数值分析第二章幻灯片.ppt

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1、数值分析课件第二章第1页，共24页，编辑于2022年，星期六 2.1 引言引言 2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 2.3 逐次线性插值逐次线性插值 2.5 差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值公式 2.6 埃尔米特插值公式埃尔米特插值公式 2.7 分段低次插值分段低次插值 2.4 均差与牛顿插值多项式均差与牛顿插值多项式 2.8 三次样条插值三次样条插值第二章第二章 插插 值值 法法第2页，共24页，编辑于2022年，星期六用简单的函数用简单的函数(如多项式函数如多项式函数)作为一个复杂函数的近作为一个复杂函数的近似似,最简单实用的方法就是插值。最简单实用的方法就是插值。本章主

2、要介绍有关插值法的一些基本概念本章主要介绍有关插值法的一些基本概念,及多项式插值及多项式插值的基础理论和几个常用的插值法的基础理论和几个常用的插值法:Lagrange插值插值、分段线分段线性插值、性插值、Newton插值、插值、Hermite插值和三次样条插值。插值和三次样条插值。第一节第一节 引引 言言第3页，共24页，编辑于2022年，星期六构造一个简单易算的近似函数构造一个简单易算的近似函数 g(x)f(x)，满足条件满足条件g(xi)=f(xi)(i=0,n)。这里的这里的 g(x)称为称为f(x)的的插值函数插值函数。当精确函数当精确函数 y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点非

3、常复杂或未知时，在一系列节点 x0 xn 处测得函数值处测得函数值 y0=f(x0),yn=f(xn)x0 x1x2x3x4xg(x)f(x)最常用的插值函数是最常用的插值函数是?多项式多项式插插值值节节点点插插值值条条件件第4页，共24页，编辑于2022年，星期六第5页，共24页，编辑于2022年，星期六二、代数插值多项式的存在唯一性二、代数插值多项式的存在唯一性整体误差的大小反映了插值函数的好坏整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函一般插值函数都使用代数多项式和有理函数数都使用代数多项式和有理函数本章讨论的就是代数

4、插值多项式本章讨论的就是代数插值多项式且满足且满足-(2)-(3)第6页，共24页，编辑于2022年，星期六-(4)上述方程组的系数行列式为上述方程组的系数行列式为n+1阶阶Vandermond行列式行列式第7页，共24页，编辑于2022年，星期六定理定理1.由由Cramer法则法则,线性方程组线性方程组(4)有唯一解有唯一解-(2)-(3)则满足插值条件的插值多项式存在且唯一存在且唯一.虽然线性方程组虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一推出的插值多项式存在且唯一但通过解但通过解线性方程组线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法求插值多项式却不是好方法第8页，共24页，编辑于2022

5、年，星期六 拉格朗日多项式拉格朗日多项式 /*Lagrange Polynomial*/niyxPiin,.,0,)(=求求 n 次多项式次多项式 使得使得条件：条件：无重合节点，即无重合节点，即n=1使得使得111001已知已知 x0,x1;y0,y1，求，求)(,)(yxPyxP=可见可见 P1(x)是过是过(x0,y0)和和(x1,y1)两点的直线。两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP-+=101xxxx-010 xxxx-=y0+y1l0(x)l1(x)=10)(iiiyxl称为称为拉氏基函数拉氏基函数 /*Lagrange Basis*/，满足条件满足条件 li(xj

6、)=ij /*Kronecker Delta*/第9页，共24页，编辑于2022年，星期六 The mathematician S.had to move to a new place.His wife didnt trust him very much,so when they stood down on the street with all their things,she asked him to watch their ten trunks,while she got a taxi.Some minutes later she returned.Said the husband:I

7、thought you said there were ten trunks,but Ive only counted to nine!The wife said:No,theyre TEN!But I have counted them:0,1,2,.n 1希望找到希望找到li(x)，i=0,n 使得使得 li(xj)=ij；然后令；然后令=niiinyxlxP0)()(，则显然有，则显然有Pn(xi)=yi。li(x)每个每个 li 有有 n 个根个根 x0 xi xn0=nj-=-=j i jiniiixxCxxxxxxCxl0)().().()(x=1-j i jiiiixxCl)(1

