第3章线性控制系统的时域分析法精选文档.ppt

《第3章线性控制系统的时域分析法精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3章线性控制系统的时域分析法精选文档.ppt（162页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第3章线性控制系统的时域分析法1本讲稿第一页，共一百六十二页3-l 引 言 控制系统的性能指标，可以通过在输入信号作用下系统的动态过程和稳态过程来评价。系统的动态过程和稳态过程不仅取决于系统本身的特性，而且还与外加输入信号的形式有关。在很多情况下，实际控制系统的外加输入信号具有随机的性质而无法预先知道，而且其瞬时函数关系往往又不能一解析形式来表达，例如随动跟踪系统的输入信号就是如此。2本讲稿第二页，共一百六十二页 只有在一些特殊情况下，控制系统的输入信号才是确知的。因此在分析和设计控制系统时，需要确定一个对控制系统的性能进行比较的基础，这个基础就是预先规定一些具有特殊形式的信号作为系统的输入信

2、号，然后比较各种系统对这些典型输入信号的响应。3本讲稿第三页，共一百六十二页1.脉冲函数 它的曲线如图3-1所示，数学表达式为 其面积为A。即 3.1.1 典型典型输输入信号入信号在控制工程中，经常采用的典型输入信号有。图3-1 脉冲函数(3-1)4本讲稿第四页，共一百六十二页于是强度为A的脉冲函数可表示为 。表示在时刻 出现的单位脉冲函数，即 单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数 面积A表示脉冲函数的强度。的脉冲函数称为单位脉冲函数，记作 ，即 (3-2)5本讲稿第五页，共一百六十二页 它表示一个在t=0时出现的，幅值为A的阶跃变化函数，如图3-2所示。在实际系统中，如负荷突然增大或减小，流量阀

3、突然开大或关小均可以近似看成阶跃函数的形式。2.阶跃函数 它的数学表达式为：图3-2 阶跃函数(3-3)6本讲稿第六页，共一百六十二页 A=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)。因此，幅值为的阶跃函数也可表示为 出现在 时刻的阶跃函数，表示为 (3-4)7本讲稿第七页，共一百六十二页3.斜坡函数（等速度函数）它的数学表达式为 斜坡函数从t=0时刻开始，随时间以恒定速度增加。如图所示。A=1时斜坡函数称作单位斜坡函数。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分，反之，阶跃函数等于斜坡函数对时间的导数。图3-3斜坡函数(3-5)8本讲稿第八页，共一百六十二页它的数学表达式为 曲线如图所示。当A=1时，称为

4、单位抛物线函数。抛物线函数是斜坡函数对时间的积分。4.抛物线函数（等加速度函数）图3-4 抛物线函数(3-6)9本讲稿第九页，共一百六十二页5.正弦函数 它的数学表达式为 式中A为振幅，为角频率，正弦函数为周期函数。当正弦信号作用于线性系统时，系统的稳态分量是和输入信号同频率的正弦信号，仅仅是幅值和初相位不同。根据系统对不同频率正弦输入信号的稳态响应，可以得到系统性能的全部信息。(3-7)10本讲稿第十页，共一百六十二页3.1.2 系统时域响应的形式系统时域响应的形式对于以下二阶系统两边逐项进行拉普拉斯变换可得整理后可得 (3-9)11本讲稿第十一页，共一百六十二页拉普拉斯反变换可得系统的时域

5、响应为y(t)=L-1Y1(s)+Y2(s)=y1(t)+y2(t)=零状态响应+零输入响应 (3-10)其中，y(t)为二阶系统的全解；y1(t)为零状态响应，即系统在初始条件为零的情况下仅由输入r(t)作用的响应；y2(t)为零输入响应，即仅由系统的输入输出初始条件决定的响应，对于一个稳定的系统，它随着时间的推移，最终会衰减到零，属于瞬态分量或自由分量。12本讲稿第十二页，共一百六十二页而对于零状态响应y1(t)，在阶跃函数作用下，有 =稳态分量+瞬态分量 由此可见，系统的零状态响应y1(t)由稳态分量和瞬态分量两部分组成。其中y1(t)的稳态分量与输入r(t)有关；y1(t)的瞬态分量与

6、y(t)的零输入响应y2(t)一样，均为系统的时间响应，都取决于系统特征方程根的性质。13本讲稿第十三页，共一百六十二页因此，系统的时域响应又可表示为y(t)=稳态响应+瞬态响应 (3-11)另外，从线性微分方程理论可知，微分方程的解通常由通解和特解两部分组成，即y(t)=通解+特解 (3-12)其中，由齐次微分方程所确定的解称为通解；而由非齐次微分方程所确定的解称为特解。14本讲稿第十四页，共一百六十二页 一般地，对于一单输入单输出 n阶线性定常系统 (3-13)式中，r(t)为输入信号；y(t)为输出信号;a0,a1,a2,an；b0，b1，bm是由系统本身结构和参数决定的系数。15本讲稿

