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1、角动量守恒1本讲稿第一页，共四十八页在天体运动中在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点）转动时常遇到行星绕某一恒星（固定点）转动时,行星始终在同一个平面内运动的现象。行星始终在同一个平面内运动的现象。例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面银河系银河系在这些问题中，存在着质点的在这些问题中，存在着质点的角动量守恒的规律。角动量守恒的规律。3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律一、质点的角动量一、质点的角动量2本讲稿第二页，共四十八页P*O :力臂力臂 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转,力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P,且在转动且

2、在转动平面内平面内,为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢.对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 力矩力矩 3本讲稿第三页，共四十八页 LmO pr 质点质点m对惯性系中的固定点对惯性系中的固定点O的的角动量角动量定义为：定义为：单位：单位：kg m2/s大小：大小：方向：方向：决定的平面决定的平面4本讲稿第四页，共四十八页LRv mO 质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为对圆心的角动量的大小为方向方向垂直圆面垂直圆面L=mvR，二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理由由5本讲稿第五页，共四十八页积分积分质点角动量定理质点角动量定理称称冲量矩冲

3、量矩力矩对时间的积累作用力矩对时间的积累作用（微分形式）（微分形式）即即“质点对固定点角动量的增量等于该质点质点对固定点角动量的增量等于该质点 所受的合力的冲量矩所受的合力的冲量矩”。质点角动量定理质点角动量定理（积分形式）（积分形式）6本讲稿第六页，共四十八页三、质点角动量守恒定律三、质点角动量守恒定律由质点角动量定理：由质点角动量定理：质点角动量质点角动量守恒定律守恒定律7本讲稿第七页，共四十八页角动量守恒定律角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，是物理学的基本定律之一，不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用。且在高速低速范围均适

4、用。（如行星受的万有引力）（如行星受的万有引力）或或 过固定过固定点：有心力点：有心力8本讲稿第八页，共四十八页质点系的角动量质点系的角动量 即其中各即其中各个质点的角动量的矢量和个质点的角动量的矢量和03.2 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律9本讲稿第九页，共四十八页0与与 共线，共线，这一对内力矩之和为零。这一对内力矩之和为零。同理所有内力矩之和为零。同理所有内力矩之和为零。“一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的 角动量对时间的变化率角动量对时间的变化率”对对i,j 两个质点来说两个质点来说，内力矩之和为，内力矩之和为:质点系角动量定理质

5、点系角动量定理于是有：于是有：10本讲稿第十页，共四十八页 质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律质质点点系系角角动动量量守守恒恒和和动动量量守守恒恒是是否相互独立？否相互独立？思考思考即：即：“只要系统所受的总外力矩为零，只要系统所受的总外力矩为零，其总的角动量就保持不变。其总的角动量就保持不变。”11本讲稿第十一页，共四十八页圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统角动量守恒角动量守恒动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒角动量守恒圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；讨讨 论论子子

6、弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计12本讲稿第十二页，共四十八页例例.一长为一长为 l 的轻质细杆两端分别固接小球的轻质细杆两端分别固接小球 A 和和 B,杆可杆可绕其绕其中点中点o处的细轴处的细轴在光滑水平面上转动。初始时杆静止在光滑水平面上转动。初始时杆静止,后有一小球后有一小球C以速度以速度v0垂直于杆碰垂直于杆碰A,碰后与碰后与 A合二为一。设合二为一。设三个小球的质量都是三个小球的质量都是 m,求求:碰后杆转动的角速度碰后杆转动的角速度?【解解】选系统选系统:A+B+CABCv013本讲稿第十三页，共四十八页答：轴处有水平外力，动量不守恒。答：轴处有水平外力，动量不守恒。可

7、得可得碰撞过程中，系统的动量守恒吗？碰撞过程中，系统的动量守恒吗？答：轴处有水平外力，但没有外力矩，答：轴处有水平外力，但没有外力矩，角动量守恒。角动量守恒。碰撞过程中，系统的角动量守恒吗？碰撞过程中，系统的角动量守恒吗？即即设碰后球的速度为设碰后球的速度为v,14本讲稿第十四页，共四十八页 例例:一长为一长为l 的轻质杆底部固结一小球的轻质杆底部固结一小球m1，另一，另一小球小球m2以水平速度以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部并与杆粘合。碰撞时重力和轴力都通过碰撞时重力和轴力都通过O，解：解：选选m1（含杆）（含杆）+m2为系统为系统求：求：碰撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度对对O 力

