高级中学数学三角恒等变换理解练习.doc

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1、,高中数学三角恒等变换练习一选择题（共12小题）1（2016福建模拟）已知sin（x+）=，则cosx+cos（x）的值为（）ABCD2（2016郑州一模）cos160sin10sin20cos10（）ABCD3（2015天津校级一模）若sin2=，sin（）=，且，则+的值是（）ABC或D或4（2015保定一模）sin15cos15=（）ABCD5（2015江西一模）sin135cos（15）+cos225sin15等于（）ABCD6（2015哈尔滨校级二模）若向量=（sin（+），1），=（1，cos），则sin（+）=（）ABCD7（2015吉林校级四模）在ABC中，若tanAtanB=

2、tanA+tanB+1，则cosC=（）ABCD8（2015烟台一模）已知，（0，）且，则2=（）ABCD9（2015大连校级模拟）已知向量，且，则sin2+cos2的值为（）A1B2CD310（2015江西一模）已知12sin5cos=13，则tan=（）ABCD11（2015春沈阳期末）下列各式中，值为的是 （）Asin15cos15BCD12（2015秋南昌校级期末）已知tanx=，则sin2x+3sinxcosx1的值为（）AB2C2或2D2二填空题（共15小题）13（2016春南京校级月考）cos（+）=，tantan=，求cos（）=14（2016凉山州模拟）设向量=（3cosx，

3、1），=（5sinx+1，cosx），且，则cos2x=15（2015张掖模拟）已知为第二象限角，则cos2=16（2015天水校级四模）若cos2（+）=，则sin2=17（2015温州三模）已知sincos=（0），则sin2=，sin（2）=18（2015大连模拟）若，则cos2=19（2015闵行区一模）已知（，），sincos=，则cos=20（2015春黄冈月考）已知为第四象限角，sin+cos=，则cos2=21（2016苏州一模）已知是第三象限角，且sin2cos=，则sin+cos=22（2015徐汇区模拟）若sincos=，（，），则sincos=23（2015秋广安期末）

4、若tan=2，则的值为24（2015春邗江区期中）sin40（tan10）=25（2015春宜城市校级期中）化简=26（2012靖宇县校级模拟）=27（2012南通模拟）在ABC中，若tanA+tanB+tanC=1，则tanAtanBtanC=三解答题（共3小题）28（2016宝山区一模）设a、b、c分别是ABC三个内角A、B、C的对边，若向量，且，（1）求tanAtanB的值；（2）求的最大值29（2016宜宾模拟）已知向量=（sinA，cosA），=（，1），=，且A为锐角（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx（xR）的值域30（2016嘉定区一模）已知

5、xR，设，记函数（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）设ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，a+b=3，求ABC的面积S2016年04月06日917852049的高中数学三角变换组卷参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2016福建模拟）已知sin（x+）=，则cosx+cos（x）的值为（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数菁优网版权所有【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可【解答】解：cosx+cos（x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin（x+）=，故选：B

6、【点评】本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式，属于基础题2（2016郑州一模）cos160sin10sin20cos10（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可求出【解答】解：cos160sin10sin20cos10，=cos20sin10sin20cos10，=（cos20sin10+sin20cos10），=sin30，=，故选：C【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式，属于基础题3（2015天津校级一模）若sin2=，sin（）=，且，则+的值是（）ABC或D或【考点】两角和

7、与差的正弦函数；二倍角的正弦菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】依题意，可求得，2，进一步可知，于是可求得cos（）与cos2的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案【解答】解：，2，2，又sin2=0，2，cos2=；又sin（）=，cos（）=，cos（+）=cos2+（）=cos2cos（）sin2sin（）=（）=又，（+），2，+=，故选：A【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题4（2015保定一模）sin15cos15=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值菁

8、优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】利用两角和差的正弦公式，进行化简即可【解答】解：sin15cos15=sin（1545）=，故选：C【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键5（2015江西一模）sin135cos（15）+cos225sin15等于（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】首先利用诱导公式，化为同角的三角函数，然后逆用两角和与差的正弦函数公式求值【解答】解：原式=sin45cos15cos45sin15=sin（4515）=sin30=；故选C【点评】本题考查了三角函数的诱导公

