上海市黄浦区2013届高三数学二模考试试题 文（含解析）.doc

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1、2013年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1（4分）（2013黄浦区二模）函数f（x）=lg（42x）的定义域为（，2）考点：对数函数的定义域专题：计算题分析：有对数型函数的真数大于0解一元一次不等式求函数的定义域解答：解：要使原函数有意义，则42x0，解得x2所以原函数的定义域为（，2）故答案为（，2）点评：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合，是基础的计算题2（4分）（2013黄浦区二模）若复数z满足，则z的值为3

2、i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：直接利用行列式的计算方法求出复数z的方程，然后求出复数z即可解答：解：因为复数z满足，所以z2+9=0，即z2=9，所以z=3i故答案为：3i点评：本题考查行列式的计算方法，复数方程的解法，考查计算能力3（4分）（2013黄浦区二模）在正ABC中，若AB=2，则=2考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由题意可得 =22cos，运算求得它的结果解答：解：在正ABC中，若AB=2，则 与的夹角为，=22cos=2，故答案为2点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题4（4分）（2013黄浦区二模）若直线l过点A（1，3），且

3、与直线x2y3=0垂直，则直线l的方程为2x+y1=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：计算题分析：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k，然后利用直线的点斜式可求直线方程解答：解：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=2所求直线的方程为y3=2（x+1）即2x+y1=0故答案为：2x+y1=0点评：本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是利用垂直关系求解出直线的斜率5（4分）（2013黄浦区二模）等差数列an的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=12考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6由等差数

4、列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案解答：解：等差数列an的前10项和为30，解得a1+a10=6由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=26=12a1+a4+a7+a10=12故答案为12点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键6（4分）（2013黄浦区二模）设a为常数，函数f（x）=x24x+3，若f（x+a）在0，+）上是增函数，则a的取值范围是2，+）考点：函数单调性的性质专题：函数的性质及应用分析：写出f（x+a）的表达式，根据二次函数图象可得其增区间，由题意知0，+）为f（x+a）的增区间的子

5、集，由此得不等式，解出即可解答：解：因为f（x）=x24x+3，所以f（x+a）=（x+a）24（x+a）+3=x2+（2a4）x+a24a+3，则f（x+a）的增区间为2a，+），又f（x+a）在0，+）上是增函数，所以2a0，解得a2，故答案为：2，+）点评：本题考查二次函数的单调性，属中档题，若函数f（x）在区间（a，b）上单调，则（a，b）为f（x）单调区间的子集7（4分）（2013黄浦区二模）执行程序框图，则输出的a值是121考点：循环结构专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断满足：a1=1、an=3an1+1求an100的

6、最小an解答：解：a1=1a2=3a1+1=4a3=3a2+1=13a4=3a3+1=40a5=3a4+1=121，121100，退出循环故答案为：121点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模8（4分）（2013黄浦区二模）已知点P（x，y）的坐标满足，O为坐标原点，则|PO|的最小值为考点：简单线性规划的应用专题：数形结合；不等式的解法

7、及应用分析：作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，利用点到直线的距离公式可得结论解答：解：不等式表示的平面区域如图|PO|表示区域内的点与原点的距离，由点到直线的距离公式可得O到直线x+y3=0的距离为=，此时由，可得x=y=在区域内|PO|的最小值为故答案为：点评：本题考查线性规划知识，考查点到直线的距离公式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题9（4分）（2013黄浦区二模）已知点P（2，3）是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质专题：计算题分析：由题意设该双曲线方程是，把点P（2，3）代入，解得a2=1或a2

8、=16（舍），由此可知该双曲线方程为解答：解：由题意知c=2设该双曲线方程是，把点P（2，3）代入，得，解得a2=1或a2=16（舍）该双曲线方程为点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答10（4分）（2013黄浦区二模）已知圆O1是球O的小圆，若圆O1的半径为cm，球心O到圆O1所在平面的距离为cm，则球O的表面积为144cm2考点：球的体积和表面积专题：计算题分析：通过小圆半径，球心到小圆圆心距离以及球的半径满足勾股定理，求出球的半径，然后求解球的表面积解答：解：因为圆O1是球O的小圆，若圆O1的半径为cm，球心O到圆O1所在平面的距离为cm，小圆半径，球心到小圆圆心

