天津市南开区2013届高三数学第二次模拟考试 理（南开二模）（含解析）新人教A版.doc

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1、2013年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（5分）（2013南开区二模）若复数是纯虚数，其中a是实数，则|z|=（）ABC1D2考点：复数求模专题：计算题分析：根据复数= 是纯虚数，求得a的值，即可求得|z|解答：解：复数= 是纯虚数，其中a是实数，a=0，z=i，则|z|=，故选B点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）（2013南开区二模）“p且q是真命题”是“非p为假命题”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也木必要条件考点：必要条件、

2、充分条件与充要条件的判断专题：阅读型分析：本题考查判断充要条件的方法，可以根据充要条件的定义判断，本题关键是复合命题真假的判断解答：解：由p且q是真命题知，p和q均为真命题，所以非p为假命题，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的充分条件；由非p为假命题知，p为真命题，但q真假不知，故无法判断p且q真假，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的不必要条件故选A点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且q

3、p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系3（5分）（2013南开区二模）如图，直线y=2x与抛物线y=3x2所围成的阴影部分的面积是（）ABCD考点：定积分在求面积中的应用专题：计算题；导数的综合应用分析：联解方程组，得直线与抛物线交于点A（3，6）和B（1，2），因此求出函数3x22x在区间3，1上的定积分值，就等于所求阴影部分的面积，接下来利用积分计算公式和法则进行运算，即可得到本题的答案解答：解：由，解得或直线y=2x与抛物线y=3x2交于点A（3，6）和B（1，2）两图象围成的阴影

4、部分的面积为=（311312）3（3）（3）3（3）2=，故选：D点评：本题求直线与抛物线围成的阴影部分图形的面积，着重考查了定积分计算公式和定积分的几何意义等知识，属于基础题4（5分）（2013南开区二模）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（x表示不超过x的最大整数）（）A4B5C7D9考点：程序框图专题：图表型分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，不满足然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果解答：解：n=0不满足判断框中的条件，n=1，s=1，n=1不满足判断框中的条件，n=2，s=2，n=2不满足判断框中的条件，n=3，s=3，n=3不满足判断框中的条件，n=4，

5、s=5，n=4不满足判断框中的条件，n=5，s=7，n=5满足判断框中的条件输出的结果为7，故选C点评：本题主要考查了循环结构，是直到型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题5（5分）（2013南开区二模）已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）ABCD考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：先把三视图还原成原几何体，再根据三视图中的长度关系得到原几何体的棱长，从而求得原几何体的体积解答：解：由三视图知，原几何体是一个三棱锥和一个半球的组合体，其中三棱锥的一个侧棱垂直于底面等腰直角三

6、角形，且高为1，底面等腰直角三角形的腰为1，球的直径为 半径为 原几何体的体积为V=111+（ ）3=故选D点评：本题考查三视图，要求能根据三视图还原成原几何体，并能找到原几何体的棱长及其中的垂直平行关系属简单题6（5分）（2013南开区二模）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a0，b0）的最大值为3，则的最小值为（）A4B3C2D1考点：基本不等式；简单线性规划专题：计算题；作图题分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为3，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出的最小

7、值解答：解：满足约束条件的区域是一个三角形，如图3个顶点是A（3，0），B（2，0），C（ 1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值3，即a+2b=3=（a+2b）（）=（1+4+）9=3（当且仅当a=b=1时取“=”）故选B点评：本题考查的知识点是线性规划，作出线性规划的图形是关键，明确目标函数过点C（1，2）其最优解为3是难点，属于中档题7（5分）（2013南开区二模）如图，F1，F2是双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）ABC2D考点：双曲线的简单性质专题：计算题

8、分析：根据双曲线的定义可求得a=1，ABF2=90，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率解答：解：|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，|AB|2+=，ABF2=90，又由双曲线的定义得：|BF1|BF2|=2a，|AF2|AF1|=2a，|AF1|+34=5|AF1|，|AF1|=3|BF1|BF2|=3+34=2a，a=1在RtBF1F2中，=+=62+42=52，又=4c2，4c2=52，c=双曲线的离心率e=故选A点评：本题考查双曲线的简单性质，求得a与c的值是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档