8、矩为零，故角动量守恒。力矩为零，故角动量守恒。lm1Ov0m2 解得：解得：有有15本讲稿第十五页，共四十八页1.质点系的角动量定理适用于质点系的角动量定理适用于惯性系；惯性系；2.外力矩和角动量都是相对于惯性系中的外力矩和角动量都是相对于惯性系中的同一固同一固定点定点说的。质点系受的外力的矢量和为零，但说的。质点系受的外力的矢量和为零，但总外力矩不一定为零；总外力矩不一定为零；3.当质点系受的外力的矢量和不为零，但总外当质点系受的外力的矢量和不为零，但总外力矩可为零时，质点系总角动量守恒；力矩可为零时，质点系总角动量守恒；4.内力矩内力矩不影响质点系总角动量，但可影响质不影响质点系总角动量，

9、但可影响质点系内某些质点的角动量。点系内某些质点的角动量。说明说明16本讲稿第十六页，共四十八页小结：动量与角动量的比较小结：动量与角动量的比较角动量角动量矢量矢量与固定点有关与固定点有关与内力矩无关与内力矩无关守恒条件守恒条件动量动量矢量矢量与内力无关与内力无关守恒条件守恒条件与固定点无关与固定点无关17本讲稿第十七页，共四十八页第第i个质元个质元对原点对原点o的角动量：的角动量：3.3 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量 转动惯量转动惯量一、定轴转动刚体的角动量一、定轴转动刚体的角动量z Ori定轴定轴mi刚体刚体对对o点点的总角动量的总角动量18本讲稿第十八页，共四十八页刚体对转轴

10、刚体对转轴 z 的角动量的角动量z Ori定轴定轴mi19本讲稿第十九页，共四十八页其中：其中：转动惯量转动惯量（对（对z轴）轴）二、二、转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的意义：转动惯量的意义：Iz 反映了转动惯性的大小反映了转动惯性的大小 影响因素：影响因素：（1）密度大小）密度大小（2）质量分布）质量分布（3）转轴位置）转轴位置质量连续分布时，质量连续分布时，求和求和改为改为积分积分：20本讲稿第二十页，共四十八页定轴定轴zdm设刚体质量体密度为：设刚体质量体密度为：21本讲稿第二十一页，共四十八页2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度2 对质量面分布的刚体

11、：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度线积分线积分面积分面积分体积分体积分22本讲稿第二十二页，共四十八页OO 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 例例 一质量为一质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，求的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.OO如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒23本讲稿第二十三页，共四十八页ORO 例例 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心

12、O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量.解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环而而圆环质量圆环质量所以所以圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量24本讲稿第二十四页，共四十八页常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的 I 很易计算得到。很易计算得到。应记住的几个常用结果应记住的几个常用结果:（1）细圆环）细圆环（3）均匀圆盘、圆柱）均匀圆盘、圆柱（2）均匀细棒）均匀细棒RmOR mcAc详细见详细见 P88 表表3.125本讲稿第二十五页，共四十八页 计算转动惯量计算转动惯量 I 的三条定理

13、：的三条定理：（1）叠加）叠加定理定理:对同一转轴对同一转轴 I 有可叠加性有可叠加性（2）平行）平行轴定理轴定理:所以所以 Ic 总是最小的总是最小的转轴转轴平行平行md dI II Ic c26本讲稿第二十六页，共四十八页刚体为一薄片即：刚体为一薄片即：Z=0（3）垂直轴定理垂直轴定理:（对薄平板刚体）（对薄平板刚体）27本讲稿第二十七页，共四十八页 RMO OmL利用转动惯量的利用转动惯量的可叠加性可叠加性和和平行轴定理：平行轴定理：圆盘圆盘细杆细杆例例:写出下面刚体对写出下面刚体对O轴（垂直屏幕）的转动惯量轴（垂直屏幕）的转动惯量28本讲稿第二十八页，共四十八页3.4 刚体定轴转动的角

14、动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律质点系：质点系：对点对点对轴对轴刚体：刚体：刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理一、刚体定轴转动的角动量定理：一、刚体定轴转动的角动量定理：29本讲稿第二十九页，共四十八页称为称为冲量矩冲量矩，它表示力矩对时，它表示力矩对时间的积累效应间的积累效应二、刚体定轴转动的角动量守恒定律：二、刚体定轴转动的角动量守恒定律：角动量可在系统内部传递，而保角动量可在系统内部传递，而保持刚体对转轴的总角动量不变。持刚体对转轴的总角动量不变。30本讲稿第三十页，共四十八页三、三、刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律z Ori定轴定轴mi转动定律转动定律

