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1、第2章逻辑代数本讲稿第一页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础2.1 概述概述2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法2.7 具有无关项的逻辑函数化简具有无关项的逻辑函数化简本讲稿第二页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础 在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研间的逻辑关

2、系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是究工具是逻辑代数逻辑代数（布尔代数布尔代数或或开关代数开关代数）。）。逻辑变量：逻辑变量：用字母表示，取值只有用字母表示，取值只有0和和1。此时，此时，0和和1不再表示数量的大小，不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。只代表两种不同的状态。2.1 概述概述本讲稿第三页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础一、与逻辑（与运算）一、与逻辑（与运算）与逻辑：与逻辑：仅当决定事件（仅当决定事件（Y）发生的所有条件（）发生的所有条件（A，B，C，）均满足时，事件（）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：）才能发生。表达式为：例：开关例：开关A，B串

3、联控制灯泡串联控制灯泡YA A、B B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。A A断开、断开、B B接通，灯不亮。接通，灯不亮。A A接通、接通、B B断开，灯不亮。断开，灯不亮。2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算A、B都接通，灯亮。都接通，灯亮。本讲稿第四页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础功能表功能表 将开关接通记作将开关接通记作1，断开记作，断开记作0；灯亮记作；灯亮记作1，灯灭记作，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：可以作出如下表格来描述与逻辑关系：真真值值表表两个开关均接通时，灯才会两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：亮。逻辑表达式为：本

4、讲稿第五页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础实现与逻辑的电路称为实现与逻辑的电路称为与门与门。与门的逻辑符号：与门的逻辑符号：本讲稿第六页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础二、或逻辑（或运算）二、或逻辑（或运算）或逻辑：或逻辑：当决定事件（当决定事件（Y）发生的各种条件）发生的各种条件A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。）就发生。表达式为：表达式为：两个开关只要有一个接通，灯就两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：会亮。逻辑表达式为：功能表功能表真值表真值表+本讲稿第七页，共一百零二页数字电子技术基

5、础数字电子技术基础实现或逻辑的电路称为实现或逻辑的电路称为或门或门。或门的逻辑符号：或门的逻辑符号：Y=A+B本讲稿第八页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础三、非逻辑（非运算）三、非逻辑（非运算）非逻辑：非逻辑：指的是逻辑的否定。当决定事件（指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发）发生的条件（生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：事件反而发生。表达式为：YA功能表功能表真值表真值表本讲稿第九页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础实现非逻辑的电路称为实现非逻辑的电路称为非门非门。非门的逻辑符号：非门的逻辑符号：

6、YA本讲稿第十页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础四、其他的常用逻辑运算四、其他的常用逻辑运算1、与非运算、与非运算逻辑表达式为：逻辑表达式为：本讲稿第十一页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础2、或非运算、或非运算逻辑表达式为：逻辑表达式为：本讲稿第十二页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础3、异或运算、异或运算逻辑表达式为：逻辑表达式为：本讲稿第十三页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础异或逻辑的运算规则：异或逻辑的运算规则：00=001=110=1011=A0=A1=AA=AA=AA10本讲稿第十四页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础

7、4、同或运算、同或运算逻辑表达式为：逻辑表达式为：AB异或和同或互为反运算，即：异或和同或互为反运算，即：A B 本讲稿第十五页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础同或逻辑的运算规则：同或逻辑的运算规则：同或逻辑的运算规则：同或逻辑的运算规则：0 0=10 1=01 0=011 1=A 0=A 1=A A=A A=AA10本讲稿第十六页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础5、与或非运算与或非运算逻辑表达式为：逻辑表达式为：本讲稿第十七页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式一、基本公式一、基本公式1.常

8、量之间的关系常量之间的关系请特别注意与普通代数不同之处本讲稿第十八页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础 2.基本公式基本公式分别令分别令A=0及及A=1代入这些公式，即代入这些公式，即可证明它们的正确可证明它们的正确性。性。亦称 非非律本讲稿第十九页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础 3.基本定理基本定理本讲稿第二十页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础利用真值表很容易证明这些公式的正利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明确性。如证明AB=BA：本讲稿第二十一页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础求证求证:分配律分配律 A+BC=(A+B)(A