7、第十五页，共一百六十二页 在输入信号r(t)作用下，输出y(t)随时间变化的规律，即式(3-13)微分方程的解或系统的时域响应，一般也具有式(3-10)、式(3-11)和式(3-12)三种形式。在分析控制系统的输出响应时，几乎用不到式(3-12)的形式。分析系统的稳态响应时一般采用式(3-11)的结构形式。如欲重点分析系统的瞬态响应，特别是只需分析零状态响应，则通常采用式(3-10)的结构形式。16本讲稿第十六页，共一百六十二页 系统的零状态响应由系统的特征方程式(3-14)的特征根决定。(3-14)如果式(3-14)有n个不相等的实根p1,p2,pn，则系统的零状态响应可表示为 (3-15)

8、式中，A为稳态分量；其余部分为瞬态分量；k1,k2,kn为由系统的结构、参数及输入决定的系数。对于重根或共轭复根，其对应的响应为或。17本讲稿第十七页，共一百六十二页 从系统零状态响应的两部分看，系统响应的瞬态分量是指从t=0开始到进入稳态之前的这一段过程，描述系统的动态变化过程。稳态分量是系统在时间t时系统的输出，描述系统的稳态变化过程。18本讲稿第十八页，共一百六十二页3.1.3 系统时域响应的性能指标系统时域响应的性能指标 同一系统中，不同形式的输入信号所对应的输出响应是不同的，但对于线性控制系统来说，它们所表征的系统性能是一致的。由于在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应都由动态过程

9、和稳态过程两部分组成，故控制系统在典型输入信号作用下的性能，通常也由动态性能和稳态性能两部分组成。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件，因此只有当动态过程收敛（衰减）时，研究系统的动态性能和稳态性能才有意义。19本讲稿第十九页，共一百六十二页 在工程应用中，通常使用单位阶跃信号作为测试信号，来计算系统在时间域的动态性能和稳态性能。一般认为，阶跃信号对系统来说是最严峻的工作状态。如果系统在阶跃信号作用下的性能指标满足要求，那么系统在其它形式的输入信号作用下，其性能指标也是令人满意的。20本讲稿第二十页，共一百六十二页 1动态性能指标动态性能指标 动态过程又称过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入

10、信号作用下，其输出量从初始状态到接近稳态值的响应过程，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如快速性、平稳性等来衡量。由于实际控制系统存在惯性、阻尼及其它一些因素，系统的输出量不可能完全复现输入量的变化，其动态过程曲线可表现为衰减、发散或等幅振荡的形式。显然，一个可以实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的。换句话说，系统必须是稳定的。21本讲稿第二十一页，共一百六十二页 描述稳定的控制系统在单位阶跃信号作用下，动态过程随时间t的变化状况的性能指标，称为动态特性指标。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零。对于大多数控制系统来说，这种假设是符

11、合实际情况的。22本讲稿第二十二页，共一百六十二页 稳定控制系统的单位阶跃响应曲线有振荡衰减和单调上升两种类型，如图3-5所示。(a)振荡衰减型 (b)单调上升型图3-5 单位阶跃响应曲线23本讲稿第二十三页，共一百六十二页 1）具有衰减振荡类型的单位阶跃响应曲线如图3-5(a)所示，其动态性能指标的定义如下。（1）延迟时间td：指系统输出响应从零时刻首次到达稳态值一半所需的时间。（2）上升时间tr：指系统响应从零时刻首次到达稳态值的时间，即单位阶跃响应曲线从t=0开始第一次上升到稳态值所需要的时间。（3）峰值时间tp：指系统响应从零时刻到达峰值的时间，即单位阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一

12、个峰值所需要的时间。24本讲稿第二十四页，共一百六十二页（4）最大超调量 ：指系统响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比的百分数，即 (3-16)（5）调整时间ts：指系统响应曲线进入允许的误差带，并不再超出该误差带 的最小时间，称为调整时间（或过渡过程时间）。（6）振荡次数N：在调整时间ts内响应曲线振荡的次数。25本讲稿第二十五页，共一百六十二页以上各性能指标中，通常用上升时间tr或峰值时间tp评价系统的响应速度，反映了动态过程的快速性；用最大超调量 和振荡次数N评价系统的阻尼特性或相对稳定程度，反映了动态过程的平稳性；而调整时间ts是同时反映系统快速性和平稳性的综合指标。26本讲稿第

13、二十六页，共一百六十二页 2）具有单调上升类型的单位阶跃响应曲线，如图3-5(b)所示。这种系统响应没有超调量，只用调整时间ts表示动态过程的快速性，调整时间的定义同上所述。有时也用上升时间tr这一指标表示动态过程的快速性。但是，这些没有超调量的系统，理论上到达稳态值的时间需要无穷大，因此，在这种情况下，上升时间的定义应修改为单位阶跃响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。应当指出，除简单的一阶系统、二阶系统外，要精确确定以上这些动态性能指标的解析表达式是很困难的。27本讲稿第二十七页，共一百六十二页2稳态稳态性能指性能指标标 稳态响应过程是指系统在典型输入信号作用下，时间t趋于无穷时

