2021版新高考数学一轮复习高考大题专项四立体几何新人教A版.docx

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1、高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与空间角1.(2019山东潍坊三模,18)如图,一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G、H分别是AE、BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC平面ABC.(1)证明:GH平面ACD;(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.2.(2019湖北八校联考一,18)如图所示,四棱锥P-ABCD中,面PAD面ABCD,PA=PD=2,四边形ABCD为等腰梯形,BCAD,BC=CD=12AD=1,E为PA的中点.(1)求证:EB平面PCD.(2)求面PAD与平面PCD所成的二面角的正弦值.3.(2019安徽

2、“江南十校”二模,18)已知多面体ABC-DEF,四边形BCDE为矩形,ADE与BCF为边长为22的等边三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.(1)证明:平面ADE平面BCF.(2)求BD与平面BCF所成角的正弦值.4.(2019四川宜宾二模,19)如图,四边形ABCD是菱形,EA平面ABCD,EFAC,CF平面BDE,G是AB中点.(1)求证:EG平面BCF;(2)若AE=AB,BAD=60,求二面角A-BE-D的余弦值.5.(2017全国2,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)

3、证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.6.(2014课标全国,理18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.突破2空间中的垂直与空间角1.(2018全国卷3,理19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.2

4、.(2019河北唐山一模,18)如图,ABC中,AB=BC=4,ABC=90,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE.(1)证明:BC平面PBE;(2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.3.(2019河北武邑中学调研二,19)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.4.(2019山西太原二模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是

5、直角梯形,ADBC,ABAD,AD=2AB=2BC=2,PCD是正三角形,PCAC,E是PA的中点.(1)证明:ACBE;(2)求直线BP与平面BDE所成角的正弦值.5.(2019山东实验等四校联考,18)如图,在直角ABC中,B为直角,AB=2BC,E,F分别为AB,AC的中点,将AEF沿EF折起,使点A到达点D的位置,连接BD,CD,M为CD的中点.(1)证明:MF面BCD;(2)若DEBE,求二面角E-MF-C的余弦值.6.(2019宁夏银川一中一模,19)如图所示,ABCD是边长为2的正方形,AE平面BCE,且AE=1.(1)求证:平面ABCD平面ABE;(2)线段AD上是否存在一点F

6、,使二面角A-BF-E所成角的余弦值为64?若存在,请找出点F的位置;若不存在,请说明理由.参考答案高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与空间角1.(1)证明连接GO,OH,GODC,OHAC,GO平面ACD,OH平面ACD,又GO交HO于O,平面GOH平面ACD,GH平面ACD.(2)解以CB为x轴,CA为y轴,CD为z轴,建立如图所示的直角坐标系,则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2),平面BCE的法向量m=(0,1,0),设平面OCE的法向量n=(x0,y0,z0).CE=(2,0,2),CO=(1,1,0).nCE=0,nCO

7、=0,则2x0+2z0=0,x0+y0=0,令x0=-1,n=(-1,1,1).二面角O-CE-B是锐二面角,记为,则cos=|cos|=mn|m|n|=113=33.2.(1)证明取PD中点F,连接EF,FC.E,F分别为AP,PD中点,EF􀱀12AD.又BC􀱀12AD,BC􀱀EF.即四边形BCFE是平行四边形,EBFC.FC平面PCD,且EB平面PCD,EB平面BCD.(2)解取BC的中点M,以OM,OD,OP方向为正方向建立如图所示的空间直角系O-xyz.则P(0,0,1),A(0,-1,0),D(0,1,0),C32,12,0,则平

8、面PAD的一个法向量为n1=(1,0,0).PD=(0,1,-1),CD=-32,12,0.设平面PDC的一个法向量为n2=(x,y,z),则y-z=0,-32x+12y=0.不妨令x=1,则y=3,z=3,n2=(1,3,3).|cos|=|cos|=77,则sin=77.3.(1)证明取BC,DE中点分别为O,O1,连接OA,O1A,OF,O1F.由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=22,可知ABC,DEF为等腰直角三角形,故OABC,O1FDE,CDDE,CDDF.故CD平面DEF,平面BCDE平面DEF,所以O1F平面BCDE.同理OA平面BCDE,