9、+C)证明证明:右边右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+A(B+C)+BC=A(1+B+C)+BC=A 1+BC=A+BC=左边左边本讲稿第二十二页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础二、若干常用公式二、若干常用公式1.A+AB=2.A+AB=A+AB=A(A+B)=注:红色变量被吸收掉！统称 吸收律AA+BABA+BA(A+B)=AB本讲稿第二十三页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础证明证明:A+AB=A+BA+AB=(A+A)(A+B)A+BC=(A+B)(A+C)得：得：由分配律由分配律=1(A+B)=A+B本讲稿第二十四页，共一百零二页数字电子

10、技术基础数字电子技术基础3.AB+AB=4.A(A+B)=证明证明:A(A+B)=AA+AB =A+AB =A(1+B)=A(A+B)(A+B)=注:红色变量被吸收掉！也称 吸收律AAA本讲稿第二十五页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础5.AB+AC+BC=证明证明:AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B)=AB+ACAB+AC+BCD=AB+ACAB+AC冗余定律或多余项定理或包含律本讲稿第二十六页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)(A+B)(A+

11、C)(B+C+D)=(A+B)(A+C)冗余定律冗余定律或或多余项定理多余项定理的其他形式的其他形式同理：此多余项可以扩展成其他形式本讲稿第二十七页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础6.A(AB)=A(AB)=证明证明:A(AB)=A(A+B)=AA+AB =ABA(AB)=A(A+B)=AA+AB =A(1+B)=AABA本讲稿第二十八页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础一、代入定理一、代入定理 任任何何一一个个含含有有变变量量A的的等等式式，如如果果将将所所有有出出现现A的的位位置置都都用用同同一一个个逻逻辑辑函函数数代代替替，则则等等式式仍仍然然成成立立。这个规则

12、称为代入定理。这个规则称为代入定理。例如，已知等式例如，已知等式 ，用函数，用函数Y=BC代替等式中的代替等式中的B，根据代入定理，等式仍然，根据代入定理，等式仍然成立，即有：成立，即有：2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理本讲稿第二十九页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础二、二、反演定理反演定理对对于于任任何何一一个个逻逻辑辑表表达达式式Y，如如果果将将表表达达式式中中的的所所有有“”换换成成“”，“”换换成成“”，“0”换换成成“1”，“1”换换成成“0”，原原变变量量换换成成反反变变量量，反反变变量量换换成成原原变变量量，那那么么所所得得到到的的表表达达式式就就是是函

13、函数数Y的反函数的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演定理。（或称补函数）。这个规则称为反演定理。本讲稿第三十页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础本讲稿第三十一页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础应用反演定理应注意两点：应用反演定理应注意两点：1、保持原来的运算优先顺序。、保持原来的运算优先顺序。即如果在原函数表达式中，即如果在原函数表达式中，AB之间先运算，之间先运算，再和其它变量进行运算，再和其它变量进行运算，那么非函数的表达那么非函数的表达式中，仍然是式中，仍然是AB之间先运算。之间先运算。2、不属于单个变量上的反号应保留不变。、不属于单个变量上的反号应保留不

14、变。本讲稿第三十二页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础三、三、对偶定理对偶定理对对于于任任何何一一个个逻逻辑辑表表达达式式Y，如如果果将将表表达达式式中中的的所所有有“”换换成成“”，“”换换成成“”，“0”换换成成“1”，“1”换换成成“0”，而而变变量量保保持持不不变变，则则可可得得到到的的一个新的函数表达式一个新的函数表达式 YD,YD称为称为Y的对偶式。的对偶式。对对偶偶定定理理：如如果果两两个个逻逻辑辑式式相相等等，则则它它们们的的对对偶偶式也相等。式也相等。利用对偶规则，可以使要证明及要记忆的公利用对偶规则，可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。式数目减少一半。本讲稿

15、第三十三页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础（2）式）式（12）式）式本讲稿第三十四页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数一、逻辑函数 如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。关系称为逻辑函数。Y=F(A,B,C,)本讲稿第三十五页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础二、逻辑函数表示方法二、逻辑函数表示方

16、法 常用逻辑函数的表示方法有：常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表逻辑真值表（真值表）、（真值表）、逻辑函数式逻辑函数式（逻辑式或函数式）、（逻辑式或函数式）、逻辑图逻辑图、波形图波形图、卡诺图卡诺图及及硬件描述语言硬件描述语言。它们。它们之间可以相互转换。之间可以相互转换。例：一举重裁判电路例：一举重裁判电路本讲稿第三十六页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础设设A、B、C为为1表示开关闭合，表示开关闭合，0表示开关断开；表示开关断开；Y为为1表示灯亮，为表示灯亮，为0表示灯暗。得到函数表示形式：表示灯暗。得到函数表示形式：真值表函数式逻辑图本讲稿第三十七页，共一百零二页数字电子技