14、，系统的输出状态。采用稳态误差 ess来衡量系统的稳态性能，稳态误差的定义为：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。即 (3-17)稳态误差ess评价系统的准确性，反映控制系统复现或跟踪输入信号的能力。28本讲稿第二十八页，共一百六十二页3-2 系统的稳定性 在分析和设计线性控制系统时，首先要考虑的是控制系统的稳定性。一个控制系统能够正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。由于控制系统在实际运行中，不可避免地会受到外界或内部一些扰动因素的影响，比如系统负荷或能源的波动、系统参数和环境条件的变化等，从而会使系统偏离原来的工作状态。如果系统是稳定的，那么随着时间的推移，系统的各物理

15、量就会恢复到原来的工作状态。如果系统不稳定，即使扰动很微弱，也会使系统中的各物理量随着时间的推移而发散，显然不稳定的系统是无法正常工作的。因此，如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论研究的基本任务之一。29本讲稿第二十九页，共一百六十二页3.2.1 3.2.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念 由于稳定性的研究角度不同，控制系统稳定性在不同意义下的描述不尽相同，但是不同意义下稳定性描述的本质是相同的。对于线性定常控制系统，通常从下述两方面来定义稳定性。(1)若系统在有界输入量作用时，其输出量的幅值也是有界的，则称系统为有界输入有界输出稳定，又简称为BIBO稳定。否则如果

16、系统在有界输入作用下，产生无界的输出，则称系统是不稳定的。30本讲稿第三十页，共一百六十二页(2)系统在受到扰动作用后，其输出量会偏离原来的工作状态产生偏差，而当扰动消除后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋于零，即输出量又能逐渐回到原来的工作状态，则称系统为渐近稳定。否则，称这个系统是不稳定的。该定义表明，系统的稳定性反映在扰动消失后过渡过程的性质上。因此，控制系统的这种稳定性也可定义为系统没有输入，仅在初始条件的作用下，其输出随时间的推移逐渐趋于零。31本讲稿第三十一页，共一百六十二页 第一种定义是针对输入引起的响应而言，是指由式（3-10）表示的动态方程中的 y1(t)，因此也称为零状态

17、响应的稳定性。第二种定义是针对零输入时，系统的自由运动而言，如式（3-10）中的y2(t)，因此也称为零输入响应的稳定性。32本讲稿第三十二页，共一百六十二页 以上两种稳定性的描述虽然表述不同，但是在本质上是一致的，都是基于系统输入输出模型的。也就是说，它们只考虑了系统输出量在输入量有界或消失时是否收敛到有限值，因此把这种稳定性称为输入输出稳定性。对于线性定常系统，这两个稳定性的定义实质上是等价的，下面用单输入单输出线性定常系统的传递函数来考察这两个定义的一致性。设单输入单输出线性定常系统的传递函数为(m l时，系统有两个不相等的负实根，称系统为过阻尼状态。在过阻尼状态下，系统有两个不相等的负

18、实根，系统在单位阶跃信号作用下输出的拉普拉斯变换为 69本讲稿第六十九页，共一百六十二页 其中，A0，A1，A2分别是复平面上s=0，s=s1，s=s2处Y(s)的留数,即 对式(3-34)取拉普拉斯反变换可以求得，整理后可得过阻尼状态下系统的单位阶跃响应(3-34)(3-35)，70本讲稿第七十页，共一百六十二页 分析式(3-35)可知，在过阻尼状态下s1和s2均为负实数，所以阶跃响应的瞬态分量为两个衰减的指数项，输出的稳态值为 1，所以系统不存在稳态误差。其响应曲线如图3-10所示。由图3-10看出，系统的响应是非振荡的，但它由两个惯性环节串联，所以又不同于一阶系统的阶跃响应。过阻尼二阶系

19、统的单位阶跃响应，起始速度很小，然后逐渐加大到某值后又减小，直到趋于零。另外，两个衰减的指数项分别为 和 。71本讲稿第七十一页，共一百六十二页 当 l时，包含s2的指数项比另一项衰减快得多，它在瞬态分量中占的比例很小，只影响响应的起始段，系统瞬态分量主要取决于包含s1的项，此时可以略去s2对系统响应的影响，同时又要保证输出的初值和终值不变。当 1.25时，系统的过渡过程时间可近似为ts=(34)(1/s1)，系统的超调量Mp=0。72本讲稿第七十二页，共一百六十二页(2)当0 l时，系统有一对实部为负的共轭复根，称系统为欠阻尼状态。在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一对共轭复极点，即 其中