9、题8（5分）（2013南开区二模）若函数y=f（x）（xR）满足f（x+2）=f（x）且x1，1时，f（x）=1x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）g（x）在区间5，5内的与x轴交点的个数为（）A5B7C8D10考点：函数的零点与方程根的关系专题：压轴题；数形结合分析：由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（xR）是周期为2的函数，进而根据f（x）=1x2与函数g（x）=的图象得到交点为8个解答：解：因为f（x+2）=f（x），所以函数y=f（x）（xR）是周期为2函数，因为x1，1时，f（x）=1x2，所以作出它的图象，则y=f（x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出

10、函数g（x）=的图象，容易得出到交点为8个故选C点评：注意周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为a；若f（x+a）=f（x），则周期为2a；若f（x+a）=，则周期为2a；另外要注意作图要细致二、填空题：（本大题共6小题每小题5分，共30分把答案填在题中横线上）9（5分）（2013南开区二模）已知集合A=x|2x1|3，B=（3，a），若AB=A，则实数a的取值集合是（2，+）考点：交集及其运算专题：计算题分析：解绝对值不等式求出集合A，根据B=（3，a），及AB=A，可以求出a的取值范围，化为集合（区间）形式后可得答案解答：解：|2x1|332x1322x41x2故A=1

11、，2又B=（3，a），若AB=A则a2故实数a的取值集合是（2，+）故答案为（2，+）点评：本题考查的知识点是交集及其运算，其中解不等式求出集合A是解答的关键10（5分）（2013南开区二模）等比数列an的公比为q（q0），其前项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3=考点：等比数列的性质；等差数列的性质专题：计算题分析：由题意可得公比q1，根据S3，S9，S6成等差数列，可得2S9=S3+S6，把等比数列的通项公式代入化简可得2q6q31=0，解方程求得q3 的值解答：解：由题意可得公比q1，S3，S9，S6成等差数列，2S9=S3+S6，2 =+，2q9q6q3=0，2q6q31=

12、0，解得 q3 =，q3 =，故答案为点评：本题考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，得到 2q6q31=0，是解题的关键11（5分）（2013南开区二模）在ABC中，若a=2，B=60，b=，则BC边上的高等于考点：正弦定理专题：计算题；解三角形分析：根据余弦定理b2=a2+c22accosB，结合题中数据算出c=3，从而得到ABC的面积S=acsinB=，再由ABC的面积S=ah（h是BC边上的高），即可算出h的大小，从而得到BC边上的高解答：解：ABC中，a=2，b=，且B=60，根据余弦定理，得b2=a2+c22accosB，可得7=4+c24ccos6

13、0，化简得c22c3=0，解之得c=3（舍负）ABC的面积S=acsinB=23sin60=又ABC的面积S=ah（h是BC边上的高）h=故答案为：点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求BC边上的高长着重考查了三角形的面积公式、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题12（5分）（2013南开区二模）（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），曲线（a为参数）若曲线Cl、C2有公共点，则实数a的取值范围考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质专题：计算题分析：把参数方程化为普通方程，由直线和圆有交点可得圆心到直线的距离小于或等于半径，解不等式求得实数a的取值范围解答：解：曲

14、线（t为参数）即 x+2y2a=0，表示一条直线曲线（a为参数） 即 x2+（y2）2=4，表示圆心为（0，2），半径等于2的圆由曲线Cl、C2 有公共点，可得圆心到直线的距离小于或等于半径，2，2a2+，故答案为：点评：本题考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法13（5分）（2013南开区二模）如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作O，交斜边AB于点D，过点D作O的切线，交BC边于点E则=考点：与圆有关的比例线段专题：选作题分析：连接CD，由AC是O的直径，可得CDAB可证BC是O的切线，及DE是O的切线，由切线长定理可得

