数学与文化深刻复习资料.doc

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1、,一、 “数学文化”一词的使用这个词的使用频率近年大大增加，说明它是有生命力的，说明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。2003年，“数学文化”一词首次进入官方文件2002年，在北京国际数学家大会期间，陈省身先生为中国少年数学论坛活动题词“数学好玩”，鼓励青少年喜欢数学、学好数学。该会场的大幅标语中，使用了“数学文化”一词。二、什么是“数学文化”1.“文化” 狭义（说法很多，其一是） ： “文化”就是“知识”，说一个人“有文化”，就是说他“有知识”。广义（说法比较一致） ：“文化”是人类社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的积淀，有相对的稳定性。

2、例如，“中华文化”、“校园文化”、“佛教文化”中的“文化”，就是指广义的文化。 “数学文化”中的“文化”，也是指广义的“文化”。2.“数学文化”狭义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。广义：除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。 本课中使用“数学文化” 一词，更多地倾向于它的狭义解释。耐人寻味的思考在“数学文化”一词被日益广泛地使用时，“物理文化”、“化学文化”这样类似的词汇，并没有得到如此广泛地使用。这表明，数学科学，的确在本质上有不同于物理科学、化学科学等自然科学的地方。 数学科学

3、的研究对象，并不是某种具体的物质运动形态，而是从众多的物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。数学，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位。特别是，不同的社会现象和自然现象，在某一方面可能遵循同样的数学规律，这反映出社会现象与自然现象在数量关系上的某种共性。数学超越了具体的社会科学和自然科学，也成为联系社会科学和自然科学的纽带。 有许多学者认为，科学可以分类为：自然科学、社会科学、数学科学、技术科学。两句耐人寻味的话一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了 。一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量 。 第一章 概述 第一节 数学是什么一、数学的“定义”恩格斯：数

4、学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。 随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义”。但是，要给数学下个定义，并不那么容易。至今难以有关于“数学”的、大家取得共识的“定义”。1古今数学家的说法 （美）R柯朗（数学是什么）：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。”（英）罗素：“数学是所有形如p蕴含q的命题的类”， 而最前面的命题p是否对，却无法判断。 因此“数学是我们永远不知道我们在说什么，

5、也不知道我们说的是否对的一门学科。”2数学的一些“定义” 哲学说亚里士多德：“新的思想家把数学和哲学看作是相同的。”来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。几何原本：点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的长度牛顿在自然哲学之数学原理的序言中说，他是把这本书“作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研究对象不同，研究方法也不同。 两者虽有相似之处，但数学不是哲学的一部分，哲学也不是数学的一部分。 现在有人说“哲学从一门学科中退出，意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门

6、学科的成熟。” 符号说：是说数学是一种高级语言，是符号的世界。科学说：是说数学是精密的科学，“数学是科学的皇后”。工具说：是说“数学是其它所有知识工具的源泉”。 逻辑说：是说数学推理依靠逻辑，“数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲。”创新说：是说数学是一种创新，如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。直觉说：是说数学的基础是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。集合说：是说数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。 结构说（关系说）：是强调数学语言、符号的结构方面及联系方面，“数学是一种关系学”。模型说：是说数学就是研究各种形式的模型，如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然现象

7、的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是非欧空间的模型。活动说：是说“数学是人类最重要的活动之一”。精神说：是说“数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。”审美说：是说“数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。” 艺术说：是说“数学是一门艺术。” 万物皆数说：是说数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。二、数学的特点 抽象性、精确性、应用的广泛性1抽象性 第一，数学的研究对象本身就是抽象的； 第二，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切； 第三，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；

8、 第四，核心数学主要处理抽象概念和它们的相互关系。2精确性 数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性。 汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼。”3应用的广泛性 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。例子：哈雷彗星的发现；海王星的发现；电磁波的发现。哈雷彗星的发现三、数学与其它领域的联系1.数学与教育 数学对于受教育者，不仅仅是学会一门课程、一门知识、更重要的是学习数学的思想、方法、精神；把数学作为成才的基本素质要求。1）波利亚：“让我们教猜想吧！” 2