17、术基础数字电子技术基础波形图波形图ABCYtttt本讲稿第三十八页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础真值表：真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。出。0 10 11 01 0A YA Y一输入变一输入变量，二种量，二种组合组合 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0二输入变二输入变量，四种量，四种组合组合A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1三输入三输入变量，变量，八种组八种组合合本讲稿第三十九页，共一百零二页数字电子技术基

18、础数字电子技术基础A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1四输入变四输入变量，量，16种种组合组合本讲稿第四十页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础 n n个变量可以有个变量可以有2 2n n个组合，一个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态

19、。态一一对应，列出所有可能的状态。本讲稿第四十一页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础逻辑函数式逻辑函数式 把逻辑函数的输入、输出关系写成把逻辑函数的输入、输出关系写成与与、或或、非非等逻辑运算的组合式，即等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式逻辑代数式，又，又称为称为逻辑函数式逻辑函数式，通常采用，通常采用“与或与或”的形式。的形式。本讲稿第四十二页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础逻辑图：逻辑图：把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。本讲稿第四十三页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础各种表示方法之间的相互转换各种表示

20、方法之间的相互转换1、真值表、真值表逻辑函数式逻辑函数式方法：方法：将真值表中为将真值表中为1的项相加，的项相加，写成写成“与或式与或式”。A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 例例2.5.1本讲稿第四十四页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础2、逻辑式、逻辑式真值表真值表方法：方法：将输入变量取值的所有将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函组合状态逐一带入逻辑式求函数值，列成表即得真值表。数值，列成表即得真值表。例例2.5.2A B C Y 0 0 0 0 0 1 0

21、1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 01111110本讲稿第四十五页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础3、逻辑式、逻辑式逻辑图逻辑图方法：方法：用图形符号代替逻辑式中的运算符号，用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。就可以画出逻辑图。例例2.5.3本讲稿第四十六页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础4、逻辑图、逻辑图逻辑式逻辑式方法：方法：从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式。应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式。本讲稿第四十七页，共一百零二页数字电子技术

22、基础数字电子技术基础5、波形图、波形图真值表真值表ABCYtttt00000011010101101000101111001111A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 01100101本讲稿第四十八页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础1、最小项、最小项:在在n变量逻辑函数中，若变量逻辑函数中，若m为包含为包含n个因子的乘积项，个因子的乘积项，而且这而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在个变量都以原变量或反变量的形式在m 中中出现出现，且仅出现且仅出现一次一次，则这个乘积项，则这个乘积项m称为该函数的一个标准

23、称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。积项，通常称为最小项。3个变量个变量A、B、C可组成可组成 8(23)个最小项：个最小项：4个变量可组成个变量可组成 16(24)个最小项，记作个最小项，记作m0m15。三、逻辑函数的两种标准形式三、逻辑函数的两种标准形式本讲稿第四十九页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础本讲稿第五十页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础性质性质:任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。任意两个不同的最小项的乘积必为任意两个不同的最小项的乘积必为0。全部最小项的和必为全部最小项的和必为1。本讲稿第五十一页

24、，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础具具有有相相邻邻性性的的两两个个最最小小项项可可以以合合并并，并并消消去去一一对对因子。因子。只有一个因子不同的两个最小项是具有只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。相邻性的最小项。例如例如:将它们合并，可消去因子将它们合并，可消去因子:=BCABC 和和 ABC 具有逻辑相邻性。具有逻辑相邻性。ABC+ABC=(A+A)BC本讲稿第五十二页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为项之和，称为标准与或表达式标准与或表达式，也称为，也称

25、为最小项表达最小项表达式式。逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式公式AA1 和和A(B+C)ABAC来配项展开来配项展开成最小项表达式。成最小项表达式。本讲稿第五十三页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.5.6 将下列逻辑函数展开为最小项之和将下列逻辑函数展开为最小项之和的形式。的形式。本讲稿第五十四页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。小项相加