9、距离以及球的半径满足勾股定理，所以球的半径：=6所求球的表面积为：462=144故答案为：144点评：本题考查球的表面积的求法，注意小圆半径，球心到小圆圆心距离以及球的半径满足勾股定理，是解题的关键11（4分）（2013黄浦区二模）在三角形ABC中，A=120，AB=5，BC=7，则的值为考点：正弦定理专题：计算题分析：先通过余弦定理及题设中的条件求出AC的值，再根据正弦定理得出结果解答：解：根据余弦定理cosA=AC=3或AC=8（排除）根据正弦定理，即=故答案为点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用在解决三角形的问题中，常通过这连个定理完成边和角的互化12（4分）（2013黄浦区二模

10、）已知，且An=a0+a1+a2+an，则=考点：二项式定理；极限及其运算专题：计算题分析：由题意令x=1可得 An=4+42+43+4n，利用等比数列的前n项和公式求得它的结果，再利用极限的运算法则求得的值解答：解：在已知的等式中，令x=1可得 4+42+43+4n=a0+a1+a2+an，再由 An=a0+a1+a2+an ，可得 An=4+42+43+4n=，故=，故答案为 点评：本题主要考查求函数的极限的方法，等比数列的前n项和公式，二项式定理的应用注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题13（4分）（2013黄浦区二模

11、）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品用户随机抽取3件产品进行检验，若这3件产品中至少有一件次品，就拒收这箱产品；若这3件产品中没有次品，就接收这箱产品那么这箱产品被用户拒收的概率是（用数字作答）考点：等可能事件的概率专题：计算题；概率与统计分析：（由题意知这箱产品被用户拒绝接收表示的结果比较多，从这箱产品被接收入手，设这箱产品被用户拒绝接收事件为A，被接收为 则由对立事件概率公式得到结果解答：解：由题意知这箱产品被用户拒绝接收表示的结果比较多，从这箱产品被接受入手，设这箱产品被用户拒绝接收事件为A，被接收为则由对立事件概率公式P（A）=1P（）=这箱产品被用户拒绝接收的概率故答

12、案为：点评：本题主要考查了等可能事件的概率求解，解题的关键是对立事件的概率计算公式的应用14（4分）（2013黄浦区二模）已知，若存在区间a，b（0，+），使得y|y=f（x），xa，b=ma，mb，则实数m的取值范围是（0，4）考点：函数单调性的性质专题：综合题；函数的性质及应用分析：依题意，f（x）=4在a，b上单调增，则f（a）=ma，f（b）=mb，从而可得mx2x+1=0必须有两个不相等的正根，利用该方程有二异正根的条件即可求得实数m的取值范围解答：解：f（x）=4在（0，+）是增函数，f（x）在xa，b上值域为f（a），f（b）所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4=ma且4=m

13、b，所以ma24a+1=0且mb24b+1=0，所以mx24x+1=0必须有两个不相等的正根，故m0，解得0m4实数m的取值范围是（0，4）故答案为：（0，4）点评：本题考查函数单调性的性质，着重考查二次函数根的分布问题，将所求的问题转化为mx2x+1=0必须有两个不相等的正根是关键，属于难题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15（5分）（2013黄浦区二模）已知，且sin0，则tan的值为（）ABCD考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的求值分析：利用二倍

14、角公式求得cos ，再根据同角三角函数的基本关系求得sin，从而求得tan的值解答：解：已知，且sin0，cos =21=21=，故sin=，tan=，故选C点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题16（5分）（2013黄浦区二模）函数的反函数是（）ABCD考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：求函数的反函数，根据原函数解出x，然后把x和y互换即可，注意函数定义域解答：解：由y=得，所以原函数的反函数为故选D点评：本题考查了函数反函数的求解方法，解答的关键是正确解出x，特别要注意的是反函数的定义域应为原函数的值域，是易错题17（5分）（2013黄浦区二模）如果函

