高级中学数学-不等式理解练习.doc

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1、,不等式专项练习一选择题（共6小题）1（2014四川）若ab0，cd0，则一定有（）ABCD2（2014重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A6+2B7+2C6+4D7+43（2014上饶一模）已知函数f（x）的定义域为（，+），f（x）为f（x）的导函数，函数y=f（x）的图象如图所示，且f（2）=1，f（3）=1，则不等式f（x26）1的解集为（）A（2，3）B（，）C（2，3）（3，2）D（，）（，+）4（2014云南模拟）不等式x（x3）0的解集是（）Ax|x0Bx|x3Cx|0x3Dx|x0或x35（2014成都三模）已知不等式组，则其表示的平面区域的面积

2、是（）A1B2C3D46（2014江西二模）已知实数a的值有如图程序框图算出，设x，y满足约束条件，则z=ax+5y的最大值是（）A4B5C1D14二解答题（共12小题）7（2014虹口区三模）阅读：已知a、b（0，+），a+b=1，求y=+的最小值解法如下：y=+=（+）（a+b）=+33+2，当且仅当=，即a=1，b=2时取到等号，则y=+的最小值为3+2应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a，b，c（0，+），a+b+c=1，求y=+的最小值；（2）已知x（0，），求函数y=+的最小值；（3）已知正数a1、a2、a3，an，a1+a2+a3+an=1，求证：S=+8（2014宝鸡三模）

3、设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（1）若b=12，求f（x）在1，3的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N，使得当nN时，不等式恒成立9（2012江苏三模）选修45：不等式选讲已知实数a，b，c满足abc，且有a+b+c=1，a2+b2+c2=1求证：1a+b10（2011盐城二模）设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=m，求证11（2011苏州二模）已知a，b是正数，求证（a+）（2b+）12（2011上海模拟）已知函数，其中0ab（1）当D=（0，+）时，设，f（x）=g（t），求y=g（t）的

4、解析式及定义域；（2）当D=（0，+），a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（3）设k0，当a=k2，b=（k+1）2时，1f（x）9对任意xa，b恒成立，求k的取值范围13（2004宁波模拟）（1）已知|a|1，|b|1，求证：|1；（2）求实数的取值范围，使不等式|1对满足|a|1，|b|1的一切实数a、b恒成立；（3）已知|a|1，若|1，求b的取值范围14（2000天津）设函数，其中a0，（1）解不等式f（x）1；（2）证明：当a1时，函数f（x）在区间0，+）上是单调函数15（2005上海）已知函数f（x）=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A、B，（分别是与x，y轴正半轴同方向

5、的单位向量），函数g（x）=x2x6（1）求k，b的值；（2）当x满足f（x）g（x）时，求函数的最小值16（2014广西）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为_17（2014河南）若a0，b0，且+=（）求a3+b3的最小值；（）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由18（2010辽宁）已知a，b，c均为正数，证明：6，并确定a，b，c为何值时，等号成立2014年08月17日524222027的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1（2014四川）若ab0，cd0，则一定有（）ABCD考点：不等关系与不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：利用特例法

6、，判断选项即可999解答：解：不妨令a=3，b=1，c=3，d=1，则，C、D不正确；，A不正确，B正确故选：B点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，带数计算正确即可2（2014重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A6+2B7+2C6+4D7+4考点：基本不等式；对数的运算性质菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：利用对数的运算法则可得0，a4，再利用基本不等式即可得出解答：解：3a+4b0，ab0，a0b0log4（3a+4b）=log2，log4（3a+4b）=log4（ab）3a+4b=ab，a4，a0b00，a4，则a+b=a+=a+=（a4）+7+

7、7=4+7，当且仅当a=4+2取等号故选：D点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题3（2014上饶一模）已知函数f（x）的定义域为（，+），f（x）为f（x）的导函数，函数y=f（x）的图象如图所示，且f（2）=1，f（3）=1，则不等式f（x26）1的解集为（）A（2，3）B（，）C（2，3）（3，2）D（，）（，+）考点：一元二次不等式的解法；导数的几何意义菁优网版权所有专题：计算题分析：由函数y=f（x）的图象，知x0时，f（x）是增函数；x0时，f（x）是减函数由f（2）=1，f（3）=1，不等式f（x26）1的解集满足x|2x263，由此能求出结果解答：解：函数