9、）作为数学教授的大学校长：丁石孙北京大学；苏步青复旦大学；谷超豪中国科大；潘承洞山东大学；齐民友武汉大学；伍卓群吉林大学；侯自新南开大学；李岳生中山大学；曹策问郑州大学；杨思明湘潭大学；展涛 山东大学；黄达人中山大学；吴传喜湖北大学；周明儒徐州师大；王梓坤北京师大；陆善镇北京师大；王建磐华东师大；史宁中东北师大；路钢华中师大；邱玉辉西南师大；王国俊陕西师大；庾建设广州大学；房灵敏西藏大学。 大学校长是综合素质比较好的学者；众多大学校长都是数学教授，这也说明数学教育对人的综合素质的提高，影响很大。有些人把它叫做有趣的中国现象2.数学与文学 1）用数学方法对作品和语言进行写作风格分析、 词汇相关程

10、度和句型频谱分析 2）语言学好比一个公理化系统 （语法好比法则和定理） 3）语音学（关于语调）的研究 计算机模拟人的语调，并绘出直观的三维图像，是南开大学中文系与计算机系合作的一个成果，曾获得国家级教学成果二等奖。 其中大量用到数学。 3.数学与史学 1）史衡学 2）考古对数学史研究的推进4.数学与哲学 1）数学中“无限”的概念、“连续”的概念，一经出现，便成了哲学研究的对象。 2）“哲学从一门学科中退出， 意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。” B.Demollins:“没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，人们也无法看透数学的深度，而若没有两者，人们就什

11、么也看不透。” 3）哲学系的“逻辑学”专业与数学系的“数理逻辑”专业。5.数学与经济 1）普遍运用数学，建立经济模型 2）获诺贝尔经济学奖的学者中，数学家出身的和有数学背景的人占一半以上。6.数学与社会学 1）定量社会学、实证社会学已经形成了一套逻辑严密的研究模式 2） “社会科学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段。”7.数学与工程技术 1）“1991年的海湾战争就是信息战争、数学战争” 2）数学与工程技术的相互渗透，非常广泛、深刻。 联合国教科文组织指出：“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。”数学思想：问题一般化；问题特殊化；归纳总结，找出规律；证明规律，得

12、到结论。第二节 数学发展简史一、数学起源时期 （ 远古 公元前5世纪 ） 这一时期：建立自然数的概念；认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。20世纪在两河流域有约50万块泥版文书出土，其中300多块与数学有关（约公元前1000年）中国西安半坡遗址反映的是约公元前6000年的人类活动，那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、三角形、圆、长方形、菱形等。 埃及金字塔建于约公元前2900年的埃及法老胡夫的金字塔，塔基每边长约230米，塔基的正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一。 中国的周髀算经（公元前200年成书）。宋刻本周髀算经，（西周，前1100年）周髀算经中关于勾股定理的记载二、初

13、等数学时期（ 前6世纪公元16世纪 ） 也称常量数学时期，逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要内容。这一时期又分为三个阶段：古希腊；东方；欧洲文艺复兴。1古希腊 （前6世纪公元6世纪） 毕达哥拉斯 “ 万物皆数”；欧几里得几何原本；阿基米德面积、体积；阿波罗尼奥斯圆锥曲线论；托勒密三角学；丢番图不定方程柏拉图与亚里士多德倡导逻辑演绎的结构2东方 （公元2世纪15世纪） 1） 中国 西汉（前2世纪） 周髀算经、九章算术 魏晋南北朝（公元3世纪5世纪）刘徽、祖冲之 “中国古代数学第一人”刘徽（约公元3世纪）周髀算经中的 “勾股定理”（约公元

14、前700年）周髀算经卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三 股修四 经隅五”，这是勾股定理的特例。 卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元3世纪三国时期的赵爽。 赵爽注周髀算经，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法，证明了勾股定理。宋元时期 （公元10世纪14世纪） 宋元四大家李冶（11921279）、秦九韶（约1202约1261）、杨辉（13世纪下半叶）、朱世杰（13世纪末

15、14世纪初） 天元术、正负开方术 高次方程数值求解；大衍总数术 一次同余式组求解2）印度 现代记数法（公元8世纪）印度数码，有0，负数； 十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法） 数学与天文学交织在一起 阿耶波多阿耶波多历数书（公元499年） 开创弧度制度量 婆罗摩笈多婆罗摩修正体系、肯特卡迪亚格 代数成就可贵 婆什迦罗莉拉沃蒂、算法本源（12世纪） 算术、代数、组合学3）阿拉伯国家 （公元8世纪15世纪） 花拉子米代数学（阿拉伯文还原与对消计算概要）曾长期作为欧洲的数学课本，“代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。 阿布尔维法 奥

