12.2　第2课时　复数的乘方与除法运算.doc

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1、第 2 课时复数的乘方与除法运算探究点 1复数的乘方运算设1232i，求证：(1)120；(2)31.【证明】(1)因为2(1232i)21432i341232i，所以 121(1232i)(1232i)0.(2)32(1232i)(1232i)(12)2(32i)214341.复数的乘方运算，主要是根据复数的乘法进行计算，需要注意(1i)22i 等类似结论1已知 a，bZ，复数 zabi 满足 z322i，则 ab()A1B2C3D4解析：选 Bz3(abi)2(abi)(a2b22abi)(abi)(a33ab2)(3a2bb3)i22i，所以a33ab22，3a2bb32，得，a33ab

2、23a2bb30，即(ab)30，所以 ab，即 3a3a32，所以 a1，所以 ab1，所以 ab2，故选 B2.1232i3()AiBiC1D1解析：选 C1232i31232i21232i1232i1232i34141，故选 C探究点 2复数的除法运算计算：(1)（12i）23（1i）2i；(2)（14i）（1i）24i34i.【解】(1)（12i）23（1i）2i34i33i2ii2ii（2i）51525i.(2)（14i）（1i）24i34i53i24i34i7i34i（7i）（34i）（34i）（34i）2128i3i4252525i251i.解决复数的除法运算问题的思路复数的除法

3、法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算1.12i12i()A4535iB4535iC3545iD3545i解析：选 D12i12i（12i）（12i）（12i）（12i）144i1（2i）234i53545i，故选 D2计算：(1)32i23i32i23i；(2)（i2）（i1）（1i）（i1）i.解：(1)32i23i32i23ii（23i）23ii（23i）23iii0.(2)（i2）（i1）（1i）（i1）ii2i2i2i1i2ii13ii22i6i3i2555i51i.探究点 3在复数集内解

4、方程已知复数 z512i1i，i 为虚数单位(1)求 z；(2)若复数 z 是关于 x 的方程 x2mxn0 的一个根，求实数 m，n 的值【解】(1)因为复数 z512i1i5（12i）（12i）（12i）1i12i1i2i，所以 z2i.(2)因为复数 z 是关于 x 的方程 x2mxn0 的一个根，所以(2i)2m(2i)n0，所以 44ii22mmin0，所以(32mn)(m4)i0，所以32mn0，m40，解得 m4，n5.实系数的一元二次方程的虚数根是成对出现的，并且两根互为共轭复数关于 x 的实系数方程 x2axab0.(1)设 x1 3i(i 是虚数单位)是方程的根，求实数 a

5、，b 的值；(2)证明：当ba14时，该方程没有实数根解：(1)因为 x1 3i 是方程的根，所以 1 3i 也是方程的根，由根与系数的关系得 1 3i1 3ia，(1 3i)(1 3i)ab，解得 a2，b2.(2)证明：因为ba14，所以ba144ba4a04a(4ba)04aba20，所以a24ab0，所以原方程无实数根1复数i11i(i 为虚数单位)的虚部是()A1B1CiDi解析：选 B因为i11i（i1）（1i）2（1i）222i2i，所以虚部是 1，故选 B2设 z(1i)21i，复数 z 的共轭复数 z()A1iB1iC1iD1i解析：选 D 因为 z(1i)21i12ii21

6、i2i1i2i(1i)(1i)(1i)2i221i，因此 z1i.故选 D3已知（1i）31ia3i，则 a()A23iB23iC23iD23i解析：选 D由题知 a(1i)31i3i(1i)2(1i)1i3i2i(1i)1i3i23i.故选 D4计算：(1)22i（1i）221i2 018；(2)(4i5)(62i7)(7i11)(43i).解：(1)22i（1i）221i2 01822i2i22i1 009i(1i)1i1 0091i(i)1 0091ii1.(2)原式(4i)(62i)(7i)(43i)2214i2525i4739i.A基础达标1已知 i 为虚数单位，下列各式的运算结果为

7、纯虚数的是()Ai(1i)Bi(1i)2Ci2(1i)2Dii2i3i4解析：选 C对于 A，i(1i)i1 不是纯虚数；对于 B，i(1i)22i22 是实数；对于 C，i2(1i)22i 为纯虚数；对于 D，ii2i3i4i1i10 不是纯虚数故选 C2若复数 z1i(i 是虚数单位)，则()A2z22z10B2z22z10Cz22z20Dz22z20解析：选 D因为 z1i，所以 z2(1i)22i，2z2(1i)22i，所以 z22z20.故选 D3设 i 是虚数单位，则1i1i2 020()AiBiC1D1解析：选 C由于1i1i(1i)2(1i)(1i)2i2i，所以1i1i2 0

