振动之阻尼弹簧振子的受迫振动幻灯片.ppt

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1、振动之阻尼弹簧振子的受迫振动第1页，共13页，编辑于2022年，星期六特解也用复数表示特解也用复数表示代入微分方程得代入微分方程得解得解得复振幅为复振幅为特解用复数的实部表示为特解用复数的实部表示为x2=Acos(t+)为了简单地求特解，将驱动力用复数表示为了简单地求特解，将驱动力用复数表示其其中中*范例范例5.8 阻尼弹簧振子的受迫振动阻尼弹簧振子的受迫振动取齐次式取齐次式微分方程的解为微分方程的解为x1=e-t(Ccost+Csint)，其中阻尼圆频率为其中阻尼圆频率为C和和C是常数是常数。第2页，共13页，编辑于2022年，星期六v=-e-t(Ccost+Csint)+e-t(-Csin

2、t+Ccost)-Asin(t+)当物体从静止开始运动时，即当当物体从静止开始运动时，即当t=0时，有时，有x=0，v=0，可得，可得0=C+Acos，解得解得C=-Acos，速度为速度为通解为通解为通解为可表示为通解为可表示为x1=A1e-tcos(t+),x=x1+x2=e-t(Ccost+Csint)+Acos(t+)0=-C+C-Asin振幅和初相分别为振幅和初相分别为x1是减幅振动，是减幅振动，x2是等幅振动，物体的振动是两个振动的合成是等幅振动，物体的振动是两个振动的合成。*范例范例5.8 阻尼弹簧振子的受迫振动阻尼弹簧振子的受迫振动第3页，共13页，编辑于2022年，星期六物体在

3、作受迫振动时，减幅振动的位移随时间逐渐衰减为零，物体在作受迫振动时，减幅振动的位移随时间逐渐衰减为零，如果约化阻尼因子如果约化阻尼因子/0为为0.1，约化驱动力圆频率，约化驱动力圆频率/0为为2，两个振动叠加之后，开始时的位移比较复杂，经过一定的时间，减幅振动两个振动叠加之后，开始时的位移比较复杂，经过一定的时间，减幅振动衰减之后，物体作等幅振动，其圆频率等于驱动力的圆频率。衰减之后，物体作等幅振动，其圆频率等于驱动力的圆频率。等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率大，等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率大，第4页，共13页，编辑于2022年，星期六如果约化阻尼因子不变，约化驱动力圆频率如果约化阻尼

4、因子不变，约化驱动力圆频率/0为为6，受迫振动的振幅随着减幅振动起伏，最后成为等幅振动。受迫振动的振幅随着减幅振动起伏，最后成为等幅振动。等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率更大，因而振动得更快。等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率更大，因而振动得更快。第5页，共13页，编辑于2022年，星期六等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率小，因而振动得比较慢。等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率小，因而振动得比较慢。约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率/0取取0.6，受迫振动开始时受到减幅振动的扭曲，最后成为等幅振动。受迫振动开始时受到减幅振动的扭曲，最后成为等幅振动。

5、第6页，共13页，编辑于2022年，星期六等幅振动的圆频率与固有圆频率相等，与减幅等幅振动的圆频率与固有圆频率相等，与减幅振动的圆频率相近，因而振幅比较大。振动的圆频率相近，因而振幅比较大。约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率/0取取1，受迫振动的振幅随时间不断增加，最后成为等幅振动。受迫振动的振幅随时间不断增加，最后成为等幅振动。当驱动力的圆频率等于减幅振动的圆频率时，物体受当驱动力的圆频率等于减幅振动的圆频率时，物体受迫振动达到稳定后的振幅最大迫振动达到稳定后的振幅最大。第7页，共13页，编辑于2022年，星期六*范例范例5.8 阻尼弹簧振子的受迫振

6、动阻尼弹簧振子的受迫振动一弹簧振子的质量为一弹簧振子的质量为m，劲度系数为，劲度系数为k，振子除了受到阻力振子除了受到阻力f=-x之外，还受到周期性的外力的作用之外，还受到周期性的外力的作用F=F0cost，其中是，其中是F0驱动力驱动力的幅值，的幅值，是驱动力的圆频率。是驱动力的圆频率。(2)受迫振动达到稳态时，讨受迫振动达到稳态时，讨论位移振幅和速度振幅与驱动力频率的关系，并讨论振子论位移振幅和速度振幅与驱动力频率的关系，并讨论振子产生共振的条件。产生共振的条件。当系统的阻尼因子一定时，振子的振幅由驱动力的圆当系统的阻尼因子一定时，振子的振幅由驱动力的圆频率决定；振子的位移与驱动力并不同相