26、，便是函数的最小项表达式。本讲稿第五十五页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础 在在n变变量量逻逻辑辑函函数数中中，若若M为为包包含含n个个因因子子的的和和项项，而而且且这这n个个变变量量都都以以原原变变量量或或反反变变量量的的形形式式在在M 中中出出现现，且且仅仅出出现现一一次次，则则这这个个和和项项M称称为为该函数的一个标准和项，通常称为最大项。该函数的一个标准和项，通常称为最大项。n个变量有个变量有2n个最大项，记作个最大项，记作i2、最大项、最大项:本讲稿第五十六页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础最大项的性质最大项的性质：在输入变量的任何取值下必有一个最大项且仅

27、有一在输入变量的任何取值下必有一个最大项且仅有一个最大项的值为个最大项的值为0；全体最大项之积为全体最大项之积为0；即；即 任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1；只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。各相同变量之和。本讲稿第五十七页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础四、逻辑函数形式的变换四、逻辑函数形式的变换 根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达式的形式决定门电路的个数和种类。在用电子器件式的形式决定门电路的个数和种类。在用电子器件组成实际的逻辑电路时，由于选择不同逻辑功能类

28、组成实际的逻辑电路时，由于选择不同逻辑功能类型的器件，因此需要将逻辑函数式变换成相应的形型的器件，因此需要将逻辑函数式变换成相应的形式。式。本讲稿第五十八页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础1、最简、最简与或与或表达式表达式最简与或表达式最简与或表达式 首先是式中首先是式中乘积项最少乘积项最少 乘积项中含的乘积项中含的变量最少变量最少 实现电路的与门少实现电路的与门少 下级或门输入端个数少下级或门输入端个数少与门的输入端个数少本讲稿第五十九页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础2、最简、最简与非与非-与非与非表达式表达式在最简与或在最简与或表达式的基础表达式的基础上两次取

29、反上两次取反用摩根定律去掉内层的非号用摩根定律去掉内层的非号本讲稿第六十页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础3、最简、最简或与或与表达式表达式求出反函数的最简与或表达式求出反函数的最简与或表达式利用反演规则写出函数的最利用反演规则写出函数的最简或与表达式简或与表达式本讲稿第六十一页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础4、最简、最简或非或非-或非或非表达式表达式求最简或与表达式求最简或与表达式两次取反两次取反用摩根定律去掉内用摩根定律去掉内部的非号部的非号本讲稿第六十二页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础、最简、最简与或非与或非表达式表达式求最简或非求最简或非-

30、或非表或非表达式达式用摩根定律去掉内部非号。用摩根定律去掉内部非号。方法一：方法一：本讲稿第六十三页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础求出反函数的求出反函数的最简与或表达式最简与或表达式求反，求反，得到最简得到最简与或非表与或非表达式达式方法二：方法二：本讲稿第六十四页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法一、公式化简法一、公式化简法并项法：并项法：吸收法：吸收法：A+AB=A消项法：消项法：消因子法：消因子法：配项法：配项法：AB+AB=AAB+A C+BC=AB+A CA+A B=A+BA+A=A A+A=1本讲稿第六十五页，

31、共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.6.1 试用并项法化简下列函数试用并项法化简下列函数=B本讲稿第六十六页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.6.2 试用吸收法化简下列函数试用吸收法化简下列函数=A+BC本讲稿第六十七页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.6.3 用消项法化简下列函数用消项法化简下列函数本讲稿第六十八页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.6.4 用消因子法化简下列函数用消因子法化简下列函数本讲稿第六十九页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.6.5 化简函数化简函数解：解：;A+AA例例2.

32、6.6 化简函数化简函数解一：解一：;A+A1本讲稿第七十页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础化简函数化简函数解二：解二：消去消去，消去消去解三：解三：消去消去,消去消去增加冗余项增加冗余项增加冗余项增加冗余项本讲稿第七十一页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.6.7 化简逻辑函数化简逻辑函数解：吸收法消因子法消因子法吸收法消项法消项法本讲稿第七十二页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法 将将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有使具有逻辑相邻性逻辑相邻性的最小项在

33、的最小项在几何位置上相邻几何位置上相邻排排列，得到的图形叫做列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。变量最小项的卡诺图。卡诺图的定义：卡诺图的定义：二、卡诺图化简法二、卡诺图化简法本讲稿第七十三页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础逻辑相邻项：逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。不是逻辑相邻项是逻辑是逻辑相邻项相邻项本讲稿第七十四页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础卡诺图的表示：卡诺图的表示：1、一变量全部最小项的卡诺图、一变量全部最小项的卡诺图一变量一变量Y=F（A），），Y

