第2节 空间几何体的表面积和体积精选文档.ppt

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1、第2节 空间几何体的表面积和体积本讲稿第一页，共五十一页 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）算公式（不要求记忆公式）.本讲稿第二页，共五十一页本讲稿第三页，共五十一页1.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各侧面面积之和，柱体、锥体、台体的侧面积，就是各侧面面积之和，表面积是各个面的面积的和，即侧面积与底面积之和表面积是各个面的面积的和，即侧面积与底面积之和.本讲稿第四页，共五十一页2.旋转体的表面积旋转体的表面积本讲稿第五页，共五十一页3.几何体的体积公式几何体的体积公式本讲稿第

2、六页，共五十一页思考探究思考探究如何求不规则几何体的体积？如何求不规则几何体的体积？提示：提示：对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决成已知体积公式的几何体进行解决.本讲稿第七页，共五十一页1.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半 径是径是 ()A.B.3 C.4 D.5解析：解析：设球半径为设球半径为R，则，则 R34R2，R3.答案：答案：B本讲稿第八页，共五十一页2.圆柱的一个底面积是圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那，侧面展开图是

3、一个正方形，那 么这个圆柱的侧面积是么这个圆柱的侧面积是 ()A.4S B.2S C.S D.S解析：解析：底面半径是底面半径是 ，所以正方形的边长是，所以正方形的边长是2 2 ，故圆柱的侧面积是，故圆柱的侧面积是(2 )24S.答案：答案：A本讲稿第九页，共五十一页3.将边长为将边长为a的正方形的正方形ABCD沿对角线沿对角线AC折起，使折起，使BDa，则三棱锥则三棱锥DABC的体积为的体积为 ()A.B.C.a3 D.a3 本讲稿第十页，共五十一页解析：解析：设正方形设正方形ABCD的对角线的对角线AC、BD相相交于点交于点E，沿，沿AC折起后依题意得，当折起后依题意得，当BDa时，时，B

4、EDE，所以，所以DE平面平面ABC，于是三棱锥，于是三棱锥DABC的高为的高为DE a，所以三棱锥，所以三棱锥DABC的体积的体积V答案：答案：D本讲稿第十一页，共五十一页4.若棱长为若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为的表面积为.解析：解析：正方体的体对角线为球的直径正方体的体对角线为球的直径.答案：答案：27本讲稿第十二页，共五十一页5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积 是是.本讲稿第十三页，共五十一页解析：解析：此几何体为一圆锥与圆柱的组合体此几何体为一圆锥与圆柱的

5、组合体.圆柱底面半径为圆柱底面半径为ra，高为，高为h12a，圆锥底面半径为圆锥底面半径为ra，高为，高为h2a.故组合体体积为故组合体体积为Vr2h1 r2h22a3 a3 .答案：答案：本讲稿第十四页，共五十一页本讲稿第十五页，共五十一页 求解有关棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积的关键求解有关棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积的关键是利用几何图形的性质找到其几何图形特征，从而体现出高、是利用几何图形的性质找到其几何图形特征，从而体现出高、斜高、边长等几何元素间的关系，如棱柱中的矩形、棱锥中斜高、边长等几何元素间的关系，如棱柱中的矩形、棱锥中的直角三角形、棱台中的直角梯形等的直角三角形、棱台中

6、的直角梯形等.本讲稿第十六页，共五十一页 (2009宁夏、海南高考宁夏、海南高考)一个棱锥的三视图如图，则该棱一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积锥的表面积(单位：单位：cm2)为为 ()本讲稿第十七页，共五十一页本讲稿第十八页，共五十一页A.4812B.4824C.3612 D.3624本讲稿第十九页，共五十一页思路点拨思路点拨本讲稿第二十页，共五十一页课堂笔记课堂笔记如图所示三棱锥如图所示三棱锥.AO底面底面BCD，O点为点为BD的中点，的中点，BCCD6(cm)，BCCD，AO4(cm)，ABAD.本讲稿第二十一页，共五十一页SBCD66 18(cm2)，SABD 6 412 (cm2

