2016高考数学专题复习导练测第三章高考专题突破一高考中的导数应用问题理新人教A版.doc

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1、高考专题突破一高考中的导数应用问题考点自测1函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)答案B解析yx2ln x，yx(x0)令y0，得0x1，即递减区间为(0,1故选B.2已知函数f(x)asin 2xsin 3x (a为常数)在x处取得极值，则a的值为()A1 B0 C. D答案A解析f(x)2acos 2xcos 3x，f2acos cos 0，a1，经验证符合题意3函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A20 B18 C3 D0答案A解析因为f(x)3x233(x1)(x1)

2、，令f(x)0，得x1，可知f(x)在x1处取得极值又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在区间3,2上f(x)max1，f(x)min19.由题设知在区间3,2上f(x)maxf(x)mint，从而t20，所以t的最小值是20.4已知函数f(x)在1，)上为减函数，则实数a的取值范围为_答案e，)解析f(x)，因为f(x)在1，)上为减函数，故f(x)0在1，)上恒成立，即ln a1ln x在1，)上恒成立设(x)1ln x，(x)max1，故ln a1，ae.5(2013安徽)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1，x2.若f(x1)x1x2，则关于x的方程3(

3、f(x)22af(x)b0的不同实根个数为_答案3解析f(x)3x22axb；由已知x1，x2是方程3x22axb0的不同两根，当f(x1)x10，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0对x(1,1)都成立，即a(x1)对x(1,1)都成立令y(x1)，则y10.所以y(x1)在(1,1)上单调递增，所以y0或f(x)0)上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立思维点拨(1)求f(x)，讨论参数t求最小值；(2)分离a，利用求最值得a的取值范围；(3)寻求所证不等式和

4、题中函数f(x)的联系，充分利用(1)中所求最值(1)解由f(x)xln x，x0，得f(x)ln x1，令f(x)0，得x.当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增当0tt2，即0t时，f(x)minf()；当t0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.(3)证明问题等价于证明xln x(x(0，)由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到，设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到从而对一切x(

5、0，)，都有ln x成立思维升华(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题设函数f(x)xexx(x1)2.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)当x0时，f(x)x2x2恒成立，求a的取值范围解(1)a1，f(x)xexx(x1)2xexx2x2，f(x)(ex1)(x1)，当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，f(x)在(1,0)上单调递减，在(，1)，(0，)上单调递增(2)由f(x)x2x2，得x(exx)0，即要满足exx，当x0时，显然成立；当x0时，即，记g(x)

6、，则g(x)，易知g(x)的最小值为g(1)e，e，得a2(e1)综上所述，a的取值范围是(，2e2题型三利用导数研究方程解或图象交点问题例3已知f(x)ax2 (aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，求a的取值范围解(1)F(x)ax22ln x，其定义域为(0，)，所以F(x)2ax (x0)当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，F(x)0)恒成立故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a(x)在区间，e上有两

7、个不等解由(x)易知，(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)()所以(x)min(e)，如图可知(x)a有两个不等解时需a.即f(x)g(x)在，e上有两个不等解时a的取值范围为a.思维升华对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在，e上有两个零点，求实数m的取值范围解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)

8、2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.x，e，当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又g()m2，g(e)m2e2，g(e)g()4e20，则g(e)g()，g(x)在，e上的最小值是g(e)g(x)在，e上有两个零点的条件是解得10，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)9c21，f(3)9

9、c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.2已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解(1)由题意得f(x)3ax22xb，因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32

10、x，所以g(x)x22.令g(x)0，解得x1，x2，则当x时，g(x)0，从而g(x)在区间(， )，(，)上是减函数；当x0，从而g(x)在区间(，)上是增函数由上述讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值g(2).3已知函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a3时，求函数f(x)在，2上的最大值和最小值；(2)当函数f(x)在(，2)上单调时，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)2x3，令f(x)0，解得x或1.当x(0，)(1，)时，f(x)0，故f(x)在(，1)上单

11、调递增，所以函数f(x)在区间(，2)上仅有极大值点x1，故这个极大值点也是最大值点，故函数f(x)在，2上的最大值是f(1)2.又f(2)f()(2ln 2)(ln 2)2ln 20，故f(2)f()，故函数在，2上的最小值为f(2)2ln 2.(2)f(x)2xa，令g(x)2x，则g(x)2，则函数g(x)在(，)上单调递减，在(，2)上单调递增，由于g()3，g(2)，g()2，故函数g(x)在(，2)的值域为2，)若要f(x)0在(，2)上恒成立，即a2x在(，2)上恒成立，只要a2；若要f(x)0在(，2)上恒成立，即a2x在(，2)上恒成立，只要a，综上所述，a的取值范围是(，2

12、，)4已知f(x)x23x1，g(x)x.(1)a2时，求yf(x)和yg(x)的公共点个数；(2)a为何值时，yf(x)和yg(x)的公共点个数恰为两个解(1)a2时，由得x23x1x，整理得x3x2x20(x1)令yx3x2x2，求导得y3x22x1，令y0，得x11，x2，故得极值点分别在1和处取得，且极大值、极小值都是负值所以yx3x2x20的解只有一个即yf(x)与yg(x)的公共点只有一个(2)由得x23x1x，整理得ax3x2x(x1)，令h(x)x3x2x，联立对h(x)求导可以得到极值点分别在1和处的草图，如图所示，h(1)1，h()，当ah(1)1时，ya与yh(x)仅有一

13、个公共点(因为(1,1)点不在yh(x)曲线上)，故a时恰有两个公共点5某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知u与(x)2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数表达式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解(1)设uk(x)2，售价为10元时，年销量为28万件，28k(10)2，解得k2.u2(x)22x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；当x(9,11)时，y0.函数y2x333x2108x108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减当x9时，y取最大值，且ymax135，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元6(2014课标全国)设函数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)0，即f(x)在(1，)单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1，解得1a1.若a1，故当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)单调递减，在(，)单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f()，所以不合题意若a1，则f(1)1.综上，a的取值范围是(1，1)(1，)12