20、，称为阻尼振荡频率。当输入为单位阶跃函数时，输出的象函数为(3-36)73本讲稿第七十三页，共一百六十二页 对式(3-36)取拉普拉斯反变换，整理后可得欠阻尼状态下二阶系统的单位阶跃响应(3-37)式中，(3-38)由式(3-37)看出，系统响应由稳态分量和瞬态分量两部分组成，稳态分量为 1，瞬态分量是一个随时间t增长而衰减的振荡过程，衰减指数为 ，振荡角频率为 。图3-11给出了 时单位阶跃响应曲线。74本讲稿第七十四页，共一百六十二页75本讲稿第七十五页，共一百六十二页 欠阻尼下系统阶跃响应的性能指标如下。上升时间 tr 对式(3-37)，令h(tr)=l，得 因为，所以 取，得上升时间(

21、3-39)76本讲稿第七十六页，共一百六十二页峰值时间tp 在式(3-37)中，令h(t)对时间求导并令其为零，可得峰值时间tp 则必有 即 所以 又因峰值时间tp对应于出现第一个峰值的时间，所以（3-40）77本讲稿第七十七页，共一百六十二页最大超调量Mp 将峰值时间表达式(3-40)代入(3-37)，得输出的最大值所以最大超调量为(3-41)78本讲稿第七十八页，共一百六十二页不同阻尼比的最大超调量见表3-1 由式(3-41)可见，超调量Mp仅与阻尼比有关，越大，则 Mp越小。79本讲稿第七十九页，共一百六十二页调整时间 ts 在欠阻尼状态下，阶跃响应的幅值随时间为衰减的振荡过程，在达到稳

22、态值之前是在两条包络线之间振荡，如图3-12所示，包络线的方程为80本讲稿第八十页，共一百六十二页 它们与振荡过程的峰值相切并形成包络线。包络线是按指数率衰减的，其衰减指数是n，如图3-12。当 即振幅进入5的误差带范围，所以 (3-42)当 即振幅进入2的误差带范围，此时 (3-43)81本讲稿第八十一页，共一百六十二页振荡次数 N 振荡次数N表示在调节时间内，系统响应的振荡次数，用数学式子表示(3-44)当考虑5误差带，则 当考虑3误差带，则 通常 N取整数。82本讲稿第八十二页，共一百六十二页 (3)当阻尼比 =1时，系统的特征根为两相等的负实根，称系统为临界阻尼状态。在临界阻尼状态下，

23、系统有两个相等的负实根 此时系统在单位阶跃函数作用下，输出的象函数为取拉普拉斯反变换，得(3-45)83本讲稿第八十三页，共一百六十二页 阶跃响应为单调上升过程，如图3-13所示，由于=1是振荡与单调过程的分界，所以称作临界阻尼状态。系统的超调量Mp=0，调节时间 ts=4.7/n(对应误差带 =5)。84本讲稿第八十四页，共一百六十二页(4)当阻尼比=0时，系统特征根为一对纯虚根，称系统为无阻尼状态。在无阻尼状态下，系统特征根s1,2=jn，单位阶跃函数作用下输出的象函数为 进行拉普拉斯反变换得无阻尼状态下单位阶跃响应为 (3-46)85本讲稿第八十五页，共一百六十二页 系统的阶跃响应为等幅

24、振荡过程，如图3-14所示，振荡角频率为n，所以n称为无阻尼自然振荡角频率。根据以上分析，可得出不同阻尼比下系统单位阶跃响应曲线族如图3-15所示。横坐标为nt。86本讲稿第八十六页，共一百六十二页由图3-15看出：阻尼比越大，超调量越小，响应的平稳性越好。反之，阻尼比越小，振荡越强，平稳性越差。当=0时，系统为具有频率为n的等幅振荡。过阻尼状态下，系统响应迟缓，过渡过程时间长，系统快速性差；过小，响应的起始速度较快，但因振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间ts亦长，快速性差。当=0.707时，系统的超调量Mp5，调节时间 ts也最短，即平稳性和快速性最佳，故称=0.707为最佳阻尼比。87本讲稿

25、第八十七页，共一百六十二页 当阻尼比为常数时，n越大，调节时间 ts就越短，快速性越好。系统的超调量Mp和振荡次数 N仅仅由阻尼比决定，它们反映了系统的平稳性。工程实际中，二阶系统多数设计成0l时 当01时 当=l时 当=0时 90本讲稿第九十页，共一百六十二页 不同阻尼比下系统单位脉冲响应曲线如图3-16所示。由于单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，所以单位脉冲响应曲线与时间轴第一次相交点对应的时间必然是峰值时间 tp，而从t=0到t=tp这一段g(t)曲线与时间轴所包围的面积等于 l+Mp，如图3-17所示，而且单位脉冲响应曲线与时间轴包围的面积代数和为1。91本讲稿第九十一页，共一百六十二

