2021版高考数学一轮复习第八章数列8.5.2数列与函数不等式的综合问题练习理北师大版20200513026.doc
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1、8.5.2 数列与函数、不等式的综合问题核心考点精准研析考点一数列与函数的综合1.设an是等比数列,函数y=x2-x-2 021的两个零点是a2,a3,则a1a4等于 ()A.2 021B.1C.-1D.-2 0212.在各项都为正数的数列an中,首项a1=2,且点(,)在直线x-9y=0上,则数列an的前n项和Sn等于()A.3n-1B.C.D.3.已知f(x)=2sin x,集合M=x|f(x)|=2,x0,把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列an,nN*.数列an的通项公式为_.4.已知函数f(x)=log2x,若数列an的各项使得2,f(a1),f(a2),f(an),2n+4成
2、等差数列,则数列an的前n项和Sn=_. 【解析】1.选D.由题意a2,a3是x2-x-2 021=0的两根.由根与系数的关系得a2a3=-2 021.又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2 021.2.选A.由点(,)在直线x-9y=0上,得-9=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又数列an各项均为正数,且a1=2,所以an+3an-10,所以an-3an-1=0,即=3,所以数列an是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和Sn=3n-1.3.因为|f(x)|=2,所以x=k+,kZ,x=2k+1,kZ.又因为x0,所以an=2n-1(nN*).答案:an=2n-
3、1(nN*)4.设等差数列的公差为d,则由题意,得2n+4=2+(n+1)d,解得d=2,于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,从而a1=24,a2=26,a3=28,.易知数列an是等比数列,其公比q=4,所以Sn=(4n-1).答案:(4n-1)1.将题2改为已知函数f(x)=x的图像过点(4,2),令an=,nN*.记数列an的前n项和为Sn,则S2 021等于()A. -1B. -1C. -1D.2+1【解析】选C.由f(4)=2可得4=2,解得=,则f(x)= .所以an=-,S2 021=a1+a2+a3+a2 021=(-)+(-)+(-)+(-)+(-)=-
4、1.2.数列an的通项an=ncos2-sin2,其前n项和为Sn,则S40为()A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意得,an=ncos2-sin2=ncos,则a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n2n,则S40=(a1+a3+a39)+(a2+a4+a6+a40)=-2+4-+40=20.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题.(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对
5、式子化简变形.注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.【秒杀绝招】特例法解T2:由题意(, )在直线x-9y=0上,所以9=0,因为a1=2,易得a2=6,所以S2=8.验证四个选项可排除BCD.考点二数列与不等式的综合【典例】已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n2). (1)求数列an的通项公式an.(2)求证:+-.【解题导思】序号题目拆解(1)an=-2SnSn-1(n2)利用an=Sn-Sn-1将an=-2SnSn-1转化为Sn,Sn-1的关系求数列an的通项公式an先求出,利用an=-2SnSn-1
6、进而求得an.(2)求证:+-.由(1)得Sn=,由=,放缩后利用裂项相消法求和是解题的关键【解析】(1)因为an=-2SnSn-1(n2),所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1.两边同除以SnSn-1,得-=2(n2),所以数列是以=2为首项,以d=2为公差的等差数列,所以=+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.将Sn=代入an=-2SnSn-1,得an=(2)因为=(n2),=,所以当n2时,+=+=-;当n=1时,=-.综上,+-.数列与不等式的综合问题(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.(2)以数列为载体,考
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