9、式以及两角和与差的三角函数公式的运用；熟悉公式的特点，熟练运用6（2015哈尔滨校级二模）若向量=（sin（+），1），=（1，cos），则sin（+）=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】利用向量垂直的等价条件进行化简，利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可【解答】解：，=0，即sin（+）+cos=0，即sin+cos=，即sin+cos=，即sin（+）=，sin（+）=sin（+）=sin（+）=，故选：C【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用向量垂直的等价条件已经三角函数的诱导公式是解决本题的关键7（2015吉林校级四模）在A

10、BC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）ABCD【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将已知等式变形后代入求出tan（A+B）的值，进而确定出tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可确定出cosC的值【解答】解：tanAtanB=tanA+tanB+1，即tanA+tanB=tanAtanB1，tan（A+B）=1，即tan（A+B）=tanC=1，tanC=1，即C=，则cosC=cos=故选B【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式

11、，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键8（2015烟台一模）已知，（0，）且，则2=（）ABCD【考点】两角和与差的正切函数菁优网版权所有【专题】计算题；三角函数的求值【分析】根据已知条件配角：=（）+，利用两角和的正切公式算出tantan（）+，进而算出tan（2）=1再根据、的范围与它们的正切值，推出2（，0），即可算出2的值【解答】解：，tan=tan（）+=，由此可得tan（2）=tan（）+=1又（0，），且tan=1，0，（0，），0，因此，2（，0），可得2=故选：C【点评】本题已知角与角的正切值，求2的值着重考查了两角和与差的正切公式、特殊角的三角函数值等知识，

12、属于中档题解决本题时，请同学们注意在三角函数求值问题中“配角找思路”思想方法的运用9（2015大连校级模拟）已知向量，且，则sin2+cos2的值为（）A1B2CD3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由题意可得 =0，即解得tan=2，再由 sin2+cos2=，运算求得结果【解答】解：由题意可得 =sin2cos=0，即 tan=2sin2+cos2=1，故选A【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题10（2015江西一模）已知12sin5cos=13，则

13、tan=（）ABCD【考点】三角函数的化简求值菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，得到=+2k，利用三角函数的诱导公式进行化简求值即可【解答】解：由12sin5cos=13，得 sincos=1，设cos=，则sin=，则tan=，则方程等价为sin（）=1，则=+2k，即=+2k，则tan=tan（+2k）=tan（+）=；故选B【点评】本题主要考查三角函数求值，利用辅助角公式结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键11（2015春沈阳期末）下列各式中，值为的是 （）Asin15cos15BCD【考点】三角函数的化简求值；二倍角的正切菁优网版权所有【专题】

14、计算题【分析】利用公式对四个选项进行化简求值，所得的结果是的选项即为正确选项，A选项可用正弦的2倍角公式化简，B选项可用余弦的2倍角公式化简，C选项可用正切的2倍角公式化简，D选项中是特殊角，计算即可【解答】解：A选项，sin15cos15=sin30=，不正确；B选项，=，不正确；C选项，=，正确；D选项，不正确综上知C选项正确故选C【点评】本题考查三角函数的化简求值，解题的关键是熟练掌握三角函数的二倍角公式，及特殊角的函数值，由此对三角函数进行化简本题涉及公式较多，知识性强，对基本公式要熟练掌握12（2015秋南昌校级期末）已知tanx=，则sin2x+3sinxcosx1的值为（）AB2

15、C2或2D2【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】化tanx=为=，得出，cosx=2sinx由sin2x+cos2x=1，求得sin2x=，将原式化为关于sin2x的三角式求解【解答】解：tanx=，即=，cosx=2sinx由sin2x+cos2x=1，得5sin2x=1，sin2x=所以原式=sin2x6sin2x1=5sin2x1=11=2故选D【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查公式应用能力，运算求解能力二填空题（共15小题）13（2016春南京校级月考）cos（+）=，tantan=，求cos（）=【考点】两角

16、和与差的余弦函数菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】首先利用两角和与差的余弦公式以及基本关系式的商数关系，得到关于sinsin、coscos的方程解之，然后逆用两角和与差的余弦公式求值【解答】解：由cos（+）=，即coscossincsin=，又tantan=得2sinsin=coscos；由得coscos=，sinsin=，所以cos（）=coscos+sinsin=；故答案为：【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的运用，属于基础题目14（2016凉山州模拟）设向量=（3cosx，1），=（5sinx+1，cosx），且，则cos2x=【考点】二倍角的余弦；平面向量共线（平行

