微分方程的应用幻灯片.ppt

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1、微分方程的应用第1页，共38页，编辑于2022年，星期六2006ICM 题题 目：目：如何在抵抗艾滋病的过程如何在抵抗艾滋病的过程中均衡利用资源。中均衡利用资源。总任务：总任务：为艾滋病的几种重要情况建立模为艾滋病的几种重要情况建立模型，并根据你的模型给出财政资型，并根据你的模型给出财政资源的分配方案。源的分配方案。第2页，共38页，编辑于2022年，星期六任务描述任务描述任务任务1 1：在每个大洲中选取一个艾滋病病情严重的在每个大洲中选取一个艾滋病病情严重的国家，建立模型，未来国家，建立模型，未来5050年中，预测在没有任何年中，预测在没有任何干预措施的情况下你所选定的国家中艾滋病感染干预措

2、施的情况下你所选定的国家中艾滋病感染者的数量的变化率。并对模型及模型假设作详细者的数量的变化率。并对模型及模型假设作详细的解释。的解释。第3页，共38页，编辑于2022年，星期六任务描述任务描述任务任务2 2：估计所选定国家中，从估计所选定国家中，从20062006年到年到20502050年年每年对抗艾滋病所需的国际支援的水平，利用每年对抗艾滋病所需的国际支援的水平，利用这些财政资源和任务这些财政资源和任务1 1中建立的模型来预测在所中建立的模型来预测在所选定的国家中，从选定的国家中，从20062006年到年到20502050年，在下面三种年，在下面三种情况下艾滋病感染者数量的变化率。情况下艾

3、滋病感染者数量的变化率。（1 1）实施抗逆转录酶）实施抗逆转录酶(ARV)(ARV)药物治疗药物治疗（2 2）注射抗艾滋病毒疫苗）注射抗艾滋病毒疫苗（3 3）实施抗逆转录酶药物治疗和注射疫苗）实施抗逆转录酶药物治疗和注射疫苗第4页，共38页，编辑于2022年，星期六任务描述任务描述任务任务3 3：重新阐述任务重新阐述任务2 2中建立的中建立的3 3个模型，把抗个模型，把抗药性的产生考虑在内。药性的产生考虑在内。任务任务4 4：写一份白皮书给联合国，在以下三个方写一份白皮书给联合国，在以下三个方 面提出建议面提出建议（1 1）在实施抗逆转录酶药物治疗和注射抗艾滋病）在实施抗逆转录酶药物治疗和注射

4、抗艾滋病 毒疫苗两种方案之间如何合理分配已有资源；毒疫苗两种方案之间如何合理分配已有资源；（2 2）跟其他国际事务相比较，抵抗艾滋病应该有）跟其他国际事务相比较，抵抗艾滋病应该有 怎样的优先级别；怎样的优先级别；（3 3）如何协调为抵抗艾滋病的国际捐助。）如何协调为抵抗艾滋病的国际捐助。第5页，共38页，编辑于2022年，星期六答案简介答案简介 通过对给定的资料和收集到的资料的分析，以下通过对给定的资料和收集到的资料的分析，以下国家被选出来作为分析对象：国家被选出来作为分析对象：Zambia、the U.S.、Spain、Australia、Thailand、Brazil。其中对美国和赞比亚做

5、了详细的分析。其中对美国和赞比亚做了详细的分析。第6页，共38页，编辑于2022年，星期六重点讲述重点讲述 建立模型，未来建立模型，未来5050年中，预测在没有任何年中，预测在没有任何干预措施的情况下美国艾滋病感染者的数量变化。干预措施的情况下美国艾滋病感染者的数量变化。并对模型及模型假设作详细的解释。并对模型及模型假设作详细的解释。第7页，共38页，编辑于2022年，星期六问题分析问题分析预测在数学上的几类方法：预测在数学上的几类方法：第一类：第一类：分形、灰度、马尔科夫、时间序列分形、灰度、马尔科夫、时间序列，适用，适用 于短期预测，对历史数据量的要求比较大。于短期预测，对历史数据量的要求

6、比较大。第二类：根据已有大量数据用第二类：根据已有大量数据用toolbox工具箱工具箱画图画图 通过对数据的图像走势分析进行预测，适通过对数据的图像走势分析进行预测，适 用于长期预测，对历史数据量的要求比较用于长期预测，对历史数据量的要求比较 大。大。第三类：第三类：微分方程法微分方程法适用于短期预测和长期预测，适用于短期预测和长期预测，且对历史数据量要求不高，既可定性又且对历史数据量要求不高，既可定性又 可定量分析问题，但是对模型准确度要可定量分析问题，但是对模型准确度要 求高，稍有误差将导致预测结果不准确。求高，稍有误差将导致预测结果不准确。第8页，共38页，编辑于2022年，星期六模型假

