浙江版2018年高考数学一轮复习专题2.5二次函数与幂函数讲.doc

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1、第05节 二次函数与幂函数【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念掌握幂函数，的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.2013浙江文7； 2014浙江文15；理15；2015浙江文20；理18；2016浙江理18；2017浙江5.1.与二次函数相关的单调性、最值问题；2.幂函数的图象与性质的应用.备考重点：1.“三个二次”的结合问题；2.幂函数图象和性质.【知识清单】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR

2、0，)x|xR，且x0值域R0，)R0， )y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇对点练习【2017山东济南诊断】已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()A. B.1 C. D.2【答案】【解析】由幂函数的定义知.又，所以，解得，从而.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(axk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围.【答案】(

3、，1).【解析】(1)由题意知解得所以，由知，函数的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.(2)由题意知，在区间3，1上恒成立，即在区间3，1上恒成立，令，x3，1，在区间3，1上是减函数，则，所以，故k的取值范围是(，1).【变式二】【2017上海南洋模范中学质检】定义在上的函数 ，当 时， ，且对任意的满足（常数），则函数f(x)在区间的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当，所以； 当，所以；当，所以；所以当时， ，故选D.考点4 二次函数根的分布【4-1】一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】记，由已知得，解得【4-2

4、】已知关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】当时，方程为，解得，符合；当时，记，其中.当时，所以题目条件等价于函数在区间内有零点.当时有函数对称轴，若，即，此时的零点为，不符合.因为，即，所以可知对称轴，画图可知此时在区间内无零点.当时有函数对称轴，此时恒成立.因为，所以有，解得.所以此时综上可得，.【4-3】若方程的两实根分别为，且，则的取值范围是 .【答案】 【解析】因为关于的方程的两个根为，且则满足,这样可以解得的范围.【领悟技法】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式，相应区间端点函数值来考虑【

5、触类旁通】【变式一】【2017贵州遵义第四中学模拟】已知关于的方程的两个根分别为其中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，则问题转化为函数的零点在内，由二次函数的根的分布得出不等式组，在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图，则问题转化为求动点与定点连线的斜率的取值范围问题，因为，所以，应填答案A.【变式二】【2017上海市普陀区高三二模】设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是.【答案】【解析】因为不等式对于任意的恒成立，所以不等式对于任意的恒成立，令，即对于任意的恒成立，因为，所以，则，即，解得或（舍）；故答案为.考点5 幂函数的图象与性质【5-1

6、】图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取2，四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()A2，2 B2，2C，2,2， D2，2，【答案】B【解析】当n大于0时，幂函数为单调递增函数，当n小于0时，幂函数为单调递减函数，并且在x1的右侧幂指数n自下而上依次增大，故选B.【5-2】【2017郑州外国语学校期中】已知1，1，2，3，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有的值为()A.1，3 B.1，1C.1，3 D.1，1，3【答案】A【解析】因为函数为奇函数，故的可能值为1，1，3.又的值域为，函数，的值域都为R.所以符合要求的的值为1，3.【5-3】已知幂函数，经过点(2，)，

7、试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围【答案】【解析】幂函数经过点，即.解得或.又，.，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数由，得，解得.的取值范围为.【领悟技法】1幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准2在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点【

8、触类旁通】【变式一】已知函数f(x)(kZ)满足(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q0，使函数g(x)1qf(x)(2q1)x在区间1,2上的值域为4，？若存在，求出q；若不存在，请说明理由.【答案】（1） ；（2）存在【解析】(1)，在第一象限是增函数故，解得又，或 (2)假设存在满足题设，由(1)知，两个最值点只能在端点和顶点处取得而，解得存在满足题意【变式二】【2017上海南洋模范中学检测】函数的单调递增区间是_【答案】 【解析】由，解得，令，则外函数为为减函数，求函数的单调递增区间，即求的减区间，函数在上为减函数，则原函数的

9、增区间为，故答案为.易错试题常警惕易错典例1：若函数ymx2x5在2，)上是增函数，则m的取值范围是_易错分析：忽视正确解析：时，函数在给定区间上是增函数；时，函数是二次函数，对称轴为，由题意知，综上温馨提示：首先是函数类型的确定，其次对于二次函数来说，单调性与开口及对称轴有关系易错典例2：设时，函数的图象在直线yx的上方，则p的取值范围是_易错分析：考虑幂函数yx的图象时比较片面没有考虑到0尤其是易丢0时的情况正确解析：(1)当时，根据题意，(2)时，函数为，符合题意(3)时，在上过(1,1)点，函数为减函数，符合题意综上所述，的取值范围温馨提示：幂函数当指数在不同范围内时其图象也会随着变化

10、，注意分类讨论思想的运用【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【2017吉林松原月考】设函数f(x)x2xa(a0)，已知f(m)0，则()Af(m1)0Bf(m1)0Cf(m1)0Df(m1)0【答案】C【解析】f(x)的对称轴为x，f(0)a0，f(x)的大致图象如图所示由f(m)0，得1m0，m10，f(m1)f(0)0. - 15 -