9、所以O1FOA.而O1F=OA,故四边形AOFO1为平行四边形,所以AO1OF,所以AO1平面BCF.又BCDE,故DE平面BCF,而AO1DE=O1,所以平面ADE平面BCF.(2)解以O为坐标原点,以过O且平行于AC的直线作为x轴,平行于AB的直线作为y轴,OO1为z轴建立空间直角坐标系如图.则有B(1,1,0),C(-1,-1,0),D(-1,-1,2),F(-1,1,2),故BD=(-2,-2,2),BC=(-2,-2,0),BF=(-2,0,2).设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),则-2x-2y=0,-2x+2z=0,取x=1得y=-1,z=1,故平面BCF的一个法向量为n=

10、(1,-1,1).设BD与平面BCF所成角为,则sin=|cos|=-21-2(-1)+21323=13.故BD与平面BCF所成角的正弦值为13.4.(1)证明设ACBD=O,连接OE,OF,四边形ABCD是菱形,EA平面ABCD,EFAC,CF平面BDE,OECF,EF=AO=CO,OF平面ABCD,设OA=a,OB=b,AE=c,以O为原点,OA,OB,OF所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(a,0,c),Ga2,b2,0,B(0,b,0),C(-a,0,0),F(0,0,c),FB=(0,b,-c),FC=(-a,0,-c),EG=-a2,b2,-c,设平面B

11、CF的一个法向量为n=(x,y,z),则nFB=by-cz=0,nFC=-ax-cz=0,取z=b,得n=-bca,c,b,nEG=-a2-bca+b2c+(-c)b=0,EG平面BCF,EG平面BCF.(2)解设AE=AB=2,BAD=60,OB=1,OA=3.A(3,0,0),B(0,1,0),E(3,0,2),D(0,-1,0).BE=(3,-1,2),BA=(3,-1,0),BD=(0,-2,0),设平面ABE的法向量n=(x,y,z),则nBA=3x-y=0,nBE=3x-y+2z=0,取x=1,得n=(1,3,0),设平面BDE的法向量m=(x,y,z),则mBE=3x-y+2z=

12、0,mBD=-2y=0,取x=2,得m=(2,0,-3),设二面角A-BE-D的平面角为,则cos=|mn|m|n|=247=77.二面角A-BE-D的余弦值为77.5.(1)证明取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EFAD,EF=12AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=12AD,所以EF􀱀BC,四边形BCEF是平行四边形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解由已知得BAAD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),

13、C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0).设M(x,y,z)(0x1),则BM=(x-1,y,z),PM=(x,y-1,z-3).因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的一个法向量,所以|cos|=sin45,|z|(x-1)2+y2+z2=22,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,设PM=PC,则x=,y=1,z=3-3.由,解得x=1+22,y=1,z=-62(舍去),x=1-22,y=1,z=62,所以M1-22,1,62,从而AM=1-22,1,62.设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的一个法向量

14、,则mAM=0,mAB=0,即(2-2)x0+2y0+6z0=0,x0=0,所以可取m=(0,-6,2).于是cos=mn|m|n|=105.因此二面角M-AB-D的余弦值为105.6.解(1)连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB的方向为x轴的正方向,|AP|为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,3,0),E0,32,12,AE=0,32,12.设B(m,0,0)(

15、m0),则C(m,3,0),AC=(m,3,0),设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则n1AC=0,n1AE=0,即mx+3y=0,32y+12z=0,可取n1=3m,-1,3.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设|cos|=12,即33+4m2=12,解得m=32.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为12.三棱锥E-ACD的体积V=131233212=38.突破2空间中的垂直与空间角1.(1)证明由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMC

16、M.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)解以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时,M为CD的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0).设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,则nAM=0,nAB=0.即-2x+y+z=0,2y=0.可取n=(1,0,2),DA是平面MCD的法向量,因此cos=nDA|n|DA|=55,sin=255.所以面MAB与

17、面MCD所成二面角的正弦值是255.2.(1)证明因为E,F分别为AB,AC边的中点,所以EFBC.因为ABC=90,所以EFBE,EFPE.又因为BEPE=E,所以EF平面PBE,所以BC平面PBE.(2)解取BE的中点O,连接PO,由(1)知BC平面PBE,BC平面BCFE,所以平面PBE平面BCFE.因为PB=BE=PE,所以POBE.又因为PO平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE,所以PO平面BCFE.过O作OMBC交CF于M,分别以OB,OM,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),C(1,4,0),F(-1,2,0).PC=(1,4,-3),PF=(-