7、).取取BC中点为中点为E.连结连结AE、OE.可得可得AOOE，AE 5(cm)，SABCSACD 6515(cm2)，S表表1812 1515(4812 )(cm2).答案答案A本讲稿第二十二页，共五十一页1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有如下关系，用图柱体、锥体、台体的体积公式之间有如下关系，用图 表示如下：表示如下：本讲稿第二十三页，共五十一页2.求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公 式式V Sh进行计算即可进行计算即可.常用方法为：割补法和等体常用方法为：割补法和等体 积变换法：积变换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将

8、这个几何体分割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分 割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积从而得出几何体的体积.本讲稿第二十四页，共五十一页(2)等体积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥等体积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥 的底面的底面.求体积时，可选择容易计算的方式来计算；求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用利用“等积性等积性”可求可求“点到面的距离点到面的距离”.本讲稿第二十五页，共五十一页 (2009辽宁高考辽宁高考)正六棱锥正六棱锥PABCDEF中，中，G为为PB的中的中点点.则三棱锥

9、则三棱锥DGAC与三棱锥与三棱锥PGAC体积之比为体积之比为 ()A.1 1 B.1 2C.2 1 D.3 2本讲稿第二十六页，共五十一页思路点拨思路点拨本讲稿第二十七页，共五十一页课堂笔记课堂笔记G为为PB中点，中点，VPGACVPABCVGABC2VGABCVGABCVGABC.又多边形又多边形ABCDEF是正六边形，是正六边形，SABC SACD，VDGACVGACD2VGABC，VDGAC VPGAC2 1.答案答案C本讲稿第二十八页，共五十一页1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的 面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中

10、各面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各 线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决 相关问题的关键相关问题的关键.本讲稿第二十九页，共五十一页2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应 的底面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴的底面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴 截面，将空间问题转化为平面问题截面，将空间问题转化为平面问题.本讲稿第三十页，共五十一页 如图所示，半径为如图所示，半径为R的半圆内的半圆内的阴影部分以直径的阴影部分以直径AB所在直线为轴，所在直线

11、为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积体的表面积(其中其中BAC30).本讲稿第三十一页，共五十一页思路点拨思路点拨本讲稿第三十二页，共五十一页课堂笔记课堂笔记如图所示，过如图所示，过C作作CO1AB于于O1，在半圆中可得在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，AC R，BCR，CO1 R，S球球4R2，本讲稿第三十三页，共五十一页 R R R2，RR R2，S几何体表几何体表S球球 4R2 R2 R2 R2.旋转所得几何体的表面积为旋转所得几何体的表面积为 R2.本讲稿第三十四页，共五十一页能否求出该几何体的体积？能否求出该几何体的体积？R3 O1

12、C2(AO1BO1)R3 (R)22R R3 R3 R3.解：解：V几何体几何体V球球 R3 O1C2AO1 O1C2BO1本讲稿第三十五页，共五十一页 几何体的折叠与展开问题是立体几何的重要内容之几何体的折叠与展开问题是立体几何的重要内容之一，解决折叠与展开问题的关键是弄清折叠与展开前后一，解决折叠与展开问题的关键是弄清折叠与展开前后位置关系和数量关系的变化情况，从而画出准确的图形位置关系和数量关系的变化情况，从而画出准确的图形解决问题解决问题.2009年全国高考年全国高考中出现了正方体的折叠与展开问中出现了正方体的折叠与展开问题，很好的考查了学生的空间想象能力以及推理能力，代表了题，很好的

13、考查了学生的空间想象能力以及推理能力，代表了一种考查方向一种考查方向.本讲稿第三十六页，共五十一页 考题印证考题印证 (2009全国卷全国卷)纸制的正方体纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北下、东、南、西、北.现在沿该正方现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是的面的方位是 ()A.南南 B.北北 C.西西 D.下下本讲稿第三十七页，共五十一页【解析解析】如图所示如图所示.规律：展开图中间隔一个为相对的面规律：展开图中间隔一个