16、马尔海亚姆 阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文艺复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。 3欧洲文艺复兴时期（公元16世纪17世纪初） 1）方程与符号 意大利 塔塔利亚、卡尔丹、费拉里：三次方程的求根公式 法国 韦达：引入符号系统，代数成为独立的学科“算法家”与“算盘家”的比赛 韦达2）透视与射影几何 画家 布努雷契、柯尔比、迪勒、达芬奇 数学家 阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔 3）对数 简化天文、航海方面烦杂计算，把乘除转化为加减。 英国数学家 纳皮尔中世纪油画；文艺复兴时代的油画英国画家柯尔比(1754)；卷首插图（违

17、反透视原理）三、近代数学时期 （公元17世纪19世纪初） 家庭手工业、作坊 工场手工业 机器大工业 贸易及殖民地 航海业空前发展 对运动和变化的研究成了自然科学的中心变量、函数 1笛卡尔的坐标系（1637年的几何学） 恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”解析几何是代数与几何相结合的产物。在几何学里，笛卡尔给出了解析几何原理，这就是利用坐标方法把具有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。解析几何给出了回答如下问题的途径：（1）通过计算来解决曲线作图的几何问题；（2）求给定某种几何性质的曲线

18、的方程；（3）利用代数方法证明新的几何定理；（4）反过来，从几何的观点来看代数方程。因此，解析几何是代数与几何相结合的产物，在采用坐标方法的同时，用代数方法研究几何对象。在笛卡尔之前，从古希腊起在数学中占优势地位的是几何学；解析几何则使代数获得更广的意义和更高的地位。牛顿和莱布尼兹的微积分（17世纪后半期）微积分的起源，主要来自对解决两个方面问题的需要：一是力学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度，及已知速度对时间的关系求路程；二是几何学的一些老问题，作曲线在某点的切线问题，及求面积和体积的问题。 微分方程、变分法、微分几何、复变函数、概率论微分方程论研究的是这样一种方程，方程中的未知项不

19、是数，而是函数。变分法研究的是这样一种极值问题，所求的极值不是点或数，而是函数。微分几何是关于曲线和曲面的一般理论。与微分几何相联系的解析几何在18世纪也有长足的发展，被推广到三维情形，并突破了笛卡尔当年解析几何仅仅作为求解几何问题的代数技巧的界限。 微积分及其中变量、函数和极限等概念，运动、变化等思想，使辩证法渗入了全部数学；并使数学成为精确地表述自然科学和技术的规律及有效地解决问题的得力工具。4代数基本定理（1799年）这一时期代数学的主题仍然是代数方程。18世纪的最后一年，高斯的博士论文给出了具有重要意义的“代数基本定理”的第一个证明。该定理断言，在复数范围里，n次多项式方程有n个根。

20、“分析”、“代数”、“几何”三大分支在18世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的“分析”，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科，并且在这个世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。 第三时期（近代数学时期）的基本结果，如解析几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等，已成为高等学校数学教育的主要内容。四、现代数学时期 （19世纪20年代 ） 进一步划分为三个阶段：现代数学酝酿阶段（18201870年）；现代数学形成阶段（18701950年）；现代数学繁荣阶段（1950现在）。这一时期虽然还不到二百年的时间，内容却非常丰富，远远超过了过去所有数学的总和。 现代数学时期（19世纪20年代 ）

21、康托的“集合论” 2柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析” 3希尔伯特的“公理化体系” 4高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何” 5伽罗瓦创立的“抽象代数” 6黎曼开创的“现代微分几何” 7庞加莱创立的“拓扑学” 8. 其它：数论、随机过程、数理逻辑、组合数学、计算数学、分形与混沌 等等。现代数学时期的结果，也成为高校数学、力学、物理学等学科数学教学的内容，并被科技工作者所使用。第三节 数学的魅力一、圆的魅力 车轮，是历史上最伟大的发明之一。圆，是平面图形中对称性最强的图形周长与直径之比是一个常数，这个常数是无理数、超越数。面积相等的图形中圆的周长最短。规尺作图化圆为方不可做二、四色问题

22、 四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F古色利提出。他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家德摩根，希望帮助给出证明。德摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要四种颜色。但德摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数学家,其中包括著名数学家哈密顿。但这个问题当时没有引起数学家的重视。直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在伦敦数学

23、会文集上发表了一篇论地图着色的文章,才引起了更大的注意。 1879年，一位英国律师肯泊在美国数学杂志上发表论文，宣布证明了“四色猜想”。十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的证明中有严重错误。 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重要,重要的是它们的相互位置。从数学上看,问题的实质在于地图的“拓扑结构”。 一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了一系列成果。直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。到1976年6月,他