8、)(Lagrange Polynomial与与 有关，而与有关，而与 无关无关节点节点f第10页，共24页，编辑于2022年，星期六n+1次多项式第11页，共24页，编辑于2022年，星期六且从而第12页，共24页，编辑于2022年，星期六其中第13页，共24页，编辑于2022年，星期六例例1:解解:第14页，共24页，编辑于2022年，星期六且且在例在例1中中,如果只给出两个节点如果只给出两个节点169和和225,也可以作插值也可以作插值多项式多项式,即即1次次Lagrange插值多项式插值多项式,有两个插值基函数有两个插值基函数,这种插值方法称为这种插值方法称为Lagrange线性插值线性

9、插值,也可以在也可以在n+1个个节点中取相邻的两个节点作线性插值节点中取相邻的两个节点作线性插值第15页，共24页，编辑于2022年，星期六Lagrange线性插值基函数为线性插值基函数为Lagrange线性插值多项式为线性插值多项式为参见图参见图第16页，共24页，编辑于2022年，星期六例例2.解解:Lagrange插值基函数为插值基函数为Lagrange线性插值多项式为线性插值多项式为第17页，共24页，编辑于2022年，星期六所以所以请编写出请编写出Lagrange插值的插值的 Matlab 程序程序程序：程序：lagrangen.m第18页，共24页，编辑于2022年，星期六 插值余

10、项插值余项/*Remainder*/设节点设节点在在(a,b)内存在内存在,考察截断误差考察截断误差，且，且 f 满足条件满足条件 ,其中其中，且依赖于，且依赖于x。应当指出，余项表达式只有在应当指出，余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能使用。的高阶导数存在时才能使用。在在(a,b)内的具体位置通常不可能给出。如果可以求出内的具体位置通常不可能给出。如果可以求出，那么插值多项式的截断误差限是，那么插值多项式的截断误差限是第19页，共24页，编辑于2022年，星期六例题：例题：已知已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用

11、线性插值及用线性插值及抛物插值计算抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。的值并估计截断误差。解：解：由题意取由题意取x0=0.32,y0=0.314567,x1=0.34,y1=0.333487,x2=0.36,y2=0.352274。用线性插值及抛物插值计算，取用线性插值及抛物插值计算，取 x0=0.32 及及 x1=0.34,又由公式得又由公式得 y1-y0sin0.3367 L1(0.3367)=y0+(0.3367-x0)x1-x0 0.01892=0.314567+(0.0167)=0.330365.0.02第20页，共24页，编辑于2022年，星期六其截断误差得其截

12、断误差得其中其中 ，因，因 f(x)=sinx，f/(x)=-sinx，可取可取，于是，于是 R1(0.3367)=sin 0.3367 L1(0.3367)1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.92 105，若取若取x1=0.34，x2=0.36为节点，则线性插值为为节点，则线性插值为第21页，共24页，编辑于2022年，星期六其截断误差为其截断误差为，其中其中于是于是 用抛物插值计算用抛物插值计算 sin0.3367时，可得时，可得第22页，共24页，编辑于2022年，星期六这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，

13、这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得其中其中于是于是第23页，共24页，编辑于2022年，星期六当增加节点当增加节点xn+1时（提高精度），原来的插值基函数时（提高精度），原来的插值基函数lj(x)(j=0,1,2,n)不能立即利用，还需要重复计算，不能立即利用，还需要重复计算，而且还需要计算一个新的插值基函数而且还需要计算一个新的插值基函数ln+1(x)。形式对称，易于编制程序形式对称，易于编制程序 LagrangeLagrange插值多项式的优点：插值多项式的优点：插值基函数计算复杂插值基函数计算复杂高次插值的精度不一定高高次插值的精度不一定高 LagrangeLagrange插值多项式的缺点：插值多项式的缺点：第24页，共24页，编辑于2022年，星期六