2015_2016学年高中数学第一章计数原理单元测评A新人教A版选修2_3.doc

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1、【优化设计】2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理单元测评A 新人教A版选修2-3 (基础过关卷)(时间:90分钟,满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.小王有70元钱,现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张,则不同的买法共有() A.7种B.8种C.6种D.9种解析:要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”,分三类完成:买1张IC卡,买2张IC卡,买3张IC卡.而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事.买1张IC卡有2种方法,买2张IC卡有3种方法,买3张IC卡有2

2、种方法,故共有2+3+2=7种不同的买法.答案:A2.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A.10B.11C.12D.15解析:分类讨论:分有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同,可得N=+1=11.答案:B3.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修甲课程的不同选法共有()A.12种B.36种C.30种D.24种解析:分三步,第1步,先从4位同学中选2人选修甲课程,共有种不同的选法;第2步,第3位同学选课程,必须从乙

3、、丙中选取,共有2种不同的选法;第3步,第4位同学选课程,有2种不同的选法.故共有N=22=24种不同的选法.答案:D4.如果的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为()A.3B.6C.5D.10解析:展开式的通项为Tr+1=(3x2)n-r3n-r(-2)rx2n-5r.由题意得2n-5r=0,n=r(r=0,1,2,n),故当r=2时,正整数n有最小值,n的最小值为5.答案:C5.将不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种商品必须排在一起,丙、丁两种商品不能排在一起,则不同的排法共有()A.12种B.20种C.24种D.48种解析:甲、乙捆绑看成一个元素,与丙、丁之外的1个元素

4、共2个元素进行全排列,有种排法,再插空排入丙、丁,共有=24种不同的排法.答案:C6.从五双不同大小的鞋中任取4只,其中恰好有一双的取法种数为()A.120B.240C.360D.72解析:先取出一双有种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有种不同的取法.共有=120种不同的取法.答案:A7.为支持地震灾区的灾后重建工作,四川某公司决定分四天每天各运送一批物资到A,B,C,D,E五个受灾地点.由于A地距离该公司较近,安排在第一天或最后一天送达;B,C两地相邻,安排在同一天上午、下午分别送达(B在上午、C在下午与B在下午、C在上午为不同的运送顺序),且运往这两地的物资算作一批

5、;D,E两地可随意安排在其余两天送达.则安排这四天运送物资到五个受灾地点的不同运送顺序的种数为()A.72B.18C.36D.24解析:可分三步完成:第1步是安排送达物资到受灾地点A,有种方法;第2步是在余下的3天中任选1天,安排送达物资到受灾地点B,C,有种方法;第3步是在余下的2天中安排送达物资到受灾地点D,E,有种方法.由分步计数原理得,不同的运送顺序共有()=24(种).答案:D8.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项的系数是()A.-15B.85C.-120D.274解析:含x4的项的系数为从5个因式中取4个含x,另一个取常数项即可.根据分类加法

6、、分步乘法计数原理,得-5x4-4x4-3x4-2x4-x4=-15x4,所以原式展开式中含x4的项的系数是-15.答案:A9.将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i个数为ai(i=1,2,6),若a11,a33,a55,a1a3a5,则不同的排列方法种数为()A.30B.18C.36D.48解析:由于a1,a3,a5的大小顺序已定,且a11,a33,a55,所以a1可取2,3,4,若a1=2或3,则a3可取4,5,当a3=4时,a5=6,当a3=5时,a5=6;若a1=4,则a3=5,a5=6.而其他的三个数字可以任意排列,因而不同的排列方法共有(22+1)=30(种).答案:A10.

7、若自然数n使得竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“可连数”.例如:32是“可连数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“可连数”,因23+24+25产生进位现象.那么,小于1 000的“可连数”的个数为()A.27B.36C.39D.48解析:根据题意,要构造小于1 000的“可连数”,个位上的数字的最大值只能为2,即个位数字只能在0,1,2中取.十位数字只能在0,1,2,3中取;百位数字只能在1,2,3中取.当“可连数”为一位数时,有=3(个);当“可连数”为两位数时,个位上的数字有0,1,2三种取法,十位上的数字有1,2,3三种取法,即有=9(个);当“可

8、连数”为三位数时,有=36(个);故共有3+9+36=48(个).答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)11.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为.解析:将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,有种方法,甲、乙两名学生分到同一个班有种方法,所以不同分法的种数为=30.答案:3012.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是.(用数字作答)解析:可分类讨论:第1类,7级台阶上每一级

9、只站一人,则有种;第2类,若有一级台阶有2人,另一级有1人,则有种,因此共有不同的站法种数是=336.答案:33613.(x2+2)展开式中的常数项是.解析:第一个因式取x2,第二个因式取含的项,得展开式的常数项为1(-1)4=5;第一个因式取2,第二个因式取常数项,得展开式的常数项为2(-1)5=-2,故展开式的常数项是5+(-2)=3.答案:314.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种.(用数字作答)解析:C相对于A,B的位置有3种,其中有2种是A,B在C的同侧,所以满足条件的共有=480(种).答案:48015.在(x-)2 008的二项展开

10、式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S=.解析:设(x-)2 008=a0+a1x+a2x2+a3x3+a2 008x2 008.当x=时,有a0+a1+a2()2+a2 008()2 008=0,当x=-时,有a0-a1+a2()2-a2 007()2 007+a2 008()2 008=(2)2 008,-得2a1+a3()3+a5()5+a2 007()2 007=-23 012,故x=时,S=a1+a3()3+a2 007()2 007=-23 011.答案:-23 011三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)16.(6分)有6个除颜

11、色外完全相同的球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?解:分三类:(1)若取1个黑球,和另外三个球排成一列,不同的排法种数为=24;(2)若取2个黑球,和从另外三个球中选2个排成一列,2个黑球是相同的,所以不同的排法种数为=36;(3)若取3个黑球,和从另外三个球中选1个排成一列,不同的排法种数为=12.综上,不同的排法种数为24+36+12=72.17.(6分)甲、乙、丙三名教师按下列规定分配到6个班级里去任课,一共有多少种不同的分配方法?(1)一人教1个班,一人教2个班,另一人教3个班;(2)每人教2个班;(3)两个人各教1个班,另一人教4个班

12、.解:(1)若甲教1个班,乙教2个班,丙教3个班,有种分配方法,因为未指名谁教几个班,若甲、乙、丙所教班的个数交换后,所以共有=360种分配方法.(2)若每人各教2个班,共有=90种分配方法.(3)若甲教4个班,乙、丙各教1个班,有种分配方法.因为甲、乙、丙每人都可教4个班,所以共有=90种分配方法.18.(6分)一段楼梯共有12个阶梯,某人上楼时,有时迈一阶有时迈两阶.(1)此人共用7步走完,问有多少种不同的上楼方法;(2)试求此人共有多少种不同的上楼方法.解:(1)若7步走完,则其中有2步迈一阶,5步迈2阶,则不同的上楼方法有=21(种).(2)此人上楼最少迈6步,最多迈12步,所以不同的上楼方法的种数为=233.19.(7分)已知展开式中的前三项的系数成等差数列.(1)求n的值;(2)求展开式中系数最大的项.解:(1)由题意,得=2,即n2-9n+8=0,解得n=8,n=1(舍去).故n=8.(2)设第r+1项的系数最大,则即解得2r3.rN*,r=2或r=3.系数最大的项为T3=7x5,T4=7.4