数二-基本知识点.doc

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1、,数二基本知识点Deran Pan2017.8.11目录第一章极限4一、定理4二、重要极限4三、等价无穷小4六、积分和求极限4四、佩亚诺余项泰勒展开4第二章一元函数微分5一、函数微分5二、微分运算法则5三、基本微分公式5四、变限积分求导5五、N阶导数5六、参数方程导数5七、隐函数求导法则，幂指函数求导法则5八、反函数的一阶、二阶求导5九、单调、极值、凹凸、拐点5十、渐近线5十一、曲率6十三、泰勒定理6十四、极限与无穷小的关系6十五、附6第三章一元函数积分7一、定理7二、基本积分公式7三、基本积分方法7四、一个重要的反常积分7五、定积分的应用7第四章多元函数微分8一、如果limxx0yy0fx,

2、y存在，则fx,y在该点连续8二、求重极限方法8三、可微性讨论8四、复合函数微分8五、高阶偏导8六、隐函数求导8七、二元函数极值的充分条件8八、条件极值、拉格朗日乘数法8九、二重积分8十、柯西积分不等式10第五章常微分方程11一、一阶微分方程11二、可降阶的高阶微分方程11三、高阶常系数微分方程11第一章行列式12一、余子式&代数余子式12二、几个重要公式12三、抽象n阶方阵行列式公式12第二章矩阵12一、运算规则12二、特殊矩阵12三、可逆矩阵12四、秩13第三章向量13一、线性表出、线性相关、极大线性无关组13二、施密特正交化13三、正交矩阵13第四章线性方程组14一、克拉默法则14二、齐

3、次线性方程组、基础解系14三、非齐次线性方程组、通解结构14第五章特征值、特征向量、相似矩阵14一、特征值、特征向量14二、相似矩阵14三、实对称矩阵15四、矩阵、特征值、特征向量15五、判断A是否相似于对角15第六章二次型15一、二次型15二、标准型15三、规范型15四、化二次型为标准型，规范型15五、合同16六、惯性定理16七、实对称矩阵A、B合同的充要条件16八、正定16九、正定阵性质16后记17第一章 极限一、 定理夹逼定理，单调有界定理二、 重要极限1.limx0sinxx=12.limx01+x1x=e3.limnnn=14.limx0+xIn xk=05.limxxke-x=1三

4、、 等价无穷小当 x0时：1、 sinxx、2、 tanxx、3、 1-cosx12x24、 ex-1x5、 In 1+xx6、 1+x-1x7、 arcsinxx8、 arctanxx9、 x-1xIn10、 xm+xkxm，(km0)一、二、三、四、五、 洛必达法则六、 积分和求极限limnun=limn1ni=1nfin=01fxdx一、二、三、四、 佩亚诺余项泰勒展开1、 ex=1+x+12!x2+1n!xn+Oxn2、 sinx=x-13!x3+-1n2n+1!x2n+1+Ox2n+23、 cosx=1-12!x2+-1n2n!x2n+Ox2n+14、 In 1+x=x-x22+x3

5、3+-1n-1xnn+Oxn5、 1+xm=1+mx+mm-12!x2+mm-1m-n+1n!xn+Oxn第二章 一元函数微分一、 函数微分dy=Ax+ox=Adx+ox二、 微分运算法则1、 uv=uv2、 uv=uv+uv3、 Cu=Cu4、 uv=uv-uvv2三、 基本微分公式1、 C=02、 x=x-13、 x=xIn4、 ex=ex5、 logx=1xIna6、 cosx=-sinx7、 sinx=cosx8、 cotx=-cscx29、 tanx=secx210、 secx=secxtanx11、 cscx=-cscxcotx12、 arcsinx=11-x213、 arccos

6、x=-11-x214、 arctanx=11+x215、 arccotx=-11+x2四、 变限积分求导1x2xftdt =f2x2x-f1x1x五、 N阶导数1、 uvn=unvn2、 uvn=unv+Cn1un-1v1+Cnkun-kvk+uvn六、 参数方程导数yx=ytxtyxx=yxtxt=xtytt-xttytxt3七、 隐函数求导法则，幂指函数求导法则八、 反函数的一阶、二阶求导dxdy=1dydx=1fxy=-fxfx3九、 单调、极值、凹凸、拐点十、 渐近线水平渐近线：limxfx=b铅直渐近线：limxx0fx=b斜渐近线：limxx0fxx=a，limxx0fx-ax=b