7、。频率决定；振子的位移与驱动力并不同相。通常通常 0，当，当0时，时，AF0/m02，0；当；当时，时，A0，-。解析解析(2)振子在作受迫振动时，经过一定的时间，振子在作受迫振动时，经过一定的时间，x10，xx2=Acos(t+)，振子的运动达到稳态。，振子的运动达到稳态。第8页，共13页，编辑于2022年，星期六这种位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。这种位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。最大位移振幅的圆频率范围在最大位移振幅的圆频率范围在0到到0之间，而最大位之间，而最大位移振幅可以从移振幅可以从F0/m02达到无穷大。达到无穷大。在位移共振在位移共振时，初相为时，初相为可见：位移

8、共振的初相小于零可见：位移共振的初相小于零。x=Acos(t+),*范例范例5.8 阻尼弹簧振子的受迫振动阻尼弹簧振子的受迫振动为了计算最大振幅，设为了计算最大振幅，设A的分母的平方为的分母的平方为令令dy/d=0，可得，可得容易验证，这就是振幅取极大值的条件，当然要求容易验证，这就是振幅取极大值的条件，当然要求极大值为极大值为第9页，共13页，编辑于2022年，星期六物体的速度为物体的速度为其中速度振幅为其中速度振幅为可见：当可见：当0时，速时，速度振幅度振幅vm0。由于由于x=Acos(t+),可知：当可知：当时，速度时，速度振幅也有振幅也有vm0。当当=0时，速度振时，速度振幅最大，最大

9、值为幅最大，最大值为这种速度振幅达到最大值这种速度振幅达到最大值的现象称为速度共振。的现象称为速度共振。当发生速度共振时，初相当发生速度共振时，初相=-/2；速度和驱动力是同相的，；速度和驱动力是同相的，即速度的方向与驱动力的方向总是保持一致的即速度的方向与驱动力的方向总是保持一致的。*范例范例5.8 阻尼弹簧振子的受迫振动阻尼弹簧振子的受迫振动第10页，共13页，编辑于2022年，星期六当当0.7070时，物体的时，物体的位移振幅随外力圆频率的位移振幅随外力圆频率的增加先增后减。增加先增后减。当当0.7070时，物体的时，物体的位移振幅随外力圆频率位移振幅随外力圆频率的增加而减小。的增加而减

10、小。不论阻尼因子是多少，不论阻尼因子是多少，所有曲线的起点和终所有曲线的起点和终点都相同。点都相同。位移振幅的峰值随位移振幅的峰值随阻尼因子的减小而阻尼因子的减小而增加，或者随外力增加，或者随外力的圆频率的增加而的圆频率的增加而增加，峰值分布在增加，峰值分布在0到到0之间。之间。第11页，共13页，编辑于2022年，星期六不论阻尼因子是多不论阻尼因子是多少，当驱动力的圆少，当驱动力的圆频率很低时，位移频率很低时，位移与驱动力就接近同与驱动力就接近同步；步；位移初相就是位移与位移初相就是位移与驱动力的相差，相差驱动力的相差，相差都小于零，表示位移都小于零，表示位移滞后驱动力。滞后驱动力。当驱动力

11、圆频率很大时，当驱动力圆频率很大时，位移的初相趋于位移的初相趋于-，位移，位移与驱动力反相。与驱动力反相。随着驱动力圆频率增加，随着驱动力圆频率增加，位移越来越滞后驱动力，位移越来越滞后驱动力，当驱动力圆频率等于自由当驱动力圆频率等于自由振动圆频率时，位移比驱振动圆频率时，位移比驱动力滞后动力滞后/2；位移振幅的峰值所位移振幅的峰值所对应的初相在对应的初相在-/2到到0之间。之间。第12页，共13页，编辑于2022年，星期六物体的振幅随外力物体的振幅随外力的圆频率的增加先的圆频率的增加先增后减。增后减。也就是当驱动力的圆频也就是当驱动力的圆频率等于系统的自由振动率等于系统的自由振动固有圆频率时就会产生固有圆频率时就会产生速度共振速度共振。不论阻尼因子不论阻尼因子是多少，所有是多少，所有曲线的起点和曲线的起点和终点都相同，终点都相同，并且速度振幅并且速度振幅峰值在一条直峰值在一条直线上，线上，第13页，共13页，编辑于2022年，星期六