26、页 例例3-7 对于如图3-18所示的控制系统。在Kt 0时，系统单位阶跃响应的超调量Mp=16.4，峰值时间tp=1.14，试确定参数K和Kt；并计算系统在Kt=0和K=10时的单位阶跃响应h(t)及其超调量和峰值时间。解解 (1)当Kt 0时，系统的传递函数为 92本讲稿第九十二页，共一百六十二页与典型二阶系统相比较，有 而已知Mp16.4，tp=1.14 根据,求得 =0.5,n=3.16因此,其单位阶跃响应为93本讲稿第九十三页，共一百六十二页(2)当Kt=0和K=10时，系统的传递函数为与典型二阶系统比较，有系统的最大超调量和峰值时间分别为，其单位阶跃响应为 从上例计算表明、系统引入

27、速度反馈控制后，其无阻尼自然振荡频率n 不变，而阻尼比加大，系统阶跃响应的超调量减小。94本讲稿第九十四页，共一百六十二页4.4.二阶系统的动态响应指标在二阶系统的动态响应指标在s s平面上的表示平面上的表示 二阶系统在欠阻尼状态下的两个闭环极点为一对共轭复极点，即其中，称为阻尼振荡频率。将极点表示在s平面上后，可得三条特殊的关系曲线，如图3-19所示。95本讲稿第九十五页，共一百六十二页图3-19 三条特殊的关系曲线96本讲稿第九十六页，共一百六十二页(1)等等 线线 通过极点 做一条与虚轴平行的直线，该直线上各点与虚轴的距离相等，均为 ，即为极点 实部的绝对值。由于二阶振荡系统的调整时间

28、仅与 有关，所以极点位于该直线上的二阶系统具有相同的值，故通常将其该直线称为等 线。等 线离虚轴越近，系统的调整时间和过渡过程越长。97本讲稿第九十七页，共一百六十二页(2)等等 线线 通过极点 做一条与实轴平行的直线，该直线上各点与实轴的距离相等，均为 ，即极点 虚部的值。由于极点位于该直线上的二阶系统具有相同的 值，故通常将该直线称为等 线。等 线离实轴越远，系统的振荡频率越高。98本讲稿第九十八页，共一百六十二页(3)等等 线线 通过原点到极点做一条射线。假设此射线上各点与负实轴间的夹角为，则有 由此可见，该直线上各点与负实轴间的夹于该射线上的二阶系统具有相同的 值，故通常将其该射线称为

29、等 线。等 线与负实越小，表明系统的相对稳定性越高。角相等，均为，仅与 有关。即极点位轴间的夹角越小，就越大，则超调量99本讲稿第九十九页，共一百六十二页 如果对二阶系统的动态响应指标给出具体的数值，则可在s平面上作出对应于这些给定性能指标的等值线，如图3-20所示。这样，如果所设计二阶系统的极点位于这些等值线所限制的阴影区域中，则该二阶系统的动态响应特性就一定优于给定的要求。图3-20 最佳动态响应特性区域100本讲稿第一百页，共一百六十二页5.具有零点的二阶系统具有零点的二阶系统 假设具有零点二阶系统的传递函数为(3-47)可得二阶系统在欠阻尼状态下的单位阶跃响应为(3-48)101本讲稿

30、第一百零一页，共一百六十二页少、峰值时间 也减小，即系统反映更加迅速，但相对稳定性下降。该零点离系统的极点越近，对系统的影响越显著。该零点远离系统极点（离虚轴较远）时，对系统的影响可忽略。由系统的单位阶跃响应曲线可知，当其他条件不变时，二阶振荡系统增加一个闭环零点后，使系统的超调量Mp增加、调整时间 减102本讲稿第一百零二页，共一百六十二页 最后特别指出，对具有零点的二阶系统，在定量求其动态性能指标，如上升时间 、峰值时间 、超调量Mp和调整时间 时，以上所给典型二阶系统的相应计算公式均不适用。它的各项动态性能指标，一定要根据定义利用其单位阶跃响应来求取。103本讲稿第一百零三页，共一百六十

31、二页例例3-8 已知系统的传递函数为试求该系统的单位阶跃响应，及其超调量MP和调节时间 (对应误差带=5)。解解 (1)根据单位阶跃响应为104本讲稿第一百零四页，共一百六十二页 (2)由于该系统为有零点的二阶系统，故其动态性能指标的计算，需采用基本定义方法来求。令，得：则超调量 令 得调节时间：和（舍去）105本讲稿第一百零五页，共一百六十二页3.3.3 高阶系统的时域响应 在控制工程中，几乎所有的控制系统都是用高阶微分方程描述的系统，即所谓的高阶系统。对于不能用一、二阶系统近似的高阶系统来说，其动态性能指标的确是比较复杂的。工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，从而得到高阶