17、）的坐标表示菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用两个向量平行的条件求得sinx的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x的值【解答】解：向量=（3cosx，1），=（5sinx+1，cosx），且，3cos2x5sinx1=0，即 3sin2x+5sinx+2=0，求得sinx=2（舍去），或 sinx=，则cos2x=12sin2x=12=，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量平行的条件，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题15（2015张掖模拟）已知为第二象限角，则cos2=【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【专题】计算题；压轴

18、题；三角函数的求值【分析】由为第二象限角，可知sin0，cos0，从而可求得sincos的值，利用cos2=（sincos）（sin+cos）可求得cos2【解答】解：，两边平方得：1+sin2=，sin2=，（sincos）2=1sin2=，为第二象限角，sin0，cos0，sincos=，cos2=（sincos）（sin+cos）=（）=故答案为：【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sincos的值是关键，属于中档题16（2015天水校级四模）若cos2（+）=，则sin2=【考点】二倍角的正弦菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用

19、半角公式求得sin2的值【解答】解：cos2（+）=sin2=，则sin2=，故答案为：【点评】本题主要考查半角公式的应用，属于基础题17（2015温州三模）已知sincos=（0），则sin2=，sin（2）=【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】把所给的等式平方求得sin2 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin 和cos的值，可得cos2 的值，从而利用两角差的正弦公式求得sin（2）的值【解答】解：sincos=（0），平方可得，12sincos=，sin2=2sincos=由以上可得sin=，cos=，cos2=2cos21=，s

20、in（2）=sin2coscos2sin=+=，故答案为：；【点评】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题18（2015大连模拟）若，则cos2=【考点】二倍角的余弦菁优网版权所有【专题】计算题【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sin的式子，将sin的值代入即可求出值【解答】解：因为sin=，所以cos2=12sin2=12=故答案为：【点评】通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在

21、解答时考虑更为全面这样才能熟练驾驭三角函数题19（2015闵行区一模）已知（，），sincos=，则cos=【考点】二倍角的余弦菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】由（，），sincos=，求出sin2，然后求出cos2【解答】解：（，），sincos=，1sin=，sin=，（，），cos=故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取20（2015春黄冈月考）已知为第四象限角，sin+cos=，则cos2=【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得

22、cossin=，再利用二倍角的余弦即可求得cos2【解答】解：sin+cos=，两边平方得：1+2sincos=，2sincos=0，为第四象限角，sin0，cos0，cossin0cossin=，+可解得：cos=，cos2=2cos21=2（）21=故答案为：【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦与同角三角函数间的关系，属于中档题21（2016苏州一模）已知是第三象限角，且sin2cos=，则sin+cos=【考点】三角函数的化简求值菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由已知得sin2+cos2=（2cos）2+cos2=1，由此求出cos，进而求出sin，由

23、此能求出结果【解答】解：是第三象限角，且sin2cos=，sin2+cos2=（2cos）2+cos2=1，解得cos=或cos=，（舍）sin=，sin+cos=故答案为：【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数诱导公式的合理运用22（2015徐汇区模拟）若sincos=，（，），则sincos=【考点】三角函数的化简求值菁优网版权所有【专题】计算题；三角函数的求值【分析】由已知先确定sincos的符号，根据同角三角函数的关系即可求值【解答】解：（，），sin0，cos0，sincos0sincos=，sincos=故答案为：【点评】本题主要考察了同角三

24、角函数的关系式的应用，属于基本知识的考查23（2015秋广安期末）若tan=2，则的值为【考点】弦切互化菁优网版权所有【专题】计算题【分析】把所求的式子分子、分母都除以cos，根据同角三角函数的基本关系把弦化切后，得到关于tan的关系式，把tan的值代入即可求出值【解答】解：因为tan=2，则原式=故答案为：【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系进行弦化切，是一道基础题24（2015春邗江区期中）sin40（tan10）=1【考点】三角函数的化简求值菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】首先切化弦，然后通分变形为两角差的正弦公式，逆用化简求值【解答】解：原式=sin40（）