7、设模型假设(I)模型假设的基本要求：模型假设的基本要求：要求一：要求一：恰如其分恰如其分（不能与常识公理现有成熟理论（不能与常识公理现有成熟理论 相违背）；相违背）；要求二：要要求二：要自圆其说自圆其说（每个模型都有不足与缺点（每个模型都有不足与缺点 需要大胆假设且要在合理假设下严密论证需要大胆假设且要在合理假设下严密论证 自己结论使自己结论合理化）；自己结论使自己结论合理化）；要求三：假设要要求三：假设要明确明确，切不可模棱两可让评委有歧义。，切不可模棱两可让评委有歧义。第9页，共38页，编辑于2022年，星期六模型假设模型假设(II)本题的模型假设本题的模型假设：1、艾滋病人不可能被治愈；

8、、艾滋病人不可能被治愈；2、忽略艾滋病的具体分类；、忽略艾滋病的具体分类；3、艾滋病人丧失大部分常人所具有的能力，如：性能力，、艾滋病人丧失大部分常人所具有的能力，如：性能力，所以我们假设他们不能传播艾滋病；所以我们假设他们不能传播艾滋病；4、只考虑三种传播艾滋病的方式：性交传播，毒品注射、只考虑三种传播艾滋病的方式：性交传播，毒品注射 传播，母婴传播。忽略其他传播方式；传播，母婴传播。忽略其他传播方式；第10页，共38页，编辑于2022年，星期六模型假设模型假设(III)5、我们不考虑吸毒者戒毒的情况，以简化艾滋病传播过、我们不考虑吸毒者戒毒的情况，以简化艾滋病传播过 程的复杂度；程的复杂度

9、；7、不考虑该国的迁入和迁出人口，因为这些人口相对于、不考虑该国的迁入和迁出人口，因为这些人口相对于 国家的总人口是很小的，以便简化模型。国家的总人口是很小的，以便简化模型。6、吸毒传播的渠道只能是从有吸毒习惯的易感人群中直、吸毒传播的渠道只能是从有吸毒习惯的易感人群中直 接转变到有吸毒习惯的接转变到有吸毒习惯的hiv携带者；携带者；第11页，共38页，编辑于2022年，星期六符号说明符号说明(I)符号说明的基本要求：符号说明的基本要求：写作者可参考往年写作者可参考往年outstandingoutstanding文章中符号说明部分的格文章中符号说明部分的格式。式。确保符号完整无遗漏；确保符号完

10、整无遗漏；定义准确无误；定义准确无误；格式优美。格式优美。第12页，共38页，编辑于2022年，星期六符号说明符号说明(II)符号符号 定义定义S 艾滋病易感人群的数量；艾滋病易感人群的数量；S1 艾滋病易感且不吸毒人群的数量；艾滋病易感且不吸毒人群的数量；S2 艾滋病易感且吸毒人群的数量；艾滋病易感且吸毒人群的数量；H 艾滋病携带者数量艾滋病携带者数量;H1 携带艾滋病且不吸毒人群的数量；携带艾滋病且不吸毒人群的数量；H2 携带艾滋病且吸毒人群的数量；携带艾滋病且吸毒人群的数量；N 该国人口数量；该国人口数量；A 艾滋病患者的数量；艾滋病患者的数量；该国人口的出生率；该国人口的出生率；Pin

11、fection 艾滋病携带者占总人口的比例；艾滋病携带者占总人口的比例；每人每次性交感染艾滋病的概率；每人每次性交感染艾滋病的概率；从从S1到到S2通过毒品注射的转化率；通过毒品注射的转化率；第13页，共38页，编辑于2022年，星期六符号说明符号说明(III)符号符号 定义定义dS S中的人口的死亡率；中的人口的死亡率；dH H中的人口的死亡率；中的人口的死亡率；dA A中人口的自然死亡率；中人口的自然死亡率；C(N)一名艾滋病携带者在单位时间内与一名艾滋病携带者在单位时间内与S人群中的人群中的 人发生性交的次数，一般与总人口人发生性交的次数，一般与总人口N有关。有关。S中人口占总人的比例；

