高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算空间向量的数量积运算素材新人教A版选修2_1.doc
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1、空间向量的数量积运算知识点一 求两向量的数量积如图所示,已知正四面体O-ABC的棱长为 a,求.解 由题意知 | | = | | = | | = a,且,= 120, ,= 120, =( )= ,= a2cos120a2cos1200【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点,如,60时, ,120. 已知长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD4,E为AB1的中点,F为A1D1的中点,试计算:(1) ;(2) ;(3) .解 如图所示,设a,b,c,则|a|c|2,|b|4,abbcca0. (1) = b (c a )+b= | b |2 = 42 =
2、 16 .(2) = (c a +b )( a + c )= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.(3) = (ca)b(ba)(abc)(ba)|a|2|b|22.知识点二 利用数量积求角如图,在空间四边形OABC中,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60,求OA与BC所成角的余弦值解 . 因,所以 = =|cos ,| | | | cos , =84cos135 86cos120所以cos,=.即OA与BC所成角的余弦值为.【反思感悟】在异面直线上取两个向量,则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题需注意的是:转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补在
3、二面角l中,A,B,C,Dl,ABCD为矩形,P,PA,且PAAD,M、N依次是AB、PC的中点(1)求二面角l的大小;(2)求证:MNAB;(3)求异面直线PA与MN所成角的大小(1)解 PA,lPAl,又ADl,PAAD=A,l平面PAD,lPD,故ADP为二面角-l-的平面角,由PA=AD得ADP=45.二面角-l-的大小为45.(2)证明 ,(), , = = ,ADAB,APAB 0,0, MNAB.(3)解 设APa,由(2)得 a2,|a,| |a, cos,即异面直线PA与MN所成角为45.知识点三 利用数量积证明垂直关系如图所示,m,n是平面内的两条相交直线如果lm,ln,求
4、证:l . 证明 在内作任一直线g,分别在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.因为m与n相交,所以向量m,n不平行由向量共面的充要条件知,存在惟一的有序实数对(x,y),使gxmyn.将上式两边与向量l作数量积,得lgxlmyln.因为lm0,ln0,所以lg0, 所以lg.即lg.这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线,所以l.【反思感悟】证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直,即证明两向量数量积为零已知:在空间四边形OABC中,OABC,OBAC,求证:OCAB.证明 OABC,OBAC,= 0,= 0. (+) ( + )= = ()= ()0, ,OCAB.课堂小结:
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