15、数y=|x|2的图象与曲线C：x2+y2=恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A2（4，+）B（2，+）C2，4D（4，+）考点：直线与圆相交的性质专题：直线与圆分析：根据题意画出函数y=|x|2与曲线C：x2+y2=的图象，抓住两个关键点，当圆O与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OCAB，由三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC为斜边AB的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时的值；当圆O半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时的范围，即可确定出所有满足题意的范

16、围解答：解：根据题意画出函数y=|x|2与曲线C：x2+y2=的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OCAB，OA=OB=2，AOB=90，根据勾股定理得：AB=2，OC=AB=，此时=OC2=2；当圆O半径大于2，即4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数的取值范围是2（4，+）故选A点评：此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键18（5分）（2013黄浦区二模）下列命题：“”是“存在nN*，使得成立”的充分条件；“a0”是“存在nN*，使得成立”的必要条件；“”是“不等式对一切nN*恒成立”的充要

17、条件其中所以真命题的序号是（）ABCD考点：命题的真假判断与应用专题：计算题分析：选项“”应是“存在nN*，使得成立”的充要条件；选项当存在nN*，使得成立时，a只需大于当nN*，时的最小取值即可，可得a0；选项由充要条件的证明方法可得解答：解：选项当时，必存在nN*，使得成立，故前者是后者的充分条件，但存在nN*，使得成立时，a即为当nN*，时的取值范围，即，故“”应是“存在nN*，使得成立”的充要条件，故错误；选项当存在nN*，使得成立时，a只需大于当nN*，时的最小取值即可，故可得a0，故“a0”是“存在nN*，使得成立”的必要条件，故正确；选项由知，当nN*时的取值范围为，故当时，必有

18、“不等式对一切nN*恒成立”，而要使不等式对一切nN*恒成立”，只需a大于的最大值即可，即a故“”是“不等式对一切nN*恒成立”的充要条件故选B点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及指数函数和恒成立问题，属基础题三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（12分）（2013黄浦区二模）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，且（1）求该正四棱柱的体积；（2）若E为线段A1D的中点，求异面直线BE与AA1所成角的大小考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间角分析：（1）由题意可得AA1的长度，代入

19、柱体的体积公式可得答案；（2）设G是棱AD中点，可得GEB就是异面直线AA1与BE所成的角，由三角形的知识可得，由反正切函数可得角的大小解答：解：（1）如图在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，平面ABCD，AA1AD，故，（3分）正四棱柱的体积为（22）3=12 （6分）（2）设G是棱AD中点，连GE，GB，在A1AD中，E，G分别为线段A1D，AD的中点，EGA1A，且，GEB就是异面直线AA1与BE所成的角 （8分）A1A平面ABCD，平面ABCD，AA1GB，又EGA1A，EGBG，（10分），故所以异面直线AA1与BE所成角的大小为 （12分）点评：本题考查棱柱的

20、体积，以及异面直线所成的角，涉及反三角函数的应用，属中档题20（14分）（2013黄浦区二模）已知复数z1=sinx+i，（，xR，i为虚数单位）（1）若2z1=z2i，且x（0，），求x与的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，若，且=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（1）利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出；（2）利用向量的垂直与数量积的关系可得可得，再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简，利用三角函数的周期公式和单调性即可得出解答：解：（1

21、）由2z1=z2i，可得，又，xR，又x（0，），故或（2），由，可得，又=f（x），故=，故f（x）的最小正周期T=，又由Z），可得，故f（x）的单调递减区间为（kZ）点评：熟练掌握复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值、向量的垂直与数量积的关系、倍角公式和两角和差的正弦公式、三角函数的周期公式和单调性是解题的关键.21（14分）（2013黄浦区二模）某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；（2）如