12、中人口占总人的比例；H到到A的转化率；的转化率；该国家单位时间内的人口增量；该国家单位时间内的人口增量；单位时间内一个人通过吸毒感染艾滋病的概率；单位时间内一个人通过吸毒感染艾滋病的概率；A中艾滋病造成的死亡率；中艾滋病造成的死亡率；H中人口占总人的比例；中人口占总人的比例；第14页，共38页，编辑于2022年，星期六模型分析模型分析(I)第15页，共38页，编辑于2022年，星期六模型分析模型分析(II)对于上图中各种传播方式的定量分析：对于上图中各种传播方式的定量分析：1、艾滋病通过性交的传播：、艾滋病通过性交的传播：假设每次性接触传染的概率为假设每次性接触传染的概率为 ，我们把赋有传染概

13、率，我们把赋有传染概率的接触率称为有效接触率，的接触率称为有效接触率，即：即：。它表示一个它表示一个hiv病毒携带者传染他人病毒携带者传染他人hiv病毒的能力，反映了病毒的能力，反映了hiv病毒携带者的活动能力、环境条件以及病毒携带者的活动能力、环境条件以及hiv病毒的毒力等病毒的毒力等因素。因素。假设单位时间内一个假设单位时间内一个hiv携带者与其他成员的性接触次数称携带者与其他成员的性接触次数称之为性接触率，它通常依赖于环境中总成员数之为性接触率，它通常依赖于环境中总成员数N，记作记作 。如果被接触者为易感者，就有可能被传染。如果被接触者为易感者，就有可能被传染。第16页，共38页，编辑于

14、2022年，星期六模型分析模型分析(III)但是，只有当但是，只有当hiv携带者与总成员中的易感者发生性接触时携带者与总成员中的易感者发生性接触时才会使病毒发生传染，与总成员中的其他成员接触并不会发生才会使病毒发生传染，与总成员中的其他成员接触并不会发生病毒的传染（比如其他的病毒的传染（比如其他的hiv携带者），易感者在总成员中所携带者），易感者在总成员中所占的比例为占的比例为 S/N。因此，每一个患者对易感者的平均有效接触率应为，因此，每一个患者对易感者的平均有效接触率应为，它就是每一个它就是每一个hiv携带者平均对易感者的传播率，简称为传染率。携带者平均对易感者的传播率，简称为传染率。假设

15、假设hiv携带者的总数量为，从而在单位时间内被所有患者传染携带者的总数量为，从而在单位时间内被所有患者传染的新成员数为：的新成员数为：第17页，共38页，编辑于2022年，星期六模型分析模型分析(IV)2、艾滋病通过毒品注射的传播：、艾滋病通过毒品注射的传播：用用 表示在单位时间内表示在单位时间内S2类成员与类成员与H2 类成员之间的转类成员之间的转化率，则单位时间内从化率，则单位时间内从S2类转化到类转化到H2类的总数为：类的总数为：无吸毒无吸毒习惯习惯的易感人群可以的易感人群可以间间接向有吸毒接向有吸毒习惯习惯的的hiv携携带带者者转转化，因化，因为为无吸毒无吸毒习惯习惯的易感人群可以先的

16、易感人群可以先变为变为有吸毒有吸毒习惯习惯易感人群再易感人群再变为变为有吸毒有吸毒习惯习惯的的hiv携携带带者，者，用用 表示从表示从S1类转类转变到变到S2类的转化率则单位时间内从类的转化率则单位时间内从S1类转变到类转变到S2类的总数为类的总数为:第18页，共38页，编辑于2022年，星期六模型分析模型分析(V)3、艾滋病通过母婴的传播：、艾滋病通过母婴的传播：我们知道如果一位母亲是我们知道如果一位母亲是hiv携带者那么她的孩子将有携带者那么她的孩子将有百分之百分之30的概率在出生时已经成为的概率在出生时已经成为hiv携带者携带者China HIV/AIDS information net

17、work 2006，用，用Pinfection表示艾滋病携带者占表示艾滋病携带者占总人口的比例，则每年总人口的比例，则每年hiv携带者自己繁殖出的携带者数量为：携带者自己繁殖出的携带者数量为：第19页，共38页，编辑于2022年，星期六模型建立模型建立 第20页，共38页，编辑于2022年，星期六模型求解模型求解(I)模型结果大多用图来描述，一幅好图胜过千言万语。模型结果大多用图来描述，一幅好图胜过千言万语。图的要求：自明。图的要求：自明。举例举例1：fig*Proportions of population of each age group of elephants.第21页，共38页，编