24、们终于获得成功。他们使用了3台IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证明了四色猜想。 这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,当地邮局特地制作了纪念邮戳四色足够(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。 拓展了人们对“证明”的理解由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学家从数学及哲学方面对“证明”的思考。三、素数的奥秘自然数是整个数学最重要的元素。自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数；大于1的自然

25、数中不是素数的都称为“合数”；1则既不是素数也不是合数。 由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的数。又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。素数很早就被古希腊的数学家所研究。2300多年前欧几里得的几何原本第9卷的定理20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明。 但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。）关于素数的规律，人类有许多的“猜想”。至今还有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没有被否定。有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言，“人类探寻

26、素数规律的历史，将等同于人类的整个文明史”。 三个关于素数规律的问题 从加法的角度研究素数；从乘法的角度研究素数；找一个公式来表示素数。从加法的角度研究素数两个猜想：每个足够大的偶数都是两个素数的和；每个足够大的奇数都是三个素数的和。后一个猜想现在已被证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例，也没有人给出证明。前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。从乘法的角度研究素数算术基本定理：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。算术基本定理早已被证明，但不是采用“构造性”的证明 。未解之谜：这个问题是：对任一个大于1的自然数，试给出一个一般的方法，

27、以便较快地找到有限个素数（可以重复），使它们的乘积等于那个预先写出的大于1的自然数。 四、“化归”的方法 “化归”，是把未知的问题，转化为已知的问题；把待解决的问题，归结为已解决的问题，从而解决问题的过程。 五、体会数学美 M克莱因（Felix Klein,18491925）： 音乐能激发或抚慰人的感情，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人聪慧，科学可以改善生活，而数学能做到所有这一切。 第四节 数学的语言及数学的应用一、数学的语言语言是表达思想的，是人类相互交流的工具。数学语言则是人们进行数学表达和数学交流的工具。1自然语言与数学语言1） 自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言2

28、）数学语言使科学精确化2. 数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言1）数学语言是人类文明的共同语言由于数学语言往往需要依靠符号来表达，而世界各国又采用相同的数学符号，这就使得数学语言成为人类文明的共同语言。2）数学语言是宇宙文明的共同语言地球上不同地域的人类文明发展到某一阶段时，都各自独立地发现了“圆周长与直径的比是一个常数”，各自独立地发现了“直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和”。地球文明如此，宇宙文明也一定如此；于是自然地想到，数学语言能够成为宇宙文明的共同语言。3数学语言的特点 1）明晰 这含有两个方面的意思，一是数学语言是明确的，一是数学语言是有条理的。数学语言是精确的，是从不

29、含糊的，“大于”与“大于等于”的涵义，是明确不同的；“都属于集合A”与“有的属于集合A”也是明确不同的；“存在左极限”与“存在极限”也是明确不同的。数学语言又是有条理的。一段话的叙述中，先说哪个层次，后说哪个层次，是有讲究的；一个层次中，先说哪句话，后说哪句话，也是有讲究的。数学语言中必须有“因”有“果”，“因”“果”分明，不能把“因”说成“果”，也不能把此“因”说成彼“因”。2）严谨 严谨，是指逻辑推理的严格和谨慎。它是数学的特点之一，也是数学语言的特点之一。 首先是定理的叙述是严谨的。 例如算术基本定理叙述为：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次

30、序的话，表法是唯一的。这里，“大于1”的条件不可少，少了就欠严谨；“有限个”三字不可少，少了就欠严谨；“（可以重复）”的注解也不可少，少了就欠严谨；“如果不计次序”的假设也不可少，少了就欠严谨。其次是推理的过程是严谨的。 推理的步骤如何，应该表达清楚；每一步的理由是什么，也应该表达充分。许多数学教师在教学中强调，学生推理时应该注意“步骤完整，理由充足”八个字，是击中要害的。例如，一个推理本来应该由六步完成，你只写出了五步，缺一步，就欠严谨；某一步本来应该依据三个理由，你只写出了两个理由，缺一个，就欠严谨。如果某位学生有语言上的这种不严谨，其实是反映了他思维上的不严谨。 3）简洁 数学语言要求简