34、A01AYA01m0m1全部最小项：全部最小项：A，A卡诺图：卡诺图：下下面面根根据据逻逻辑辑函函数数变变量量数数目目的的不不同同分分别别介介绍绍一下：一下：A本讲稿第七十五页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础ABY0101m0m1m2m3YAB00011110A BABABA B00011110YABm0m1m3m22、二变量全部最小项的卡诺图、二变量全部最小项的卡诺图Y=F（A、B）本讲稿第七十六页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础YABC0100011110m0m1m4m5m3m2m7m6YABC0001111001m0m1m4m5m3m2m7m63、三变量全部最

35、小项的卡诺图、三变量全部最小项的卡诺图 Y=F（A、B、C）本讲稿第七十七页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础YABCD0001111000011110m0m1m4m5m3m2m7m6m12m13m8m9m15m14m11m10YABCD00000101101010010111111001m0m1m3m2m4m5m7m6m8m9m11m10m12m13m15m144、四变量全部最小项的卡诺图、四变量全部最小项的卡诺图Y=F（A、B、C、D）注意：注意：左右、上下；左右、上下；在卡诺图中，在卡诺图中，每一行的首尾；每一行的首尾；每一列的首尾；每一列的首尾；的最小项都是逻辑相邻的。的最

36、小项都是逻辑相邻的。本讲稿第七十八页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础Y=AC+AC+BC+BC卡诺图：卡诺图：YABC010001111011111100A(B+B)C(A+A)BC Y=A(B+B)C+(A+A)BC+=(m1,m2,m3,m4,m5,m6)1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应 的方格中填的方格中填 1，其余方格中填，其余方格中填 0。方法一：方法一：解：解：例：例：用卡诺图表示之。用卡诺图表示之。用卡诺图表示逻辑函数：用卡诺图表示逻辑函数：本讲稿

37、第七十九页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础对于对于AC有：有：对于对于AC有：有：对于对于BC有：有：对于对于BC有：有：根据函数式直接填卡诺图根据函数式直接填卡诺图方法二：方法二：YABC010001111011111001 1 1本讲稿第八十页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.6.8 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数解：解：将将Y化为最小项之和的形式化为最小项之和的形式m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m1511111111本讲稿第八十一页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.6.9 已知逻辑函数的卡诺图，试写出该函数的

38、逻辑已知逻辑函数的卡诺图，试写出该函数的逻辑式式本讲稿第八十二页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。消去因子。化简规则：能够合并在一起的最小项是化简规则：能够合并在一起的最小项是2 n 个个如何最简：如何最简：圈的数目越少越简；圈内的最小项越多圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简。越简。特别注意：卡诺图中所有的特别注意：卡诺图中所有的 1 都必须圈到，都必须圈到，不能不能合并的合并的 1 必须单独画必须单独画 圈。圈。（画矩形圈）。（画矩形圈）。用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数本讲稿第

39、八十三页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础YABC010001111011111001 1 1 上两式的内容不相同，但函数值一定相同。上两式的内容不相同，但函数值一定相同。YABC010001111011111001 1 1 Y=+BCBA+ACY=CA+BCA+B将将Y=AC+AC+BC+BC 化简为最简与或式。化简为最简与或式。此例说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。此例说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。例：例：本讲稿第八十四页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础合并最小项的原则（1）任何两个（）任何两个（21个）相邻最小项，可个）相邻最小项，可以合并为一项，并

40、消去一个变量。以合并为一项，并消去一个变量。本讲稿第八十五页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础（2）任何）任何4个（个（22个）相邻的最小项，可以个）相邻的最小项，可以合并为一项，并消去合并为一项，并消去2个变量。个变量。此例说明，为了使化简结果最简，可以重复利用最小项本讲稿第八十六页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础（3）任何）任何8个（个（23个）相邻最小项，可以合并为一个）相邻最小项，可以合并为一项，并消去项，并消去3个变量。个变量。本讲稿第八十七页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础合并最小项的原则利用利用 AB+AB=A2个最小项合并，消去个最小项合

41、并，消去1个变量；个变量；4个最小项合并，消去个最小项合并，消去2个变量；个变量；8个最小项合并，消去个最小项合并，消去3个变量；个变量；2n个最小项合并，消去个最小项合并，消去n个变量；个变量；本讲稿第八十八页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础卡诺图化简法的步骤 画出变量的卡诺图画出变量的卡诺图;作出函数的卡诺图作出函数的卡诺图;画圈画圈;写出最简与或表达式。写出最简与或表达式。本讲稿第八十九页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础画圈的原则 合并个数为合并个数为2n；圈尽可能大圈尽可能大-乘积项中含因子数乘积项中含因子数最少；最少；圈尽可能少圈尽可能少-乘积项个数最少；