18、辑于2022年，星期六模型求解模型求解(II)举例举例2：Figure*.A exponential fit of the elephant population of each age set.第22页，共38页，编辑于2022年，星期六模型求解模型求解(III)求解微分方程通常的方法：求解微分方程通常的方法：对于相对简单的方程，我们通常使用解析法；对于相对简单的方程，我们通常使用解析法；对于相对复杂的方程，通常使用数值法。对于相对复杂的方程，通常使用数值法。第23页，共38页，编辑于2022年，星期六模型求解模型求解(IV)本题的方程组比较复杂，我们使用数值法求解。本题的方程组比较复杂，我

19、们使用数值法求解。求解结果如下：求解结果如下：Figure 5 Population trends in each group vs time in U.S.第24页，共38页，编辑于2022年，星期六合理性分析合理性分析(I)对自己的结果自圆其说重中之重！对自己的结果自圆其说重中之重！技巧：用已有的比较成熟的结论来佐证自己的结论。技巧：用已有的比较成熟的结论来佐证自己的结论。本问题的合理性分析如下：本问题的合理性分析如下：第25页，共38页，编辑于2022年，星期六合理性分析合理性分析(II)在传染病生物学中，人们关心的已感人群和易感人群的变化，在传染病生物学中，人们关心的已感人群和易感人群

20、的变化，在艾滋病传染模型中，我们关心的是在艾滋病传染模型中，我们关心的是HIV易感人群和易感人群和HIV携带者数携带者数量的变化趋势。量的变化趋势。通过研究我们发现，通过研究我们发现，HIV携带者占总人口的比例随着时间携带者占总人口的比例随着时间的变化最后趋于稳定，如下图：的变化最后趋于稳定，如下图：Figure 9 The proportion of HIV carriers to the total population of the U.S.第26页，共38页，编辑于2022年，星期六合理性分析合理性分析(III)对于对于HIV携带者来说，自然环境对它的承载能力由很多因素携带者来说，自然

21、环境对它的承载能力由很多因素决定，比如：易感人群的数量，总人口的数量，出生率，死亡率决定，比如：易感人群的数量，总人口的数量，出生率，死亡率等，其中易感人群的数量是主要的决定因素由于等，其中易感人群的数量是主要的决定因素由于HIV携带者是携带者是由易感者转化来的，所以由易感者转化来的，所以HIV携带者数量的增长会抑制易感人群携带者数量的增长会抑制易感人群的增长。的增长。从图从图9可以看出，美国可以看出，美国hiv携带者的数量占人群总数的比例携带者的数量占人群总数的比例随时间的变化分为两个阶段：增长期和稳定期在增长期中，随时间的变化分为两个阶段：增长期和稳定期在增长期中，该比例随时间以罗杰斯迪曲

22、线的形式增加，最后达到一个峰值该比例随时间以罗杰斯迪曲线的形式增加，最后达到一个峰值这是因为在增长期的前段，环境承受能力大于这是因为在增长期的前段，环境承受能力大于HIV携带者的数量，携带者的数量，所以携带者数量以指数增长，而在增长其后段所以携带者数量以指数增长，而在增长其后段HIV携带者携带者的数量越来越接近环境的承载能力，所以其增长速率减慢，的数量越来越接近环境的承载能力，所以其增长速率减慢，以至为在稳定期，该比例随时间以罗杰斯迪曲线的形式减少，以至为在稳定期，该比例随时间以罗杰斯迪曲线的形式减少，最后趋近一个稳定值最后趋近一个稳定值第27页，共38页，编辑于2022年，星期六合理性分析合

23、理性分析(IV)这是因为种群数量超过了环境的承载能力但是为什么当种群这是因为种群数量超过了环境的承载能力但是为什么当种群数量达到环境承载能力时，它不立即停止增长以至于超过了环数量达到环境承载能力时，它不立即停止增长以至于超过了环境的承载能力呢？为了对这个问题作出解释，我们引入人口惯境的承载能力呢？为了对这个问题作出解释，我们引入人口惯性的概念所谓人口惯性就是人口抵抗自身变化的趋势。正是性的概念所谓人口惯性就是人口抵抗自身变化的趋势。正是由于人口惯性的存在，当群数量达到环境承载能力时，种群数由于人口惯性的存在，当群数量达到环境承载能力时，种群数量增长不会立即停止，而是在一个稳定值周围以罗杰斯迪曲