32、系统动态性能指标的估算公式。106本讲稿第一百零六页，共一百六十二页1.高阶系统的高阶系统的阶跃阶跃响应响应 n阶（冗余）系统的传递函数为 如果分子和分母可分解因式，则式(3-49)可以写成 (3-49)(3-50)式中，zj(j=l,2,m)为闭环传递函数的零点；pi(i=l,2,n)为闭环传递函数的极点；K为比例系数。107本讲稿第一百零七页，共一百六十二页 当输入为单位阶跃函数 r(t)=1(t)，即 R(s)=1/s时，则 假设所有闭环零点和极点互不相等且均为实数，那么上式可分解成部分分式，即(3-51)108本讲稿第一百零八页，共一百六十二页 对式(3-51)进行拉普拉斯反变换，可以

33、得到系统的单位阶跃响应(3-52)当极点中还包含共轭复极点时，一对共轭复极点可以写成一个s的二次三项式，即s2+2n s+n2，那么此时Y(s)可写成(3-53)式中，q+2r=n。109本讲稿第一百零九页，共一百六十二页 对式(3-53)进行拉普拉斯反变换，可得系统的单位阶跃响应 由式(3-52)和式(3-54)可以看出，系统的单位阶跃响应由闭环极点pi及系数Ai、Bi、Ci决定，而系数 Ai、Bi、Ci也与闭环零、极点分布有关。如果系统的闭环极点均位于根s平面左半平面，则阶跃响应的瞬态分量将随时间而衰减，系统是稳定的。只要有一个极点位于右半平面，则对应的响应将是发散的，系统不能稳定运行。(

34、3-54)110本讲稿第一百一十页，共一百六十二页 但是，对于高阶系统，如果不借助于数字计算机对其传递函数的分子和分母进行因式分解，进而用拉普拉斯反变换求阶跃响应并不是一件容易的事，阶次愈高，困难也愈大。因而在实际中很少直接用上述方法求高阶系统的阶跃响应，而往往采用忽略掉一些次要因素的影响。把系统的阶次降低，近似地估计出系统的响应特性，然后再做适当的修正，使得分析过程简单化。111本讲稿第一百一十一页，共一百六十二页2.2.高阶系统的降阶高阶系统的降阶(1)主导极点主导极点 对于稳定的高阶系统而言，其闭环极点和零点在左半s平面上虽有各种分布模式，但就距虚轴的距离来说，却只有远近之别。如果在所有

35、的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其它闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，无论从指数还是从系数来看，在系统的整个时间响应过程中起着主要的决定性作用，这样的闭环极点被称为主导极点。闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或者是它们的组合。除闭环主导极点外，所有其它闭环极点由于离虚轴很远，则它对应的瞬态分量衰减得很快，只在响应的起始部分起一点作用，对系统的时间响应过程影响很小，因而统称为非主导极点。112本讲稿第一百一十二页，共一百六十二页(2)(2)高阶系统动态性能的估算高阶系统动态性能的估算 经验认为，一般其它闭环非主导极点

36、的实部绝对值比闭环主导极点的实部绝对值大5倍以上时，则那些闭环非主导极点可略去不计，有时甚至比闭环主导极点的实部绝对值大23倍的极点亦可忽略不计，即在闭环传递函数中除去。工程上往往只用闭环主导极点估算高阶系统的动态特性。即如果高阶系统存在一对闭环主导复极点或一个闭环主导实极点时，可将高阶系统近似地看成是二阶系统或一阶系统。这时，可以用二阶系统或一阶系统的动态性能指标估算高阶系统的动态特性。但是，事实上高阶系统毕竟不是二阶系统或一阶系统，因而在用二阶系统或一阶系统性能进行估算时，还要考虑其它非主导闭环零、极点对系统动态性能的影响。113本讲稿第一百一十三页，共一百六十二页 如果在降阶处理时略去一

37、个s左半平面的闭环实零点，那么求得的阶跃响应将较实际系统的响应慢一些，超调量也小些。略去的零点离虚轴愈远，计算结果与实际情况的差别愈小。反之，如果在降阶处理中略去一个s右半平面的闭环实零点，则计算结果将较实际系统的响应快一些，超调量也偏大。同样，此零点离虚轴愈远，造成的误差也愈小。如果在降阶处理时略去一个s左半平面的闭环实极点，那么求得的阶跃响应较实际系统的响应将变快，超调量也增大，系统的反应也变灵敏。如果略去的零点或极点离虚轴的距离是主导极点实部的5倍以上时，上述误差不超过5%，可满足一般工程要求。114本讲稿第一百一十四页，共一百六十二页 在控制工程实践中，通常要求控制系统既具有较高的响应

