，所以函数的零点在区间上；而，可知函数的零点在区间上；则，又因为函数在上是单增的，得。水流方向8如图2，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知km，水流速度为km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中的速度大小为A km/h Bkm/h 图2 Ckm/h Dkm/h 【答案】B【解析】设客船在静水中的速度大小是，由题意得解得。二、填空题：本大题共7小题，考的生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9. 不等式的解集是 .【答案】【解析】当时，即；当时，；所以原不等式解集是。

5、10d .【答案】【解析】。11某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：234562.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数） 【答案】12.38【解析】，所以样本中心点是：，它在回归直线上，带入得，当时，。12已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为 . 【答案】【解析】当时，函数的最大值是1，最小值是，则，得；当时，函数的最大值是，最小值是，则，此种情况不成立；当时，函数的最大值是，最小值是1，则，得，综上得。13. 已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过

6、同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则 ， .【答案】8；。【解析】当时，任意不经过同一条直线的三个平面将空间分成了八部分，即；当时，任意不经过同一条直线的四个平面将空间分成了十四部分，即；依次下去可得任意不经过同一条直线的个平面将空间分成了部分，且 （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为 【答案】【解析】在直角坐标系中，的坐标是，点所在的直线的方程是，设的坐标是，则得解得的坐标是，它的极坐标是。15（几何证明选讲选做题）如图3，是的直径，是的切线，与交于点，若，则的长为 【答案】4【解析

7、】由切割弦定理，得，又因为，所以，则。三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（其中，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求 的面积.【解析】（1）因为函数的最大值是2，所以；它的最小正周期是8，则。（2）由题意得，；直线的方程是，所以原点到直线的距离是，则的面积是。17（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， ()，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：0123(1)

8、求至少有一位学生做对该题的概率；（2) 求，的值；（3) 求的数学期望.【解析】（1）设是“至少有一位学生做对该题”事件，是“没有一位学生做对”。可见、两个事件是对立事件，则。（2）由的分布列可得解得（3）由题意可得；。18（本小题满分14分）如图4，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，平面，分别是，的中点. （1）求证：平面；（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.【解析】（1）证明：延长交的延长线于点，连接. ，且， 为的中点. 为的中点，. 平面，平面，平面。 （2）平面，平面， 是边长为的等边三角形，是的中点， ，。 平面，平面，平面

9、. 为与平面所成的角. ，在Rt中，当最短时，的值最大，则最大. 当时，最大. 此时，. ，平面，平面. 平面，平面，. 为平面 与平面所成二面角（锐角）. 在Rt中，。平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为。19（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且 N.(1) 求数列的通项公式；（2）若是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断是否成等比数列？并说明理由.【解析】（1）解：， 当时，有 解得 . 由, , -得: . 由式得： 得. 当时, -得：. 由，得，. 数列是以为首项，2为公比的等比数列. . （2）成等差数列， . 假设成等比数列，则， 即，化简得：. （*） ，这与（

10、*）式矛盾，故假设不成立.不是等比数列. 20（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.【解析】（1）设椭圆的方程为,依题意: 解得: 椭圆的方程为.（2）设点,，则，三点共线, . , 化简得：. 由,即得. 抛物线在点处的切线的方程为，即. 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . 设点，由得：，而，则. 代入得， 则，代入 得 ，即点的轨迹方程为若，则点在椭圆上，而点在直线上

11、，直线经过椭圆内一点,直线与椭圆交于两点. 满足条件 的点有两个。 21（本小题满分14分）已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数.设.（1）求的值；（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；（3）若，且，求证：N.【解析】（1）关于的不等式的解集为， 即不等式的解集为， . . . (2)由(1)得.的定义域为. . 方程（*）的判别式. 当时，方程（*）的两个实根为 则时，；时，.函数在上单调递减，在上单调递增.函数有极小值点. 当时，由,得或， 若，则故时，函数在上单调递增.函数没有极值点. 若时，则时，；时，；时，.函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.函数有极小值点，有极大值点. 综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点； 当时，函数有极小值点，有极大值点.(其中, )（3）证：， . . 令，则 .， . ，即. 14