24、线量增长不会立即停止，而是在一个稳定值周围以罗杰斯迪曲线的速率来回摆动，正如物理学中波的传播的速率来回摆动，正如物理学中波的传播 图示如下：图示如下：第28页，共38页，编辑于2022年，星期六合理性分析合理性分析(V)Figure 10 The curves of oscillating convergence in the stable phas。第29页，共38页，编辑于2022年，星期六合理性分析合理性分析(VI)由于这种摆动的幅度越来越小，所以在稳定期的后期，由于这种摆动的幅度越来越小，所以在稳定期的后期，它可以被忽略这也就是稳定期存在的原因它可以被忽略这也就是稳定期存在的原因 在自

25、然界中实事也确实如此，就以罗杰斯地曲线为例当种在自然界中实事也确实如此，就以罗杰斯地曲线为例当种群数量一开始无论是增长还是减少的变化率在一开始时却都是群数量一开始无论是增长还是减少的变化率在一开始时却都是很慢的，随后才慢慢增大的，这就好比用一个外力在拉一个静很慢的，随后才慢慢增大的，这就好比用一个外力在拉一个静止的物体，物体的速度也是由慢到快增长的，并且物体的运动止的物体，物体的速度也是由慢到快增长的，并且物体的运动方向是与外力同方向的。那么在种群变化中是谁扮演了外力的方向是与外力同方向的。那么在种群变化中是谁扮演了外力的角色，我们队伍经过讨论认为应当是环境能够承载此物种数量角色，我们队伍经过

26、讨论认为应当是环境能够承载此物种数量的上限扮演了这种外力，当环境能够承载此物种数量的上限大的上限扮演了这种外力，当环境能够承载此物种数量的上限大于物种现有的数量时物种的数量会增大，环境能够承载此物种于物种现有的数量时物种的数量会增大，环境能够承载此物种数量的上限小于物种现有的数量时物种的数量会减小。但是按数量的上限小于物种现有的数量时物种的数量会减小。但是按照达尔文的进化理论物种应当都是希望能够壮大自己的数量好照达尔文的进化理论物种应当都是希望能够壮大自己的数量好保存自己在自然界中竞争的实力，保存自己在自然界中竞争的实力，第30页，共38页，编辑于2022年，星期六合理性分析合理性分析(VII

27、)那么为什么物种在有机会增大其数量的时候却不愿意是自身的那么为什么物种在有机会增大其数量的时候却不愿意是自身的数量增大呢？这一点似乎与物种数量具有人口惯性使矛盾的，数量增大呢？这一点似乎与物种数量具有人口惯性使矛盾的，由于时间有限在加上这方面相关的解释也难以查到，所以很由于时间有限在加上这方面相关的解释也难以查到，所以很遗憾论文中不能给出对于上述问题的回答。遗憾论文中不能给出对于上述问题的回答。第31页，共38页，编辑于2022年，星期六任务任务2的模型图示的模型图示新增免疫人群新增免疫人群第32页，共38页，编辑于2022年，星期六任务任务2的结果的结果(I)对赞比亚只实施抗逆转录酶药物治疗

28、的情况下：对赞比亚只实施抗逆转录酶药物治疗的情况下：第33页，共38页，编辑于2022年，星期六任务任务2的结果的结果(II)对赞比亚只实施抗病毒疫苗注射的情况下：对赞比亚只实施抗病毒疫苗注射的情况下：第34页，共38页，编辑于2022年，星期六任务任务2的结果的结果(III)对赞比亚既实施药物治疗又实施疫苗注射的情况下：对赞比亚既实施药物治疗又实施疫苗注射的情况下：第35页，共38页，编辑于2022年，星期六任务任务2的结论的结论 如果只使用如果只使用ARV药物治疗方案，将加速艾滋病药物治疗方案，将加速艾滋病携带者数量的增长，并使其最终稳定在一个相当高携带者数量的增长，并使其最终稳定在一个相当高的水平上。的水平上。如果只注射疫苗，艾滋病携带者数量的增长速如果只注射疫苗，艾滋病携带者数量的增长速率将减慢，且最终的稳定值比较低。率将减慢，且最终的稳定值比较低。第36页，共38页，编辑于2022年，星期六建模心得建模心得 有思想，多借鉴，多吸收，要搏晓古今贯通有思想，多借鉴，多吸收，要搏晓古今贯通中西，至少需要熟练掌握的数学基础知识包括中西，至少需要熟练掌握的数学基础知识包括微分方程、概率论、图论、优化理论微分方程、概率论、图论、优化理论。第37页，共38页，编辑于2022年，星期六The end第38页，共38页，编辑于2022年，星期六