14、为相对的面.【答案答案】B本讲稿第三十八页，共五十一页自主体验自主体验 已知一多面体共有已知一多面体共有9个面，所有棱长均为个面，所有棱长均为1，其平面展开，其平面展开图如图所示，则该多面体的体积图如图所示，则该多面体的体积V.本讲稿第三十九页，共五十一页 解析：解析：该多面体是一个正方体和正该多面体是一个正方体和正四棱锥的组合体，正四棱锥的底面为边四棱锥的组合体，正四棱锥的底面为边长为长为1的正方形，侧棱长为的正方形，侧棱长为1.由图知，由图知，OB BD ，SB1，SO V四棱锥四棱锥V多面体多面体1 .答案：答案：1本讲稿第四十页，共五十一页本讲稿第四十一页，共五十一页1.把球的表面积扩

15、大到原来的把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来倍，那么体积扩大到原来 的的 ()A.2倍倍B.2 倍倍 C.倍倍 D.倍倍本讲稿第四十二页，共五十一页解析：解析：设球原来半径为设球原来半径为r，则，则S4r2，V r3，又设扩，又设扩大后半径为大后半径为R，则，则4R28r2，R r，V扩扩 R3 (r)3，2 .答案：答案：B本讲稿第四十三页，共五十一页2.(2009陕西高考陕西高考)若正方体的棱长为若正方体的棱长为 ，则以该正方体，则以该正方体 各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ()A.B.C.D.本讲稿第四十四页，共五十一页解析：解析：

16、这个凸多面体由两个全等的正四棱锥组成，正四这个凸多面体由两个全等的正四棱锥组成，正四棱锥的底面边长为棱锥的底面边长为 1，高等于，高等于 ，所以体积，所以体积V2 12 .答案：答案：B本讲稿第四十五页，共五十一页3.一个圆台的两底面的面积分别为一个圆台的两底面的面积分别为、16，侧面积为，侧面积为25，则这个圆台的高为则这个圆台的高为 ()A.3 B.4 C.5 D.解析：解析：由圆台侧面积公式得由圆台侧面积公式得S(Rr)l(41)l25.得得l5，故高为，故高为 4.答案：答案：B本讲稿第四十六页，共五十一页4.(2010广州模拟广州模拟)将圆心角为将圆心角为 ，面积为，面积为3的扇形，

17、作的扇形，作 为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于.解析：解析：设圆锥的母线长为设圆锥的母线长为l，则有，则有 ll3，l3，且圆锥的底面周长为，且圆锥的底面周长为3 2，故底面半径，故底面半径r1，底面积为，底面积为，从而圆锥的表面积为，从而圆锥的表面积为4.答案：答案：4本讲稿第四十七页，共五十一页5.(2010安徽师大附中模拟安徽师大附中模拟)一个、一个、三棱锥的三视图如图所示，其三棱锥的三视图如图所示，其 正视图、侧视图、俯视图的面正视图、侧视图、俯视图的面 积分别是积分别是1,2,4，则这个几何体，则这个几何体 的体积为的体积为.本讲稿第四十八页，共五十一

18、页解析：解析：设正视图两直角边长分别为设正视图两直角边长分别为a，c，左视图两直角边长，左视图两直角边长为为b，c，则俯视图两直角边长为，则俯视图两直角边长为a，b.本讲稿第四十九页，共五十一页解得解得a2b2c264，abc8，由于这个几何体为三棱锥，所以其体积由于这个几何体为三棱锥，所以其体积V abc .答案：答案：本讲稿第五十页，共五十一页6.如图，如图，E、F分别为正方形分别为正方形ABCD 的边的边BC、CD的中点，沿图中虚的中点，沿图中虚 线将边长为线将边长为2的正方形折起来，的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥围成一个三棱锥，求此三棱锥 的体积的体积.解：解：折叠起来后，折叠起来后，B、D、C三点重合为三点重合为S点，则围成点，则围成的三棱锥为的三棱锥为SAEF，这时，这时SASE，SASF，SESF，且且SA2，SESF1，所以此三棱锥的体积所以此三棱锥的体积V 112 .本讲稿第五十一页，共五十一页