8、y=f（x）的图象如图所示，x0时，f（x）是增函数；x0时，f（x）是减函数f（2）=1，f（3）=1，由不等式f（x26）1得2x263，解得3x2或2x3故选C点评：本题考查一元二次不等式的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，注意导数的性质和应用4（2014云南模拟）不等式x（x3）0的解集是（）Ax|x0Bx|x3Cx|0x3Dx|x0或x3考点：一元二次不等式的解法菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：结合函数y=x（x3）的图象，求得不等式x（x3）0的解集解答：解：由不等式x（x3）0，结合函数y=x（x3）的图象，可得不等式x（x3）0的解集为 x|0x3，故选：C点评

9、：本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题5（2014成都三模）已知不等式组，则其表示的平面区域的面积是（）A1B2C3D4考点：简单线性规划菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域对应的图形，即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A（0，2），C（2，0），由，解得，即B（2，4），则直角三角形ABC的面积S=，故选：D点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合作出对应的平面区域是解决本题的关键，比较基础6（2014江西二模）已知实数a的值有如图程序框图算出，设x，y满足约束条件，则z=ax+5y的最大值是（

10、）A4B5C1D14考点：简单线性规划；程序框图菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：根据程序框图，计算a，利用线性规划的知识即可得到结论解答：解：第一次循环，K=2，a=10+2=8，第二次循环，K=4，a=8+4=4，第三次循环，K=6，a=4+6=2，此时满足条件，输出a=2，即z=ax+5y=2x+5y，则y=，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知当直线经过点A（0，1）时，y=的截距最大，此时z最大，此时z=2x+5y=5，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用程序和框图，求出a的值是解决本题的关键二解答题（共12小题）7（2014虹口区三模）阅读：已知a、b（

11、0，+），a+b=1，求y=+的最小值解法如下：y=+=（+）（a+b）=+33+2，当且仅当=，即a=1，b=2时取到等号，则y=+的最小值为3+2应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a，b，c（0，+），a+b+c=1，求y=+的最小值；（2）已知x（0，），求函数y=+的最小值；（3）已知正数a1、a2、a3，an，a1+a2+a3+an=1，求证：S=+考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：利用“乘1法”和基本不等式即可得出解答：解（1）a+b+c=1，y=+=（a+b+c）=3+2=9，当且仅当a=b=c=时取等号即的最小值为9（2）=10+2，而，=8，当且

12、仅当，即时取到等号，则y18，函数y=的最小值为18（3）a1+a2+a3+an=1，2S=（+）（a1+a2）+（a2+a3）+（an+a1）=+（2a1a2+2a2a3+2ana1）=1当且仅当a1=a2=an=时取到等号，则点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题8（2014宝鸡三模）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（1）若b=12，求f（x）在1，3的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N，使得当nN时，不等式恒成立考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数恒

13、成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）当b=12时，由得x=2，可判断出当x1，2）时，f（x）单调递减；当x（2，3时，f（x）单调递增，故f（x）在1，3的最小值在x=2时取得（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点，即使在（1，+）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（1，+）有两个不等实根，可以利用一元二次函数根的分布可得，解之即可求b的范围（3）先构造函数h（x）=x3x2+ln（x+1），然后研究h（x）在0，+）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而

14、得到ln（x+1）x2x3，最后令，即可证得结论解答：解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+），b=12时，由，得x=2（x=3舍去），当x1，2）时，f（x）0，当x（2，3时，f（x）0，所以当x1，2）时，f（x）单调递减；当x（2，3时，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（2）=412ln3（2）由题意在（1，+）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（1，+）有两个不等实根，设g（x）=2x2+2x+b，则，解之得；（3）对于函数f（x）=x2ln（x+1），令函数h（x）=x3f（x）=x3x2+ln（x+1）则，当x0，+）时，h（x）0所以函数h（x）在0，+）

15、上单调递增，又h（0）=0，x（0，+）时，恒有h（x）h（0）=0即x2x3+ln（x+1）恒成立取，则有恒成立显然，存在最小的正整数N=1，使得当nN时，不等式恒成立点评：本题以函数为载体，考查函数的最值，考查函数的单调性第一问判断f（x）在定义域的单调性即可求出最小值第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点是解题的关键，第三问的关键是构造新函数，利用导数证明不等式9（2012江苏三模）选修45：不等式选讲已知实数a，b，c满足abc，且有a+b+c=1，a2+b2+c2=1求证：1a+b考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系菁优网