15、31本讲稿第三十一页，共四十八页转动定律转动定律与牛顿第二定律与牛顿第二定律 相比，有：相比，有：I 相应相应 m，相应相应 ，相应相应 。刚体绕某一固定轴的合外力矩刚体绕某一固定轴的合外力矩,等于刚体对此轴的转等于刚体对此轴的转动惯量与刚体的角加速度的乘积动惯量与刚体的角加速度的乘积 。-刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律32本讲稿第三十二页，共四十八页四、刚体定轴转动定律的应用四、刚体定轴转动定律的应用求求:物体的加速度及绳中张力？物体的加速度及绳中张力？解题思路：解题思路：（1）选物体）选物体（2）看运动）看运动（3）查受力（注意）查受力（注意:画隔离体受力图）画隔离体受力图）（4）列

16、方程（注意）列方程（注意:画出坐标）画出坐标）例例1.m1m2mR已知：两物体已知：两物体 m1、m2（m2 m1)，滑轮滑轮 质质量为量为m、半径为半径为R,可看成质量均匀的圆盘，可看成质量均匀的圆盘，轴上的摩擦力矩为轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻，且不伸长（设绳轻，且不伸长,与滑轮无相对滑动）。与滑轮无相对滑动）。33本讲稿第三十三页，共四十八页因绳不伸长因绳不伸长 a1=a2=a对对m1对对 m2以加速度方向为正，可列出两式以加速度方向为正，可列出两式【解】【解】分别对分别对m1,m2,m受力分析，受力分析，T1-m1g=m1a-（1）m2g-T2=m2 a-（2）34本讲稿第三十四页，

17、共四十八页对滑轮对滑轮 m 由转动定律：由转动定律：-（3）-（4）联立四式解得：联立四式解得：35本讲稿第三十五页，共四十八页将将a带入（带入（1）（）（2）式得：）式得：36本讲稿第三十六页，共四十八页 当不计滑轮质量和摩擦力矩时当不计滑轮质量和摩擦力矩时:（与中学做过的一致！）（与中学做过的一致！）m=0 ,Mf=0，有有讨论讨论37本讲稿第三十七页，共四十八页例例 2.已知：如图，已知：如图，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，匀加速下落时间，匀加速下落时间 t=3s,绳、轮无相对滑动，绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：轮对轴光滑。求：轮对o轴轴 I=？定轴定轴0Rthmv0

18、=0绳绳解题分析：解题分析：分别对物体分别对物体m 和轮和轮 受力分析受力分析Rma38本讲稿第三十八页，共四十八页【解】：【解】：Rm39本讲稿第三十九页，共四十八页作用规作用规律律质点平动质点平动刚体转动刚体转动对对时间时间的累积的累积效应效应40本讲稿第四十页，共四十八页复习题复习题1.有两个力作用在一个有固定轴的刚体上，有两个力作用在一个有固定轴的刚体上，（1）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。对。对。（2）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。错。错。（3）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。）两个力的

19、合力矩为零时，合力也一定为零。错。错。【答】【答】【答】【答】【答】【答】41本讲稿第四十一页，共四十八页复习题复习题2.质量为质量为m，半径为，半径为R的圆盘在水平面上的圆盘在水平面上绕中心竖直轴绕中心竖直轴O转动，圆盘与水平面间的摩擦系转动，圆盘与水平面间的摩擦系数为数为 ，已知开始时薄圆盘的角速度为，已知开始时薄圆盘的角速度为 ，试，试问圆盘转几圈后停止？问圆盘转几圈后停止？解解（1）求摩擦力矩）求摩擦力矩距距r处取宽处取宽dr的圆环，该的圆环，该环受的摩擦力矩为：环受的摩擦力矩为：RrdrO设圆盘的面密度设圆盘的面密度42本讲稿第四十二页，共四十八页整个圆盘受的摩擦力矩为：整个圆盘受的

20、摩擦力矩为：（2）由转动定律：）由转动定律：（3）圆盘转过的角度，圆盘作匀减速转动：）圆盘转过的角度，圆盘作匀减速转动：43本讲稿第四十三页，共四十八页复习题复习题3.半径半径R，盘质量为，盘质量为M，绳子两端与绳子两端与m和弹簧相连，其弹和弹簧相连，其弹性系数性系数k，物静止开始下落，物静止开始下落,绳、绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：下轮无相对滑动，轴光滑。求：下降距离降距离h时的速度？时的速度？mMR44本讲稿第四十四页，共四十八页解：解：45本讲稿第四十五页，共四十八页46本讲稿第四十六页，共四十八页复复习习题题4：长长为为L质质量量为为m的的匀匀质质棒棒，可可绕绕其其通通过过端端点点的的光光滑滑轴轴在在竖竖直直平平面面内内转转动动。求求棒棒从从水水平平位位置置转转到到图图中中位位置置的的角角加加速速度度和和角速度。角速度。解：（解：（1）研究对象：棒；）研究对象：棒；由转动定理，由转动定理，可得：可得：mgCXOxc47本讲稿第四十七页，共四十八页（2）48本讲稿第四十八页，共四十八页