31、单干净。数学语言和自然语言不同。自然语言允许同义反复，为了描述某一事物的美，往往用一大串意义相近的词汇或并列的语句；为了形容一个人的聪明智慧，也常常用一大串意义相近的词汇或并列的语句。但数学语言则要求用词最少、不允许同义反复。在数学表达中，当一个语句被另一些语句蕴含着的时候，它就是多余的，一定要去掉这个语句。如果可以用三句话把意思表达清楚，就最好不要用四句话。如果可以有甲、乙两种方式叙述同一个意思，那么就最好选择用语较少的那种方式。 4）规范 自然语言当然也有约定俗成的规范性；而数学语言则更加鲜明地表现出“规范”的特点。一句话说出来，不能有任何歧义。一个词作为一个概念被定义以后，这个定义就要随

32、着这个词贯彻始终，不能再有任何改变。一些数学语言中常用的词语，都有其特定的涵义，长期以来形成了规范。例如“任一个”，“有一个”，“没有”表达的是三种不同的意思；“最多”、“至少”、“全都”表达的也是三种不同的意思；“必定”，“可能”、“不可能”表达的也是三种不同的意思；“开区间”、“闭区间”、“左开右闭的区间” 表达的也是三种不同的意思。再例如，“包含”是用来说明两个集合之间的关系，“属于”是用来说明元素与集合之间的关系，“包含”与“属于”不能混用。 4重视数学语言的训练语言是思维的反映。数学语言的发展反映了人类理性思维的发展，它也是数学对人类文明的重大贡献之一。作为一个大学生，不但应该重视数

33、学知识、数学方法、数学思想的学习，同时也应该重视数学语言的学习和训练。现在的大学生，在作业中习惯性地写出“等号成立”、“问题得证”等词语的大有人在；其实，相应的规范数学语言应该是“等式成立”和“命题得证”。 语言的功夫，依赖仔细的推敲及反复的训练。数学语言的训练，包括口头表达和书面表达两种形式，希望大家自觉地加强训练数学语言的意识。口头表达的训练，可以通过同学间讨论问题、课堂发言、课堂报告来进行；书面表达的训练，主要通过认真完成数学作业来进行，也可以通过撰写读书报告和撰写小论文来进行。善于熟练地用明晰、严谨、简洁、规范的数学语言进行正确的口头表达和书面表达，是数学能力的重要方面，也是数学素养的

34、重要方面。二、数学的应用 1.功利主义和实用主义的教训关于数学“用处”的讨论，曾经有过许多曲折和反复。有人讨论数学到底有多大的“用处”，有人讨论哪些数学“真正”有“用处”，有人讨论哪些数学没有“用处”，有人曾因说“我们目前研究的这个数学分支可能200年内没有实际应用”而受到严厉的批判，有人以“理论来源于实际”为武器对研究纯粹数学的数学家横加指责。数学确实是解决许多实际问题的工具，但是，数学之作为工具，与斧子可以用来砍柴之作为工具是不同的。在制造斧子的时候，就是以砍柴的功用为目的的，因此，生产斧子能够获利。可是，在研究数学的时候，未必知道这种数学的实际作用何在。在不重视基础数学的时代，有些曾经被

35、列为“没有实际用处”的数学，当突然被发现能够解决重大问题时，才被从“冷宫”中解放出来。“早知如此，何必当初”，那时有些人总在吃后悔药。关于“哪些数学有用”及数学如何“理论联系实际”的讨论，最近这些年虽然不那么激烈了，但是，历史的经验值得注意，难保历史不会有类似的重演。2介绍一些说法近些年，人们越来越深刻地认识到数学的“有用”。 下面摘录的，是有关“数学有用”的一些说法。这些说法，都不是某一个人的说法，而是许多学者讨论的结果。上个世纪90年代初，中国科学院数学物理学部有一个“今日数学及其应用”的课题报告，其中说：“数学的贡献在于对整个科学技术（尤其是高新技术）水平的推进与提高，对科技人才的培养和

36、滋润，对经济建设的繁荣，对全体人民的科学思维与文化素质的哺育。这四方面的作用是极为巨大的，也是其他学科所不能比拟的。”不应实用主义地理解数学的“用处”。 数学有广泛的用途，但那不同于一般工具的“用处”；不像一把斧头，拿来便可砍柴。数学对人类文明的贡献（例一）万有引力定律。基于开普勒行星运动的三大定律，牛顿发现了万有引力定律。他把其最重要的著作命名为自然哲学的数学原理，是因为他发现新宇宙的思维方式是数学的思维方式。在这本书中，牛顿用了大量“微积分”的知识和非常复杂的几何知识与技巧。有兴趣的同学可以阅读这本书。数学对人类文明的贡献（例二）相对论。爱因斯坦分别于1905年和1915年提出狭义相对论，