16、版权所有专题：证明题分析：由题意可得a，b是方程x2（1c）x+c2c=0的两个不等实根，由判别式大于0可得c1再由（ca）（cb）0，解得c0，或c，取交集得到c0，从而得到1a+b解答：证明：因为a+b=1c，ab=c2c，所以a，b是方程x2（1c）x+c2c=0的两个不等实根，则=（1c）24（c2c）0，解得c1（4分）而（ca）（cb）=c2（a+b）c+ab0，即c2（1c）c+c2c0，解得c0，或c（不和题意，舍去），（7分）所以c0，即1a+b （8分）点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，式子的变形是解题的关键，属于中档题10（2011

17、盐城二模）设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=m，求证考点：基本不等式菁优网版权所有专题：证明题分析：根据基本不等式的性质可分别求得a1+a2+a3和的最小值，两式相乘即可求得的最小值，整理后原式得证解答：证明：=，当且仅当时等号成立又m=a1+a2+a30，点评：本题主要考查了基本不等式的应用解题的时候要特别注意等号成立的条件11（2011苏州二模）已知a，b是正数，求证（a+）（2b+）考点：基本不等式菁优网版权所有专题：证明题分析：把不等式左边利用多项式的乘法法则计算后，由a与b为正数，利用均值不等式a+b2，当且仅当a=b时取等号，即可求出左边式子的最小值为，得证解答：证明

18、：因为a，b是正数，利用均值不等式，（a+）（2b+）=2ab+2+=（2ab+）+2+=，所以（a+）（2b+）点评：此题考查了基本不等式的运用，是一道证明题熟练掌握基本不等式是证明的关键12（2011上海模拟）已知函数，其中0ab（1）当D=（0，+）时，设，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定义域；（2）当D=（0，+），a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（3）设k0，当a=k2，b=（k+1）2时，1f（x）9对任意xa，b恒成立，求k的取值范围考点：基本不等式；函数恒成立问题；二次函数的性质菁优网版权所有专题：计算题；综合题分析：（1）由题意可得f（x）=+1，而t=+

19、，于是可得y=g（t）的解析式及定义域；（2）a=1，b=2时，f（x）=3，利用x+121即可求得f（x）的最小值；（3）由题意可求得xa，b=k2，（k+1）2时，f（x）min=，由19，k0，即可求得k的取值范围解答：解：（1）t=+，0ab，x0，t2=，又f（x）=+=+1，f（x）=g（t），g（t）=（t1）2+1，t，+）；（2）x0，a=1，b=2，f（x）=3，又x+121（当且仅当x=时取“=”）f（x）3=64，f（x）min=64（3）由题意可得，xa，b=k2，（k+1）2，1f（x）9恒成立，只需求得xk2，（k+1）2时f（x）的最小值即可此时，f（x）=+1

20、，k0，x0，令g（x）=+=（x+）由双钩函数y=h（x）=x+（a0）的性质h（x）在（0，单调递减，在，+）单调递增得：g（x）在k2，k（k+1）上单调递减，在k（k+1），（k+1）2单调递增当x=k（k+1）时g（x）取到最小值；当x=k2时，g（k2）=2+；当x=（k+1）2时，g（k+1）2）=2+=g（k2），即当x=k2或（k+1）2时g（x）取到最大值；g（x）min=，g（x）max=2+；由题意可知，当g（x）取到最小值时，f（x）取到最小值，g（x）取到最大值时，f（x）亦取到最大值f（x）min=+1=；同理可求，f（x）max=1f（x）9对任意xk2，（k+

21、1）2恒成立，而k0，0k点评：本题考查基本不等式，考查函数恒成立问题，考查二次函数的性质，考查综合分析与运算能力，难度大，属于难题13（2004宁波模拟）（1）已知|a|1，|b|1，求证：|1；（2）求实数的取值范围，使不等式|1对满足|a|1，|b|1的一切实数a、b恒成立；（3）已知|a|1，若|1，求b的取值范围考点：基本不等式；分析法和综合法菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）用综合法，首先化简|1ab|2|ab|2可得，|1ab|2|ab|2=1+a2b2a2b2=（a21）（b21）；结合题意中|a|1，|b|1，可得a、b的范围，进而可得|1ab|2|ab|20，由

