第三章空间向量与立体几何.doc

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1、,第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算一、 空间向量的概念BA1、空间向量：空间中既有 又有 的量2、空间向量的表示：= （ ） （ ）3、零向量： 记作： 4、向量的模（长度）： 记作： 5、向量的基线：表示向量的有向线段所在的直线6、相等向量： 7、共线向量（平行向量）：基线互相 或 的向量叫做共线向量或平行向量。记作： 规定：零向量与任意向量平行。二、 空间向量的线性运算已知向量，1、 加法 (三角形法则) (平行四边形形法则)注：若为的边的中点，则 2、 减法 即 (三角形法则)3、 数乘(1) (2) 时，与方向 ；时， ；时，与方向 ；注：

2、三、 空间向量运算律（1） 加法交换律： （2） 加法结合律： （3） 分配律： 四、 例题例1 已知平行六面体 ,化简下列向量表达式(1);(2) ;(3) 注：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量。例2 分别是四面体的棱的中点，求证：五、 练习：课本81页练习A第3题；练习B第1,2,3题六、 作业课时十七3.1.2空间向量的基本定理一、 共线向量定理两个空间向量，（ ），的充要条件是存在唯一的实数 ，使 例1 四边形 都是平行四边形，且不共面， 分别是 的中点，判断，是否共线二、 共面向量定理1、 共面向量定理：平行于同一平面的向量，叫做共面向量。2

3、、 共面向量定理：如果，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 ，使 例2 已知斜三棱柱，设，在面对角线上和棱上分别取点，使，求证：和向量共面。三、 空间向量分解定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使，其中叫做空间的一个 ，叫做 。例3已知平行六面体，设，试用基底表示以下向量：例4 已知空间四边形中， 分别是对边 的中点,点在上，且设,试用基底表示向量四、练习：课本85页练习A，练习B五、作业：课时十八3.1.3两个向量的数量积一.两个向量的夹角 已知两个非零向量，在空间中任取一点 ，作，,则 叫做向量，的夹角，记作 .规定： （1），方向

4、相同时， （2），方向相反时， （3），垂直时， 注：找两向量的夹角必须同起点二.异面直线1、 异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线2、 异面直线所成的角：平移两条异面直线到同一个平面内，两条直线所成的 叫做两条异面直线所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直.规定：异面直线所成角的取值范围是 例1 正方体中，求下列向量的夹角（1）；（2）；（3）;(4) ;(5) ;(6) 注：设直线与所成的角为，则 三、两个向量的数量积空间两个向量，一定可以平移到同一平面内1、 定义： 叫做两个空间向量，的数量积（或内积），它是一个实数.2、 性质：（1） （2） （3） （4） 3、运算律：（1） （2） （3） 例2长方体中，为侧面的中心，为的中点，计算下列数量积：（1）;(2) ;(3) 例3 已知，求四、练习：课本88页练习A练习B四、 作业：课时作业十九3.1.3空间向量的直角坐标运算一、空间向量的直角坐标运算1. 2. 3. 注：1.则 2. ，则 二、空间向量平行和垂直的条件1. 或 或 2. 或 三、两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式，则 注： 1. ，则 四、例题例1 已知向量 ，求，例2 已知向量 求一个向量 使且 例3 已知，求（1）； (2) 在上正投影的数量积