8、20(i)2 020(i)45051.故选 C4已知复数 z12i(1i)2，则复数 z 的共轭复数 z()A3414iB1434iC112iD112i解析：选 C因为 z12i(1i)212i2i12i1i2i21112i，所以 z112i.故选 C5已知 1i 是关于 x 的方程 ax2bx20(a，bR)的一个根，则 ab()A1B1C3D3解析：选 A实系数的一元二次方程的虚根成对(互为共轭复数)出现，所以1i 为方程两根，1i1iba，(1i)(1i)2a，所以 a1，b2，ab1，故选 A6 已知i为虚数单位，若复数z12i2i，z的共轭复数为 z，则z z_解析：依题意，得 z（

9、12i）（2i）（2i）（2i）i，所以 zi，所以z zi(i)1.答案：17计算：（1 3i）3（1i）62i12i_解析：因为 i1i，i21，i3i，i41，所以（1 3i）3（1i）62i12i（1 3i）2（1 3i）（1i）23(2i)(12i)(12i)(12i)（22 3i）（1 3i）(2i)324ii2i2588ii2i.故答案为 2i.答案：2i8已知3i2i(xyi)i(其中 i 是虚数单位，x，yR)，则 xy_解析：因为3i2i(xyi)i，所以3i2i(3i)(2i)(2i)(2i)7515i(xyi)iyxi，所以x15，y75，即x15，y75，所以 xy8

10、5.故答案为85.答案：859计算：(1)i2 021(2 2i)821i502 3i12 3i；(2)5i12i(2i)(1i).解：(1)i2 021(2 2i)821i502 3i12 3ii45051(2 2i)2421i2 25(2 3i)(12 3i)(12 3i)(12 3i)i(4i)41i2513i13i256(i)i2563i.(2)5i12i(2i)(1i)5i(12i)(12i)(12i)3i2i3i52i.10已知复数 z1mi(mR)，z312i是实数(1)求复数 z；(2)若复数 z012mz1 是关于 x 的方程 x2bxc0 的根，求实数 b 和 c的值解：(

11、1)因为 z1mi(mR)，可得z312imi212i（mi2）（12i）（12i）（12i）2m25m45i，由z312i是实数，可得m450，解得 m4，所以 z14i.(2)因为 z012mz124i 是方程 x2bxc0(b，cR)的根，所以(4i2)2b(4i2)c0，即(164b)i2bc120，可得164b0，2bc120，解得 b4，c20.B能力提升11下面是关于复数 z5i2i的四个结论，其中正确的是()Az12iBz234iCz1 为纯虚数Dz 的共轭复数为 12i解析：选 C因为 z5i2i5i（2i）（2i）（2i）5i（2i）512i，所以其共轭复数为 z12i，z

12、214i24i34i，z12i.故选 C12计算(1i1i)2 021(1i1i)2 021()A2iB0C2iD2解析：选 B因为1i1i（1i）（1i）（1i）（1i）2i2i，1i1ii，所以(1i1i)2 021(1i1i)2 021(i4)505i(i)4505(i)ii0.故选 B13设 z34i43i，f(x)x2x1，则 f(z)()AiBiC1iD1i解析：选 A因为 z34i43i，所以 z34i43i(34i)(43i)(43i)(43i)i.因为 f(x)x2x1，所以 f(z)(i)2(i)1i，故选 AC拓展探究14(多选)已知集合 Mm|min，nN*，其中 i

13、为虚数单位，则下列元素属于集合 M 的是()A(1i)(1i)B1i1iC1i1iD(1i)2解析：选 BC根据题意，在 Mm|min，nN*中，当 n4k(kN*)时，in1；当 n4k1(kN*)时，ini；当 n4k2(kN*)时，in1；当 n4k3(kN*)时，ini，所以 M1，1，i，i.选项 A 中，(1i)(1i)2M；选项 B 中，1i1i(1i)2(1i)(1i)iM；选项 C 中，1i1i(1i)2(1i)(1i)iM；选项 D 中，(1i)22iM.故选 BC15已知1232i(i 为虚数单位)，求：(1)(22)2(22)2；(2)212；(3)类比 i(i21)，探讨(31，为虚数)的性质，求n(nR)的值解：(1)因为1232i，所以21232i，31，210，1，所以(22)2(22)2243444243452583.(2)21241212221.(3)由(1)可知21232i，31，所以n1，n3k，n3k2，kZ.，n3k1，