42、乘积项个数最少；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。一次，以免出现多余项。本讲稿第九十页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.6.10 用卡诺图将下式化简为最简与或函数式用卡诺图将下式化简为最简与或函数式111111YY本讲稿第九十一页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.6.11 用卡诺图将下式化简为最简与或函数式用卡诺图将下式化简为最简与或函数式Y本讲稿第九十二页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础Y本讲稿第九十三页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础2.7 具有无关项的逻辑函数化简具有无

43、关项的逻辑函数化简约束项、任意项约束项、任意项和逻辑函数式中的和逻辑函数式中的无关项无关项无无 关关 项项约束项：约束项：当限制某些输入变量的取值不能出现当限制某些输入变量的取值不能出现时，用它们对应的最小项恒等于时，用它们对应的最小项恒等于0来表示。来表示。任意项：任意项：在输入变量的某些取值下函数值在输入变量的某些取值下函数值是是1还是还是0皆可，并不影响电路的功能。在皆可，并不影响电路的功能。在这些变量的取值下，其值等于这些变量的取值下，其值等于1的那些最的那些最小项称为任意项。小项称为任意项。本讲稿第九十四页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础 在卡诺图中用符号在卡诺图中用符

44、号“”、“”或或“d”表示无关项。表示无关项。在化简函数时即可以认为它是在化简函数时即可以认为它是1，也可，也可以认为它是以认为它是0。本讲稿第九十五页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.7.1 化简逻辑函数化简逻辑函数已知约束条件为已知约束条件为本讲稿第九十六页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础例例2.7.2 判断一位十进制数是否为偶数。判断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现 说说说

45、说 明明明明1 1 1 11 1 1 10 00 1 1 10 1 1 11 1 1 01 1 1 01 10 1 1 00 1 1 01 1 0 11 1 0 10 00 1 0 10 1 0 11 1 0 01 1 0 01 10 1 0 00 1 0 01 0 1 11 0 1 10 00 0 1 10 0 1 11 0 1 01 0 1 01 10 0 1 00 0 1 00 01 0 0 11 0 0 10 00 0 0 10 0 0 11 11 0 0 01 0 0 01 10 0 0 00 0 0 0Y YA B C DA B C DY YA B C DA B C D本讲稿第九十

46、七页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础 输入变量输入变量A，B，C，D取值为取值为00001001时，逻时，逻辑函数辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时，奇数时为为0。无关项：无关项：本讲稿第九十八页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础本讲稿第九十九页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础不利用无关项的化简结果为：不利用无关项的化简结果为：利用无关项的化简结果为：利用无关项的化简结果为：本讲稿第一百页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础逻辑函数化简小结逻辑函数化简小结逻辑函数的化简有逻辑函数的化简有公式法公式法和

47、和图形法图形法等。等。公公式式法法是是利利用用逻逻辑辑代代数数的的公公式式、定定理理和和规规则则来来对对逻逻辑辑函函数数化化简简，这这种种方方法法适适用用于于各各种种复复杂杂的的逻逻辑辑函函数数，但但需需要要熟熟练练地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。图图形形法法就就是是利利用用函函数数的的卡卡诺诺图图来来对对逻逻辑辑函函数数化化简简，这这种种方方法法简简单单直直观观，容容易易掌掌握握，但但变变量量太太多多时时卡卡诺诺图图太太复复杂杂，图图形形法法已已不不适适用用。在在对对逻逻辑辑函函数数化化简简时时，充充分分利利用用无无关关项项可以得到十分简单的结果。可以得到十分简单的结果。本讲稿第一百零一页，共一百零二页数字电子技术基础数字电子技术基础 把输入、输出变量所有相互对应的逻把输入、输出变量所有相互对应的逻把输入、输出变量所有相互对应的逻把输入、输出变量所有相互对应的逻辑值（状态）列在一个表格内，这种表辑值（状态）列在一个表格内，这种表辑值（状态）列在一个表格内，这种表辑值（状态）列在一个表格内，这种表格称为格称为格称为格称为逻辑函数真值表逻辑函数真值表逻辑函数真值表逻辑函数真值表，简称，简称，简称，简称真值表。真值表。真值表。真值表。返回返回本讲稿第一百零二页，共一百零二页