38、速度，又具有一定的阻尼程度，此外，还要求减少死区、间隙和库仑摩擦等非线性因素对系统性能的影响，因此高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点。115本讲稿第一百一十五页，共一百六十二页(3)偶极子偶极子 如果闭环零、极点相距很近，那么这样的闭环零、极点常称为偶极子。偶极子有实数偶极子和复数偶极子之分，而负（复）数偶极子必共轭出现。从式(3-51)可看出，只要偶极子不十分接近坐标原点，它们对系统动态性能的影响就甚微，从而可以忽略它们的存在。工程上，当某极点和某零点之间的距离比它们的模值小一个数量级，就可认为这对零、极点为偶极子。偶极子的概念对控制系统的综合校正是很有用的，可以有意识地

39、在系统中加入适当的零点，以抵消对系统动态响应过程影响较大的不利极点，使系统的动态特性得以改善。闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之为偶极子相消。116本讲稿第一百一十六页，共一百六十二页3-4 系统的稳态误差 控制系统的稳态误差，是系统控制准确度（控制精度）的一种度量，通常称为稳态性能。在控制系统的设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。需要指出的是，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义。因此，在计算系统的稳态误差之前，必须判断系统是稳定的。对于不稳定的系统，计算稳态误差是没有意义的。117本讲稿第一百一十七页，共一百六十二页3.4.1 稳态误差的定义稳态误

40、差的定义1控制系统的误差控制系统的误差 对于图3-21所示的反馈控制系统，系统的误差一般定义为系统被控量的期望值与实际值之差，即 或 图3-21 反馈控制系统(3-55)118本讲稿第一百一十八页，共一百六十二页 但是实际控制系统的参考输入信号R(s)与输出信号Y(s)通常是不同量纲或不同量程的物理量。比如在温度控制系统中，输入信号为电压或电流量纲，而输出信号为温度量纲。在这种情况下，控制系统的误差不能直接用它们之间的差值来表示，应该将R(s)和Y(s)转换为相同量纲或相同量程后才能进行运算。假设将Y(s)转换为与R(s)相同量纲或相同量程的转换系数为(s)，则系统的误差通常采用以下两种定义方

41、式：119本讲稿第一百一十九页，共一百六十二页从输入端定义 从输出端定义 由图3-21可知，在一般情况下，转换系数为(s)与系统反馈环节的传递函数H(s)相等。于是控制系统的误差可表示为120本讲稿第一百二十页，共一百六十二页 控制系统误差的这两种表达形式在本质上相同的，两者之间的关系为 特别指出，对于单位反馈系统，因为，所以此时以上两种误差定义的方法是一致的，它们不仅均等于误差的定义式(3-55)，而且也均等于系统的偏差E(s)，即。121本讲稿第一百二十一页，共一百六十二页 由于从输入端定义的误差，在实际系统中是可以测量的，具有一定的物理意义。而从输出端定义的误差，在系统性能指标的提法中经

42、常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只有数学意义。所以在本书的以后叙述中，如无特别说明，误差一般采用从系统输入端定义，在不引起混淆的情况下，用E(s)表示其误差的象函数，对应误差的时间函数e(t)表示为(3-56)122本讲稿第一百二十二页，共一百六十二页2.控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 误差响应e(t)如同系统的输出响应y(t)一样，也包含稳态分量和瞬态分量两部分，对于一个稳定系统，误差响应e(t)的瞬态分量随着时间的推移逐渐消失，而稳态分量趋于一定值。稳态误差ess是时间t趋于无穷时误差响应e(t)的稳态值。即(3-57)123本讲稿第一百二十三页，共一百六十二页 稳态误差

43、ess反映控制系统复现或跟踪输入信号的能力。除了可用定义式(3-57)计算稳态误差之外，稳定系统的稳态误差还可以借助拉氏变换中的终值定理方便地计算出，其表达式为(3-58)对于图3-21所示的反馈控制系统，根据误差的输入端定义(3-59)(3-60)124本讲稿第一百二十四页，共一百六十二页 对于高阶系统，误差信号E(s)的极点不易求得，故使用式(3-56)和式(3-57)利用拉氏反变换求稳态误差的方法相对困难一些。在实际计算过程中，只要sE(s)满足要求的解析条件，使用式(3-60)计算稳态误差则要简便得多。使用式(3-60)的条件是有理函数sE(s)在s右半平面和虚轴上必须解析，即sE(s

44、)的全部极点都必须分布在s左半平面。125本讲稿第一百二十五页，共一百六十二页3.4.2 稳态误差系数法稳态误差系数法 从稳态误差的表达式(3-60)可知，系统的稳态误差不仅与输入信号r(t)的形式有关，而且与系统开环传递函数G(s)H(s)，即系统的结构有关。126本讲稿第一百二十六页，共一百六十二页1系统的类型系统的类型 假设系统的开环传递函数G(s)H(s)可表示为(3-61)式中，K为开环增益（开环放大倍数）；v为积分环节个数。系统常按开环传递函数中所含有的积分环节个数v来定义系统的类型。即，当v=0时，称为0型系统；v=1时，称为I型系统；v=2时，称为II型系统；等等。127本讲稿