25、=sin40=2sin40sin（1060）=1；故答案为：1【点评】本题考查了三角函数式的化简求值；一般首先切化弦，然后配凑两角差的正弦公式，逆用化简公式求值25（2015春宜城市校级期中）化简=4【考点】三角函数的化简求值菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】对已知通分，逆用两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式化简【解答】解：=4故答案为：4【点评】本题考查了三角函数式的化简求值；利用了两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式；属于基础题26（2012靖宇县校级模拟）=【考点】两角和与差的正切函数菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先令tan60=tan（25+35）利用正切

26、的两角和公式化简整理求得tan25+tan35=（1tan25tan35），整理后求得tan25+tan35+tan25tan35的值【解答】解：tan60=tan（25+35）=tan25+tan35=（1tan25tan35）tan25+tan35+tan25tan35=故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，两角和公式的应用和二倍角公式的应用考查了学生对三角函数基础公式的理解和灵活一运用27（2012南通模拟）在ABC中，若tanA+tanB+tanC=1，则tanAtanBtanC=1【考点】两角和与差的正切函数菁优网版权所有【专题】常规题型；计算题【分析】根据三角形内角和，可得

27、A+B=C，从而tan（A+B）=tanC，再由两角和的正切公式展开，化简整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由此不难得到要求的值【解答】解：在ABC中，A+B+C=A+B=C，可得tan（A+B）=tan（C）=tanC，由两角和的正切公式，得=tanCtanA+tanB=tanC（1tanAtanB），即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCtanA+tanB+tanC=1，tanAtanBtanC=1故答案为：1【点评】本题在三角形中已知三个内角的正切的和，求它们的积，着重考查了两角和的正切公式和诱导公式等知识，属于基础题三解答题（共3小题）2

28、8（2016宝山区一模）设a、b、c分别是ABC三个内角A、B、C的对边，若向量，且，（1）求tanAtanB的值；（2）求的最大值【考点】三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】（1）由，化简得 4cos（AB）=5cos（A+B），由此求得tanAtanB的值（2）利用正弦定理和余弦定理化简为，而，利用基本不等式求得它的最小值等于，从而得到tanC有最大值，从而求得所求式子的最大值【解答】解：（1）由，得（2分）即 ，亦即 4cos（AB）=5cos（A+B），即 4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB5sinAsinB （4

29、分）所以，9sinAsinB=cosAcosB，求得 （6分）（2）因，（8分）而，所以，tan（A+B）有最小值，（10分） 当且仅当时，取得最小值又tanC=tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为（13分）【点评】本题主要考查两个向量数量积公式，正弦定理和余弦定理，两角和的正切公式，以及基本不等式的应用，属于中档题29（2016宜宾模拟）已知向量=（sinA，cosA），=（，1），=，且A为锐角（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx（xR）的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象菁优网版权所有【专题】函数思

30、想；综合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（1）根据=列出方程解出A；（2）使用二倍角公式化简f（x）=2（sinx1）2+3，根据二次函数的性质得出f（x）的最值【解答】解：（）=sinA+cosA=2sin（A+）=，A为锐角，（）由（）知，f（x）=cos2x+4sinx=12sin2x+4sinx=2（sinx1）2+3，xR，sinx1，1，当sinx=1时，f（x）有最大值3；当sinx=1时，f（x）有最小值5，函数f（x）的值域是5，3【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数化简求值，一元二次函数的最值，属于中档题30（2016嘉定区一模）已知xR，设，记函

31、数（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）设ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，a+b=3，求ABC的面积S【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理菁优网版权所有【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用【分析】（1）利用数量积运算性质、倍角公式与和差公式可得f（x），再利用三角函数的图象与性质即可得出；（2）利用三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出【解答】解：（1）= （3分）f（x）的最小正周期是T=（4分）由，kZ，（6分）得函数f（x）的单调递增区间是（kZ） （7分）（2）由f（C）=2，得，（1分）0C，所以， （3分）在ABC中，由余弦定理c2=a2+b22abcosC，（4分）得3=a2+b2ab=（a+b）23ab，即ab=2，（5分）ABC的面积 （7分）【点评】本题了考查了数量积运算性质、倍角公式与和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题