7、十一、 曲率k=|y|1+y232R=1k=1+y232|y|十二、 定理费马定理（驻点）、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。十三、 泰勒定理fx=fx0+fx01!x-x0+fx02!x-x02+fnx0n!x-x0n+Rnx十四、 极限与无穷小的关系limxx0fx=Afx=A+x，其中limxx0x=0十五、 附麦克劳林公式：fx=f0+f01!x+f02!x2+fn0n!xn+Rnxx0=0泰勒公式：fx=fx0+fx01!x-x0+fx02!x-x02+fnx0n!x-x0n+Rnxn=0拉格朗日余项：Rnx=fn+1n+1!x-x0n+1fx=fx0+f1x-x0fx-fx

8、0=fx-x0拉格朗日中值定理n=1佩亚诺余项：Rn=Ox-x0nfx=fx0+fx01x-x0+Ox-x0fx-fx0=fx0x-x0+Ox-x0y=fx0x+Ox-x0增量与微分的关系式第三章 一元函数积分一、 定理1、 定积分存在定理2、 原函数存在定理3、 积分中值定理abfxdx=fb-a二、 基本积分公式1、 xdx=1+1x+1+C2、 1xdx=Inx+C3、 xdx=xIn+C4、 exdx=ex+C5、 sinxdx=-cosx+C6、 cosx dx=sinx+C7、 tanxdx=-Incosx+C8、 cotxdx=Insinx+C9、 secxdx=Insecx+t

9、anx+C10、 cscxdx=Incscx-cotx+C11、 sec2xdx=tanx+C12、 csc2xdx=-cotx+C13、 12+x2dx=1arctanx+C14、 12-x2dx=12In+x-x+C15、 12-x2dx=arcsinx+C16、 1x22dx=Inx+x22+C三、 基本积分方法1、 凑微分法2、 换元积分法a) 含a2-x2，命x=asintb) 含x2+a2，命x=atantc) 含x2-a2，命x=asect3、 部分积分法4、 利用被积函数的奇偶性5、 拆项积分四、 一个重要的反常积分-+e-x2dx=20+e-x2dx=五、 定积分的应用1、

10、平面图形的面积A=aby2x-y1xdxA=cdx2x-x1xdyA=122d2、 平面曲线的弧长S=abxt2+yt2dtS=ab1+yx2dxS=2+2d3、 旋转体体积V=aby2xdxV=aby22x-y12xdxV=2abxy2x-y1xdx4、 旋转曲面面积S=2ab|y|1+f2xdxS=2ab|yt|xt2+yt2dt第四章 多元函数微分一、 如果limxx0yy0fx,y存在，则fx,y在该点连续二、 求重极限方法1、 利用极限性质、四则运算、夹逼准则等2、 消除分母中为零的因子，有理化、等价无穷小等3、 转化为一元函数求极限4、 利用无穷小乘以有节量仍为无穷小三、 可微性讨

11、论1、 可微a) 考察fxx0,y0和fyx0,y0是否都存在。b) 考察limx0y0fx0+x,y0+y-fx0,y0-fxx0,y0x+fyx0,y0yx2+y2=0是否成立。2、 可微的必要条件：可微必可导，不可导一定不可微。3、 可微的充分条件：有连续一阶偏导函数一定可微。四、 复合函数微分1、 一元与多元复合dzdt=dzdududt+dzdvdvdt2、 多元与多元复合zx=zuux+zvvx、zy=zuuy+zvvy3、 全微分形式不变dz=zxdx+zydy =zudu+zvdv五、 高阶偏导2zx2=xzx=fxxx,y2zxy=yzx=fxyx,y2zyx=xzy=fyx

12、x,y2zy2=yzy=fyyx,yfxyx,y 与 fyxx,y 相等，次序无关六、 隐函数求导1、 利用公式a) 一元：dydx=-FxFyb) 二元：zx=-FxFz、zy=-FyFz2、 方程组两端分别求导3、 利用微分形式不变，方程两端求微分七、 二元函数极值的充分条件若 fxx0,y0=0 以及 fyx0,y0=0设 A=fxxx0,y0、B=fxyx0,y0、C=fyyx0,y0则：AC-B20，取的极值，A0为极小值，A0为极大值AC-B20，无极值AC-B2=0，不能确定八、 条件极值、拉格朗日乘数法1、 构造拉格朗日函数Fx,y,=fx,y+x,y2、 解方程组Fx=fx+