15、ED=EC，在RtBCD可证明点E是斜边的中点，即可得出结论解答：解：连接CD，AC是O的直径，CDABBC经过半径OC的端点C且BCAC，BC是O的切线，而DE是O的切线，EC=EDECD=CDE，B=BDE，DE=BEBE=CE=BC故答案为点评：熟练掌握圆的性质、切线长定理、直角三角形的边角关系数据他的关键14（5分）（2013南开区二模）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，若，则=考点：向量在几何中的应用专题：平面向量及应用分析：利用条件，结合向量的加法运算，即可求得结论解答：解：由题意，=+=，=故答案为：点评：本题考查向量的加法运算，考查学生的计算能力，属于中

16、档题三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（13分）（2013南开区二模）设函数（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求a的值考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性专题：计算题；综合题分析：（1）根据二倍角公式，和辅助角公式，我们易将函数的解析化简为正弦型函数的形式，进而求出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，根据函数f（x）的最大值与最小值的和为，我们可构造出关于a的方程，解方程即可得到a的值解答：解（1），

17、（2分）T=（4分）故函数f（x）的单调递减区间是 （6分）（2），（8分）当时，原函数的最大值与最小值的和=，a=0（12分）点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的值域，正弦函数的单调性，其中根据二倍角公式，和辅助角公式，化简函数的形式，是解答本题的关键16（13分）（2013南开区二模）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次每次投篮的结果相互独立在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止投篮的方案有以下

18、两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投：方案2：都在B处投篮甲同学在A处投篮的命中率为0.5，在B处投篮的命中率为0.8（1）当甲同学选择方案1时求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率：求甲同学测试结束后所得总分的分布列和数学期望E；（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（1）设该同学在A处投中为事件A，不中为事件，在B处投中为事件B，不中为事件则事件A，B相互独立，求甲同学测试结束后所得总分等于4可记着事件BB，由对立事件和相互独立事件性质，能求出甲同学测试结束后所得总分等于4的概率根

19、据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错（2）甲同学选择1方案通过测试的概率为P1，选择2方案通过测试的概率为P2，利用分布列可得P1=P（3）和P2=P（）+P（）+P（BB）的大小，再比较P2，P1的大小，从而得出结论解答：解：（1）设该同学在A处投中为事件A，不中为事件，在B处投中为事件B，不中为事件则事件A，B相互独立，求甲同学测试结束后所得总分等于4可记着事件BB，则P（BB）=P（）P（B）P（B）=0.50.80.8=0.32；甲同学测试结束后所得总分的可能值为0，2，3，4则P（=0）=P（）=P（）P（）P（）=0

20、.50.20.2=0.02，P（=2）=P（B）+P（B）=P（）P（B）P（）+P（）P（）P（B）=0.50.80.2+0.50.20.8=0.16，P（=3）=P（A）=0.5，P（=4）=P（）=P（）P（B）P（B）=0.50.80.8=0.32，分布列为：数学期望E=00.02+20.16+30.5+40.32=3.1；（2）甲同学选择1方案通过测试的概率为P1，选择2方案通过测试的概率为P2，则P1=P（3）=0.5+0.32=0.82，P2=P（）+P（）+P（BB）=20.80.2+0.80.8=0.896，P2P1，甲同学选择1方案通过测试的可能性更大点评：本题考查离散型随

21、机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化17（13分）（2013南开区二模）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，ABC=60，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB底面ABCD（）设AB的中点为Q，求证：PQ平面ABCD；（）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；（）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角MBDC的大小为60，求的值考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（I）由Q为侧面正三角形PAB的边AB的中点，可得PQAB，再利用面面垂直的性质定理即可证

22、明线面垂直；（II）通过结论空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出；（III）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角，进而解出解答：（）证明：侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q，PQAB，侧面PAB底面ABCD，侧面PAB底面ABCD=AB，PQ侧面PAB，PQ平面ABCD（）连接AC，设ACBD=O，建立空间直角坐标系Oxyz，则O（0，0，0），C（0，1，0），平面ABCD的法向量，设斜线PD与平面ABCD所成角的为，则（）设=，则M，=，设平面MBD的法向量为，则，取，得，又平面ABCD的法向量，解得t=2（舍去）或所以，此时=点评：熟练掌握正三角形的性质、