45、第一百二十七页，共一百六十二页2静静态位置误差系数态位置误差系数Kp 当系统的输入为单位阶跃（等位置）信号，即r(t)=1(t)时，有(3-62)其中，定义为静态位置误差系数。对于0型系统：Kp=K，ess=1/(1+K)；I型系统：Kp=，ess=0；II型系统：Kp=，ess=0。128本讲稿第一百二十八页，共一百六十二页由上面分析可以看出：(1)Kp的大小反映了系统在阶跃输入下消除误差的能力。Kp越大，稳态误差越小；(2)0型系统对阶跃输入引起的稳态误差为一常值，其大小与K有关，K越大，ess越小，但总有差，所以把0型系统常称为有差系统；(3)在阶跃输入时，若要求系统稳态误差为零，则系统

46、至少为 I型或高于 I型的系统。129本讲稿第一百二十九页，共一百六十二页3静态速度误差系数静态速度误差系数K 当系统的输入为单位斜坡（等速度）信号时，即当r(t)=t时，有(3-63)其中，定义为静态速度误差系数。对于0型系统：Kv=0，ess=；I型系统：Kv=K，ess=1/K；II型或II型以上系统：Kv=，ess=0。130本讲稿第一百三十页，共一百六十二页由上述结果可得：(1)Kv的大小反映了系统跟踪斜坡输入信号的能力，Kv越大，系统稳态误差越小；(2)0型系统在稳态时，无法跟踪斜坡输入信号；(3)I型系统在稳态时，输出与输入在速度上相等，但有一个与K成反比的常值位置误差；(4)I

47、I型或II型以上系统在稳态时，可完全跟踪斜坡信号。131本讲稿第一百三十一页，共一百六十二页4静态加速度误差系数静态加速度误差系数Ka 当系统输入为单位抛物线（等加速度）信号时，即当 时，则系统稳态误差为(3-64)其中，定义为静态加速度误差系数。对于0型系统：Ka=0，ess=；I型系统：Ka =0，ess=；II型系统：Ka =K，ess=1/K。132本讲稿第一百三十二页，共一百六十二页上述分析表明：(1)Ka的大小反映了系统跟踪加速度输入信号的能力。Ka越大，系统跟踪精度越高；(2)0型和I型系统输出不能跟踪加速度输入信号，在跟踪过程中误差越来越大，稳态时达到无限大；(3)II型系统能

48、跟踪加速度输入，但有一常值误差，其大小与K成反比；(4)要想准确跟踪加速度输入，系统应为III型或高于III型的系统。133本讲稿第一百三十三页，共一百六十二页 表3-2概括了0型、I型和II型系统在各种输入作用下的稳态误差。在对角线以上，稳态误差为0；在对角线以下，稳态误差则为无穷大。134本讲稿第一百三十四页，共一百六十二页 误差系数Kp，Kv和Ka反映了系统消除稳态误差的能力，系统型号越高，消除稳态误差的能力越强，但型号增大却使系统难以稳定。应注意，稳态误差系数法仅适用于给定信号作用下求稳态误差。另外，上述稳态误差中的K必须是系统的开环增益(或开环放大倍数)。135本讲稿第一百三十五页，

49、共一百六十二页 例例3-9 单位反馈系统结构图如图3-22所示，求当输入信号 r(t)=2t+t2时，系统的稳态误差ess。136本讲稿第一百三十六页，共一百六十二页3.4.3 动态误差系数法动态误差系数法 利用动态误差系数法，可以研究输入信号为任意时间函数时系统的稳态误差变化，因此动态误差系数又称广义误差系数。为了求取动态误差系数，根据误差输入端的定义式(3-59)，可得误差为 将误差的传递函数在s=0邻域内按泰勒级数展开得(3-65)(3-66)137本讲稿第一百三十七页，共一百六十二页则误差可表示为(3-67)式(3-67)称为误差级数，它是以s=0的邻域为收敛域的无穷级数，相当于在t时

50、成立。因此，当所有初始条件均为零时，对式(3-67)进行拉氏反变换，就可得到作为时间函数的稳态误差表达式(3-68)式中，称为动态误差系数。138本讲稿第一百三十八页，共一百六十二页 应当明确指出，这里的“动态”两字的含义是指这种方法可以完整描述系统稳态误差函数随时间变化的规律，而不是指误差信号中的瞬态分量随时间变化的情况。此外，式(3-68)给出的误差函数级数仅在t时成立，因此如果输入信号r(t)中包含有随时间趋于零的分量，则这些分量不应包含在稳态误差级数表达式中的输入信号及其各阶导数之内。139本讲稿第一百三十九页，共一百六十二页 由式(3-68)可知，稳态误差函数表达式既与动态误差系数有