18、1,2,-3).设平面PCF的一个法向量为m=(x,y,z),则PCm=0,PFm=0,即x+4y-3z=0,-x+2y-3z=0,则m=(-1,1,3),易知n=(0,1,0)为平面PBE的一个法向量,cos=-10+11+30(-1)2+12+(3)2=15=55,所以平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值55.3.(1)证明A1A平面ABC,B1B平面ABC,AA1BB1.AA1=4,BB1=2,AB=2,A1B1=(AB)2+(AA1-BB1)2=22,又AB1=AB2+BB12=22,AA12=AB12+A1B12,AB1A1B1.同理可得:AB1B1C1,又A1B1B1C1=B

19、1,AB1平面A1B1C1.(2)解取AC中点O,过O作平面ABC的垂线OD,交A1C1于D,AB=BC,OBOC,AB=BC=2,BAC=120,OB=1,OA=OC=3.以O为原点,以OB,OC所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,-3,0),B(1,0,0),B1(1,0,2),C1(0,3,1),AB=(1,3,0),BB1=(0,0,2),AC1=(0,23,1).设平面ABB1的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nBB1=0,x+3y=0,2z=0,令y=1可得n=(-3,1,0),cos=nAC1|n|AC1|=23213=3913.设直线AC1与平面AB

20、B1所成的角为,则sin=|cos|=3913.直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为3913.4.(1)证明设F是PD的中点,连接EF,CF.E是PA的中点,EFAD,EF=12AD.ADBC,AD=2BC,EFBC,EF=BC.BCFE是平行四边形,BECF.ADBC,ABAD,ABC=BAD=90.AB=BC,CAD=45,AC=2.由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD=2,AC2+CD2=4=AD2,ACCD.PDAC,AC平面PCD,ACCF,ACBE.(2)解由(1)得AC平面PCD,CD=2,平面ABCD平面PCD.过点P作POCD,垂足为O,OP平面A

21、BCD,以O为坐标原点,OC的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则P0,0,62,D-22,0,0,B2,-22,0,E24,-22,64,BP=-2,22,62,BD=-322,22,0,BE=-324,0,64,设m=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量,则mBD=0,mBE=0,-322x+22y=0,-324x+64z=0.令x=1,则y=3,z=3,m=(1,3,3).cos=mBP|m|BP|=2613.直线BP与平面BDE所成角的正弦值为2613.5.(1)证明取DB中点N,连接MN,EN,MN􀱀12BC,EF􀱀12

22、BC,四边形EFMN是平行四边形.EFBE,EFDE,BEDE=E,EF平面BED,EFEN,MFMN.在DFC中,DF=FC,又M为CD的中点,MFCD.又MFMN=M,MF,MN平面BCD,MF平面BCD.(2)解DEBE,又DEEF,BEEF=E,DE平面BEF.可建立如图所示空间直角坐标系.设BC=2,E(0,0,0),F(0,1,0),C(-2,2,0),M(-1,1,1).EF=(0,1,0),FM=(-1,0,1),CF=(2,-1,0),CM=(1,-1,1).设平面EMF的法向量为m=(x,y,z),mEF=0,mFM=0,y=0,-x+z=0,取x=1,则y=0,z=1,m

23、=(1,0,1).同理可得平面CMF的法向量n=(1,2,1),cos=mn|m|n|=33.二面角E-MF-C为钝角,二面角E-MF-C的余弦值为-33.6.(1)证明AE平面BCE,BE平面BCE,BC平面BCE,AEBE,AEBC.又BCAB,AEAB=A,BC平面ABE.又BC平面ABCD,平面ABCD平面ABE.(2)解如图所示,建立空间直角坐标系A-xyz,AE=1,AB=2,AEBE,BE=3.假设线段AD上存在一点F满足题意,E32,12,0,B(0,2,0),F(0,0,h)(h0),易知平面ABF的一个法向量为m=(1,0,0).BE=32,-32,0,BF=(0,-2,h),设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),由nBE=0,nBF=0,得32x-32y=0,-2y+hz=0.取y=1,得n=3,1,2h,cos=mn|m|n|=64=34+4h2,h=1.即点F为线段AD的中点时,二面角A-BF-E所成角的余弦值为64.27