八学年数学上册几何添辅助线收集.doc

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1、. .For personal use only in study and research; not for commercial use全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角

2、形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰

3、直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平

4、分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和

5、、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.解：延长AD至E使AE2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故AD的取值范围是1AD4例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长

6、FD至G使FG2EF，连BG，EG,显然BGFC，在EFG中，注意到DEDF，由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故：EFBE+FC例3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. 解：延长AE至G使AG2AE，连BG，DG,显然DGAC， GDC=ACD由于DC=AC，故 ADC=DAC在ADB与ADG中， BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有BAD=DAG，即AD平分BAE二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC解：（截长法）在AB

7、上取中点F，连FDADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DFAB，故AFD90ADFADC（SAS）ACDAFD90即：CDAC2、如图，ADBC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC解：（截长法）在AB上取点F，使AFAD，连FEADEAFE（SAS）ADEAFE，ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBE（AAS）故有BFBC从而;ABAD+BC3、如图，已知在ABC内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法, 计算数值法）延长AB至D，使BDBP，连DP在等腰BP

8、D中，可得BDP40从而BDP40ACPADPACP（ASA）故ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 解：（补短法）延长BA至F，使BFBC，连FDBDFBDC（SAS）故DFBDCB ，FDDC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有BAD+BCD1805、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC解：（补短法）延长AC至F，使AFAB，连PDABPAFP（SAS）故BPPF由三角形性质知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+C

9、E+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC证明L(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=

10、60度,则BAC+BCA=120度;AD,CE均为角平分线,则OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60度.则COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.解：(垂直平分线

11、联结线段两端)连接BD，DCDG垂直平分BC，故BDDC由于AD平分BAC， DEAB于E，DFAC于F，故有EDDF故RTDBERTDFC（HL）故有BECF。AB+AC2AEAE（a+b）/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角

12、，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：（1）FE与FD之间的数量关系为（2）答：（1）中的结论仍然成立。证法一：如图1，在AC上截取，连结FG ，AF为公共边，FBEACD图 12143G， ，AD、CE分别是、的平分线及FC为公共边证法二：如图2，过点F分别作于点G，于点H FBEACD图 22143HG，AD、CE分别是、的平分线可得，F是的内心，又 可证 有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BDAC于D，求证：BAC = 2DBC证明：（方法一）作BAC的平分线

13、AE，交BC于E，则1 = 2 = BAC又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDACDBCACB = 90o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）过A作AEBC于E（过程略）（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC中，AB = AC，D为BC中点，DEAB于E，DFAC于F，求证：DE = DF证明：连结AD.D为BC中点，BD = CD又AB =ACAD平分BACDEAB，DFACDE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：

14、EFBC证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = ACB = ACB, ACN = ANCBACBACNANC = 180o2BCA2ACN = 180oBCAACN = 90o即BCN = 90oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF证明：（证法一）过D作DNAE，交BC于N，则

15、DNB = ACB，NDE = E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF和ECF中1 = 2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF（证法二）过E作EMAB交BC延长线于M,则EMB =B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE求证：DEBC证明：（证法一）过点E作EFBC交AB于F，则AFE =BAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又AFEAEFAEDADE = 180o2AE

16、F2AED = 90o 即FED = 90o DEFE又EFBCDEBC（证法二）过点D作DNBC交CA的延长线于N，（过程略）（证法三）过点A作AMBC交DE于M，（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图，ABC中，AB = AC，BAC = 80o ,P为形内一点，若PBC = 10o PCB = 30o 求PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE则BAE =ABE = 60oAE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE = 80o 60o = 20oACE = (180oEAC

17、)= 80ACB= (180oBAC)= 50oBCE =ACEACB = 80o50o = 30oPCB = 30oPCB = BCEABC =ACB = 50o, ABE = 60oEBC =ABEABC = 60o50o =10oPBC = 10oPBC = EBC在PBC和EBC中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为一边作等边三角形BCE，连结AE,则E

18、B = EC = BC，BEC =EBC = 60oEB = ECE在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上EA所在的直线是BC的中垂线EABCAEB = BEC = 30o =PCB由解法一知：ABC = 50oABE = EBCABC = 10o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BP BAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40o)= 70o 1. 如图，求ABCDE的度数。 解：连结CDECDBDC=BE=180BOE=180CODABACEADBE=AECDBDCAC

19、EADB=A（ECDACE）（BDCADB）=AACDADC=180 2. 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。解： 延长AD至G，使DG=AD，连结BGBD=DC，BDG=ADCBGDCADBG=AC=BE，G=CADG=BEG=AEFAEF=CADAF=EF3. 已知E是正方形ABCD边CD上的中点，点F在BC上，且DAE=FAE。求证：AF=ADCF。解：过E作EGAF于GD=90，AGE=90AE平分DAF ED=EGED=ECEG=ECEGF=C=90EF=EFEGFECF（HL）GF=FCED=EG，AE=

20、AE，D=AGE=90ADEAGE（HL）AD=AGAF=AGGF=ADFC即AF=ADFC 4. 已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，BE平分ABC，CEBE。求证：CE=。 证明：延长BA交CE的延长线于FBE平分ABC，CEBECE=又AB=AC，BAC=CAF=90ACF=ABD=90FACFABDCF=BDCE=BD仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschun

21、g, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文