37、广义相对论，这是对物理学的重大变革，其核心内容是时空观的改变。爱因斯坦的时空观认为时间和空间是相互联系的。四维空间的洛仑兹变换是这种数学模型的表现形式。 2数学的应用常常是难以预料的 1）素数在密码学中的应用 2）圆锥曲线论在行星运动开普勒三定律中的应用 3）黎曼几何在广义相对论中的应用 4）陈省身的纤维丛理论在杨振宁的规范场理论中的应用 5）正电子、黑洞与电磁场的发现3数学的应用常常是难以预料的数学来源于人类实践，但从实践中抽象出来以后，又有它相对的独立性和稳定性。特别是当它发展到一定程度以后，数学内部提出了大量重要的问题，在相当大的程度上吸引了数学家的兴趣。三、数学的发展 1数学的分支越来

38、越细，以至不可能再有一位数学家熟习数学的所有分支 2数学对自然科学和社会科学的渗透越来越广。 “一门科学应用数学的程度，标志着这门科学成熟的程度” 3历史遗留许多难题，数学永远充满魅力。 “费尔马大定理”上世纪末刚被证明； “哥德巴赫猜想”等难题仍未解决。第二章 若干数学问题中的数学文化第一节 毕达哥拉斯学派与一、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”1. 毕达哥拉斯 Pythagoras (约前570年前500年） 毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产

39、生很大影响。相传“哲学”（希腊原词意为 “智力爱好”）和“数学”（希腊原词意为“可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。2. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献1）数学证明的起始 泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得 证明是要有假设的: 公设、公理及定义。 许多人推测，欧几里得几何原本前两卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。2）数学抽象的提出 从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。3）毕达哥拉斯定理。在中国叫商高定理或勾股定理。3. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说 1）“万物皆数”学说 数，是世界的法则 毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数。

40、 任意两条线段 a、d 都是可公度的“可公度的”，意即有公共的度量单位。毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说，加强了数学中的理论化倾向毕达哥拉斯学派相信，造物主是按照数学来创造世界的，自然现象可以通过数学来理解。 多个场合下的小整数比 产生谐音的各个弦的长度成小整数比 绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数比，就会发出谐音。例如，12时短弦的音高8度，23时短弦音高5度，34时短弦音高4度；当三根弦的长度之比为346时，就得到谐音。毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。二、 与第一次数学危机但是，对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的

41、符号，这就是。1. 的发现和危机的产生 1）一个不能表成整数比的数2）不可公度的线段3）危机产生，封锁消息。希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。4）无理数一些不能表成整数比的数，称为无理数。称两个整数之比为有理数，而把一类数叫做无理数，即没有道理的数，原来是翻译出了问题。 rational number 是有理数的英文名称，而rational是一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对“rational number”正确的翻译应该是“比数”。这名称正确反应了这类数是两个整数之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道的是自然数。那时所谓的“数”，都是

42、自然数。把新产生的数叫做比数完全符合古人的逻辑。在东方，最早把rational number 翻译过来的是日本人。可能是那个日本人英文不好，数学又不太懂，把它们翻译成“有理数”。而日本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来，沿用至今，形成习惯。如果正确地把两个整数之比叫做“比数”，那么像一类的数称为“非比数”，还是颇有道理的。2. “两个量的比相等”的新定义 部分地消除了危机 约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量的任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、

43、等于或小于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个量的倍数的相应关系”。这种定义，也被欧几里得在几何原本中采用。3. 无理数与数系的扩张危机的解决 1）有理数的稠密性 定理：有理数集在数轴上是稠密的。 2）数轴 古代观点：数轴有理数 现代观点：数轴实数3）数系的扩张危机的解决 自然数系 有理数系 实数系实数系具有连续性。有理数系具有稠密性,却不具有连续性。数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。数系的稠密性，通俗说成 “到处都有”、“密密麻麻”；数系的连续性，通俗说成“一个挨一个”、“针插不进，水泼不进”。 连续性是一个很好的性质。但是对“数系的连续性”的概念，给出严格的数学定义，就不那么容易

44、了。第二节 芝诺悖论与无限一、什么是悖论 悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。例如：“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论。二、芝诺悖论 芝诺（前490？前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。 1. 四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟。2. 症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。3. 芝诺悖论的意义： 1）促进了严格、求证数学的发展。2）较早的“反证法”及“无限”的思想。3）尖锐地提出离散与连续的矛盾： 空间和时间有没有最小的单位？芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论