高斯求和——小升初衔接讲义.doc

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1、1高斯求和高斯求和【知识梳理知识梳理】若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第 n 项=首项+（项数1）公差项数公式：项数=（末项首项）公差1求和公式：总和=（首项+末项）项数2【精讲精练精讲精练】【例题 1】有一个数列：4，10，16，22.，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为 6，首项是 4，末项是 52.要求项数，可直接带

2、入项数公式进行计算。项数=（524）61=9，即这个数列共有 9 项。练习 1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列 11.16，21.26，1001.这个等差数列共有多少项？【例题 2】有一等差数列：3.7，11.15，这个等差数列的第 100 项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是 3.公差是 4，项数是 100。要求第 100 项，可根据“末项=首项+公差（项数1）”进行计算。第 100 项=3+4（1001）=399.练习 2：1.一等差数列，首项=3.公差=

3、2.项数=10，它的末项是多少？22.求 1.4，7，10这个等差数列的第 30 项。3.求等差数列 2.6，10，14的第 100 项。【例题 3】有这样一个数列：1、2、3、4、99、100。请求出这个数列所有项的和。【思路导航】如果我们把 1、2、3、4、，99、100 与列 100、99、3、2、1 相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是 101.一共有 100 个101 相加，所得的和就是所求数列的和的 2 倍，再除以 2.就是所求数列的和。1+2+3+99+100=（1+100）1002=5050上面的

4、数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）项数2这个公式也叫做等差数列求和公式。练习 3：计算下面各题。（1）1+2+3+49+50（2）6+7+8+74+75（3）100+99+98+61+60（3）2+6+10+14+18+22（4）5+10+15+20+195+200（5）9+18+27+36+261+270【例题 5】计算（2+4+6+100）（1+3+5+99）【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把 1 100 这 100 个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有 50 个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到 50 个差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）=（21）+（43）+（65）+（10099）=1+1+1+1=503练习 5：用简便方法计算下面各题。（1）（2001+1999+1997+1995）（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+2000）（1+3+5+1999）（3）（1+3+5+1999）（2+4+6+1998）（4）（100+102+104+200）（1+5+9+13+97）