13、x=0Fy=fy+y=0F=x,y=0所有满足解的点是可能的极值点九、 二重积分1、 性质a) 比较定理b) 估值定理c) 中值定理2、 计算a) 直角坐标系下的计算i. 适合先y后x的积分域D fx,yd=abdx1x2xfx,ydyii. 适合先x后y的积分域D fx,yd=abdy1y2yfx,ydxb) 极坐标下的计算i. 极点O在区域D之外D fx,yd=d12fcos,sindii. 极点O在区域D的边界上D fx,yd=d0fcos,sindiii. 极点O在区域D的内部D fx,yd=02d0fcos,sindiv. 环形域D fx,yd=02d12fcos,sind3、 利用

14、对称性和奇偶性a) 对称性i. 若积分域关于x或y对称ii. 若积分关于直线x=y对称，则fx,yd=fy,xd十、 柯西积分不等式f(x)gxdx2f2xdx+g2xdx第五章 常微分方程一、 一阶微分方程1、 可分离变量方程2、 齐次方程dydx=fyx，令u=yx，则y=uxdydx=u+xdudx 3、 线性方程y=Pxy=Qx y=e-PxdxQ(x)ePxdxdx+C 二、 可降阶的高阶微分方程1、 反复积分，y(n)=f(x)2、 不是含有y的二阶微分方程y=fy,x，令P=y则：y=dPdx，dPdx=f(P,x)3、 不是含有x的二阶微分方程y=f(y,y)，令P=y则：y=

15、dPdx=dPdydydx=ydPdy=PdPdy三、 高阶常系数微分方程1、 齐次方程：+py+qy=0a) 解特征值：1、2 。2+p+q=0i. 有不相同的两个实根：y=C1e1x+C2e2xii. 有一对相等的实根：y=C1+C2xexiii. 有一对共轭复根i：y=exC1cosx+C2sinx2、 非齐次方程：y+py+qy=f(x)a) 通解形式为y=Y(x)齐次解+y*特解i. 若fx=exQmx，则设y*=xkexPmx。k为特征值的重数ii. 若fx=exQlxcosx +Qnxsinx，则设y*=xkexPlxcosx +Pnxsinxk为特征值i的重数第一章 行列式一、

16、 余子式&代数余子式二、 几个重要公式1、 上（下）三角形行列式AA=a11a22ann2、 副对角线行列式AA=-1nn-12a1na2n-1an13、 A、B分别是m阶，n阶矩阵A*OB=AO*B=|A|B|OAB*=*ABO=-1mn|A|B|4、 范德蒙行列式11 x1 x1 1 x1xnn-1xnn-1xnn-1xnn-1=1j0，则称f正定2、 可逆线性变化不改变二次型的正定性3、 f正定的充要条件：f=XTAX正定A的惯性指数p=r=nAE，即存在CTAC=EA=DTD，CD可逆A的全部特征值i0A的全部顺序主子式大于零4、 f正定的必要条件：f=XTAX正定A的主对角元素aii

17、0A的行列式A0A的主对角元素aii0九、 正定阵性质1、 任意秩为r的n阶实对称矩阵钧与对角矩阵合同，其中p由A唯一确定，称为A的合同标准型。=Ep-Er-p2、 n阶矩阵A正定时与A有关的矩阵kA、AT、Ak、A-1、A*、fA等均是正定矩阵。后记离开学已近在咫尺，从辞职考研到现在也已经过去一年多的时间。回想这一年多时间虽然有遗憾和不满，但更多的是充实与快乐。虽然中间有过无数次想放弃的想法，很多次接到邀约去面试的电话，看到过心仪的公司发布的招聘信息。但庆幸我没有放弃，并坚持了下来。人们说艰辛的经历回忆起来总是甜的，或许就是如此吧。这篇文档曾是我的笔记，顾于丢失，所以写此文档存于网上，就当是自己经历过的一个留念吧。最后，愿所有还在坚持并将一直坚持下去的考研者们梦想成真。同时也感谢这一路支持我的人，感谢我的父母，女朋友还有我的曾经的同事们。