22、果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）考点：函数模型的选择与应用专题：函数的性质及应用分析：（1）由曲线过点，代入曲线方程，求出a值，确定函数关系式；再分别求出分段函数各段上的最大值进行比较，从而得出药量峰值（y的最大值）与达峰时间；（2）把y=1分别代入两个函数关系式求时间，再求时间差，即可得出服用该药一次后能维持多长的有效时间解答：解：（1）由曲线过点，可得，故a=8（2分）当0x1时，（3分）当x1时，设2x1=t，可知t1，（当且仅当t=1时，y=4）（5分）综上可知ymax=4，且当y取最大值时，对

23、应的x值为1所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时 （6分）（2）当0x1时，由，可得x28x+1=0，解得，又，故 （8分）当x1时，设2x1=t，则t1，由，可得，解得，又t1，故，所以，可得 （12分）由图象知当y1时，对应的x的取值范围是，所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间 （14分）点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题22（16分）（2013黄浦区二模）设抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1y2=4

24、（1）求抛物线C的方程；（2）若直线2x+3y=0平分线段AB，求直线l的倾斜角（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2求证：当k0=1时，k1+k2为定值考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的倾斜角；抛物线的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设直线l的方程为，代入y2=2px，消掉x得y的二次方程，利用韦达定理及y1y2=4即可求得p值，从而得抛物线方程；（2）由（1）可知y1+y2=2pa=4a，设点D是线段AB的中点，由中点坐标公式可得D点横坐标，代入直线l方程可得纵坐标，根据点D在直线2x+3y=0上可求得a值，设直线

25、l的倾斜角为，则tan=，根据倾斜角范围即可求得；（3）由k0=1可求得yM，从而得知M点坐标，由（1）知y1+y2=4a，y1y2=4，根据点A、B在直线l上及斜率公式把k1+k2表示出来，进行化简即可求得定值；解答：解：（1）设直线l的方程为，代入y2=2px，可得y22payp2=0（*），由于A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线的两交点，故y1，y2是方程（*）的两个实根，又y1y2=4，所以p2=4，又p0，可得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x（2）由（1）可知y1+y2=2pa=4a，设点D是线段AB的中点，则有，由题意知点D在直线2x+3y=0上，2（2a2+

26、1）+6a=0，解得a=1或，设直线l的倾斜角为，则或2，又0，），故直线l的倾斜角为或arctan2 （3），可得yM=2，由（1）知y1+y2=4a，又y1y2=4，=，所以k1+k2为定值点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线斜率及抛物线方程，直线方程、斜率公式是解决该类问题的基础，应熟练掌握23（18分）（2013黄浦区二模）已知数列an具有性质：a1为整数；对于任意的正整数n，当an为偶数时，；当an为奇数时，（1）若a1=64，求数列an的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m3且mN），数列an的前n项和为Sn，求证：（）考点：数列与函数的综

27、合；等差数列的性质；等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：（1）由，可得an的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列an的通项公式即可；（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（kZ）时；若a1=4k+1（kZ）时；若a1=4k+2（kZ）时；若a1=4k+3（kZ）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；（3）由（m3），可得a2，a3，a4若，则ak是奇数，可得当3nm+1时，成立，又当nm时，an0；当nm+1时，an=0故对于给定的m，Sn的最大值为2m+1m5，即可证出结论解答：解：（1）由，可得，a9=0，即an的前7项成等比数列，从第8起数列

28、的项均为0 （2分）故数列an的通项公式为 （4分）（2）若a1=4k（kZ）时，由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；若a1=4k+1（kZ）时，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=1，故a1=3；（7分）若a1=4k+2（kZ）时，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；若a1=4k+3（kZ）时，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=1，故a1=1；a1的值为3，1，0，2 （10分）（3）由（m3），可得，若，则ak是奇数，从而，可得当3nm+1时，成立 （13分）又，am+2=0，故当nm时，an0；当nm+1时，an=0 （15分）故对于给定的m，Sn的最大值为a1+a2+am=（2m3）+（2m12）+（2m21）+（2m31）+（211）=（2m+2m1+2m2+21）m3=2m+1m5，故 （18分）点评：本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力16