22、不等式的性质，可得答案；（2）根据题意，将|1转化为分式，可得|1（a221）（b21）0，由于|b|1，则b210，即只需a2210即可，分a=0与a0两种情况讨论，可得答案；（3）根据题意，可得|1（a21）（b21）0，结合题意|a|1，可得a21，即只需1b20，解可得答案解答：解：（1）证明：|1ab|2|ab|2=1+a2b2a2b2=（a21）（b21）|a|1，|b|1，a210，b210|1ab|2|ab|20|1ab|ab|，=1（2）解：|1|1ab|2|ab|2=（a221）（b21）0b21，a2210对于任意满足|a|1的a恒成立当a=0时，a2210成立；当a0时

23、，要使2对于任意满足|a|1的a恒成立，而1，|1故11（3）|1（）21（a+b）2（1+ab）2a2+b21a2b20（a21）（b21）0|a|1，a211b20，即1b1点评：本题考查不等式性质的基本运用，注意结合题意，进行分式、整式的转化，一般利要积的符号法则进行分析14（2000天津）设函数，其中a0，（1）解不等式f（x）1；（2）证明：当a1时，函数f（x）在区间0，+）上是单调函数考点：其他不等式的解法；函数单调性的判断与证明菁优网版权所有专题：计算题；综合题；分类讨论分析：（1）不等式f（x）1，转化为一元二次不等式组，根据a的范围求解不等式即可（2）当a1时，利用函数单调

24、性的定义，即：在区间0，+）上任取x1，x2，使得x1x2，证明f（x1）f（x2）0，从而证明函数f（x）在区间0，+）上是单调减函数解答：（1）解：不等式f（x）1即，由此得11+ax，即ax0，其中常数a0所以，原不等式等价于即（3分）所以，当0a1时，所给不等式的解集为；当a1时，所给不等式的解集为x|x0（6分）（2）证明：在区间0，+）上任取x1，x2使得x1x2=，又x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以，当a1时，函数f（x）在区间0，+）上是单调递减函数（12分）点评：本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推

25、理能力15（2005上海）已知函数f（x）=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A、B，（分别是与x，y轴正半轴同方向的单位向量），函数g（x）=x2x6（1）求k，b的值；（2）当x满足f（x）g（x）时，求函数的最小值考点：基本不等式在最值问题中的应用；直线的斜率菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）观察题设条件，可先求出f（x）=kx+b的图象与x，y轴交点A、B的坐标，表示出向量AB的坐标，即可与=（2，2）建立相关的方程，解方程求出k，b的值（2）由f（x）g（x）解出x的取值范围，再对化简，因其形式中出现了积为定值的形式，故可以用基本不等式求最值，此时注意验证等号成立的条件解答：解

26、：（1）由已知得A（，0），B（0，b），则=，b，于是=2，b=2、k=1，b=2（2）由f（x）g（x），得x+2x2x6，即（x+2）（x4）0，得2x4，由=x+2+5由于x+20，则3，其中等号当且仅当x+2=1，即x=1时成立的最小值是3点评：本题考查向量的相等的条件及用基本不等式求最值，用基本不等式求最值时要注意验证等号成立的条件与相关因子的符号16（2014广西）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5考点：简单线性规划菁优网版权所有专题：数形结合分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答

27、：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大此时zmax=1+41=5故答案为：5点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题17（2014河南）若a0，b0，且+=（）求a3+b3的最小值；（）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：（）由条件利用基本不等式求得 ab4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值（）根据 ab4及基本不等式求的2a+3b8，从而可得不存

28、在a，b，使得2a+3b=6解答：解：（）a0，b0，且+=，=+2，ab2，当且仅当a=b=时取等号a3+b3 22=4，当且仅当a=b=时取等号，a3+b3的最小值为4（）由（1）可知，2a+3b2=246，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题18（2010辽宁）已知a，b，c均为正数，证明：6，并确定a，b，c为何值时，等号成立考点：基本不等式菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性证法二：先用基本不等式推出a

29、2+b2+c2ab+bc+ac与两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法其本质与证法一同解答：证明：（证法一）因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得所以（6分）故又所以原不等式成立（8分）当且仅当a=b=c时，式和式等号成立当且仅当时，式等号成立即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立（10分）（证法二）因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以a2+b2+c2ab+bc+ac同理（6分）故所以原不等式成立（8分）当且仅当a=b=c时，式和式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，式等号成立即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立（10分）点评：考查放缩法在证明不等式中的应用，本题在用缩法时多次用到基本不等式，请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理，并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑，什么时候可以不考虑