23、面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角得出线面角、利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角是解题的关键18（13分）（2013南开区二模）已知数列an的前n项和为Sn，且对一切正整数n成立（1）证明：数列3+an是等比数列，并求出数列an的通项公式；（2）设bn=an，求数列bn的前n项和为Bn；（3）数列an中是否存在构成等差数列的四项？若存在求出一组；否则说明理由考点：数列的求和；等比关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知可得Sn=2an3n，进而得an+1=Sn+1Sn=2an+3，故an+1+3=2（an+3）

24、，数列an+3是等比数列，易求结果；（2）由（1）可知bn=an=n2nn，由错位相减法可解；（3）先假设存在，由题意可得2m+2q=2n+2p，即1+2qm=2nm+2pm，推出矛盾解答：解：（1）由an=（3n+Sn）可得Sn=2an3n，故an+1=Sn+1Sn=2an+3由待定系数法得an+1+3=2（an+3）又a1+3=60数列an+3是以6为首项，2为公比的等比数列an+3=62n1，an=3（2n1）（4分）（2）由（1）可得bn=an=n2nn，Bn=121+222+323+n2n（1+2+3+n） 2Bn=122+223+324+n2n+12（1+2+3+n） 得，Bn=2

25、+（22+23+2n）+化简可得Bn=2+（9分）（3）假设数列an存在构成等差数列的四项依次为：am、an、ap、aq（mnpq）则3（2m1）+3（2q1）=3（2n1）+3（2p1）2m+2q=2n+2p上式两边同除以2m，则1+2qm=2nm+2pmm、n、p、qN*，且mnpq，上式左边是奇数，右边是偶数，相矛盾数列an不存在构成等差数列的四项点评：本题为数列的综合应用，涉及由和求通项公式，错位相减法求和，属中档题19（14分）（2013南开区二模）已知椭圆的离心率为（I）若原点到直线x+yb=0的距离为，求椭圆的方程；（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45的直线l和椭圆交于A，B两

26、点（i）当，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数，满足的关系式考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题专题：综合题；压轴题分析：（I）由题意知b=2，a2=12，b2=4由此可知椭圆的方程为（II）（i）由题意知椭圆的方程可化为：x2+3y2=3b2，AB：，所以设A（x1，y1），B（x2，y2），所以b=1（II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等成立同上经可知2+2=1解答：解：（I），解得a2=12，b2=4椭圆的方程为（4分）（II）（i），椭圆的方程可化为：x2+3y2=3b2易知右焦点，据题

27、意有AB：由，有：设A（x1，y1），B（x2，y2），b=（18分）（II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等成立设M（x，y），（x，y）=（x1，y1）+（x2，y2），x=x1+x2，y=y1+y2，又点M在椭圆上，（x1+x2）2+3（y1+y2）2=3b2由有：则3b29b2+6b2=0又A，B在椭圆上，故有x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2将，代入可得：2+2=1（14分）点评：本题考查圆锥曲线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，仔细解答20（14分）（2013南开区二模）已知函数f（x）

28、=alnxbx2图象上一点P（2，f（2）处的切线方程为y=3x+2ln2+2（）求a，b的值；（）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（）令g（x）=f（x）kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g（x0）0考点：函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性专题：计算题；证明题；压轴题分析：（）只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数；（）先要利用导数研究好函数h（x）=f（x）+m=2lnxx2+m，的单

29、调性，结合单调性及在内有两个不等实根通过数形结合易知m满足的关系从而问题获得解答；（）用反证法现将问题转化为有关方程根的形式，在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即可获得解答解答：解：（）f（x）=2bx，f（2）=aln24b，且aln24b=6+2ln2+2解得a=2，b=1（）f（x）=2lnxx2，令h（x）=f（x）+m=2lnxx2+m，则，令h（x）=0，得x=1（x=1舍去）在内，当时，h（x）0，h（x）是增函数；当x1，e时，h（x）0，h（x）是减函数，则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是：即（）g（x）=2lnxx2kx，假设结论成立，则有：，得由得，即，即令，（0t1），则0u（t）在0t1上增函数，u（t）u（1）=0，式不成立，与假设矛盾g（x0）0点评：本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法值得同学们体会反思17