初级中学几何常用辅助线收集.doc

《初级中学几何常用辅助线收集.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初级中学几何常用辅助线收集.doc（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、,初中几何常见辅助线做法1、 三角形常见辅助线做法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍； 含有中点的题目，常常做三角形的中位线，把结论恰当的转移例1、如图5-1：AD为ABC的中线，求证：ABAC2AD。【分析】：要证ABAC2AD，由图想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多BDCD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE2AD AD为ABC的中线 （已知） BDCD （中线定义） 在ACD和EBD中 ACDEBD （SAS

2、） BECA（全等三角形对应边相等） 在ABE中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边） ABAC2AD。例2、如图4-1：AD为ABC的中线，且12，34，求证：BECFEF证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在BDE和CDM中， BDECDM （SAS） 又12，34 （已知） 1234180（平角的定义） 32=90，即：EDF90 FDMEDF 90 在EDF和MDF中 EDFMDF （SAS）EFMF （全等三角形对应边相等）在CMF中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF【备注】：上题也可加倍FD，证法同上。当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可

3、通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例3、如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：BGE=CHE。证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，ME是BCD的中位线，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位线，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，从而BGE=CHE。方法2：含有角平分线的题目，利用角平分线的性质做垂线，或构造出全等三角形 例4、如图2-1，已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180分析：可由C向BAD的两边作垂线

4、。近而证ADC与B之和为平角。例5、已知：如图3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）【分析】：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。例6、已知：如图3-2，AB=AC，BAC=90，BD为ABC的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。【分析】：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。 方法3 ：证明两条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法例7、如图2-2，在ABC中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+ADDCBA【分析】：截长法：在BC上

5、取BE=AB,连接DE,证明ABDEBD，则AD=DE=CE,结论可证补短法：延长BA到F，使BF=BC,连接DF,证明BCDBFD，F=C=45，AF=AD,结论可证例8：已知如图6-1：在ABC中，ABAC，12，P为AD上任一点。求证：ABACPBPC。【分析】：要证：ABACPBPC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN， 再连接PN，则PCPN，又在PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。证明：（截长法）在AB上截取ANAC连接PN , 在APN和APC中 APNA

6、PC （SAS） PCPN （全等三角形对应边相等） 在BPN中，有 PBPNBN （三角形两边之差小于第三边） BPPCABAC证明：（补短法） 延长AC至M，使AMAB，连接PM， 在ABP和AMP中 ABPAMP （SAS） PBPM （全等三角形对应边相等） 又在PCM中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边) ABACPBPC。2、 梯形常用辅助线做法 通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。平移对角线。转化为三角形、平行四边

7、形。延长两腰，转化为三角形。作高，转化为直角三角形和矩形。中位线与腰中点连线。例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的长. 解：过点D作DEBC交AB于点E. 又ABCD，所以四边形BCDE是平行四边形. 所以DEBC17，CDBE. 在RtDAE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即AE217215264. 所以AE8. 所以BEABAE1688. 即CD8.例2、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、

8、H，可得EGHEHG=BC=90则EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点所以例3、已知：梯形ABCD中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积ABDCEH解：如图，作DEAC，交BC的延长线于E点ADBC 四边形ACED是平行四边形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4在DBE中， BD=3，DE=4，BE=5BDE=90作DHBC于H，则例4、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50，C=80，AD=2，BC=5，求CD的长。解：延长BA、CD交于点E。在BCE中，B=50，C=80。所以E=50，从

9、而BC=EC=5，同理可得AD=ED=2所以CD=ECED=52=3例5、如图，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90，AB=2DC，对角线ACBD，垂足为F，过点F作EF/AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。证：过点D作DGAB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。因为AB=2DC，所以AG=GB。从而DA=DB，于是DAB=DBA。又EF/AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。例6、如图，在梯形ABCD中，AD为上底，ABCD，求证：BDAC。证：作AEBC于E，作DFBC于F，则易知AE=DF。 在RtABE和RtDCF中，因为ABCD，AE=DF。所

10、以由勾股定理得BECF。即BFCE。在RtBDF和RtCAE中由勾股定理得BDAC例7、如图，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中点，AOD=90，求证：ABCD=AD。证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线， 从而OE=（ABCD）在AOD中，AOD=90，AE=DE所以由、得ABCD=AD。例8、在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求证：AEB=2CBE。解：分别延长AE与BC ，并交于F点BAD=900且ADBCFBA=1800BAD=900 又ADBCDAE=FAED=FEC ，DE=EC ADEFCE （AAS

11、） AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE 在FEB中 EBF=FEBAEB=EBF+ FEB=2CBE练习1、如图，AB=CD，E为BC的中点，BAC=BCA，求证：AD=2AE。BECDA 2、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.3、如图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点E，求证;ABAC+BD4、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的长. 5、如图所示，梯形ABCD中，ADBC，（1）若E是AB的中点，且ADBCCD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是ADC与BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？ABDCEF6、已知：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系