第2部分 专题1 第1讲　三角函数的图象与性质学案（Word版含解析）.doc

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1、1/142/14三角函数的图象与性质考点 1三角函数的值域、最值1(2021全国卷乙)函数 f(x)sinx3cosx3的最小正周期和最大值分别是()A3和 2B3和 2C6和 2D6和 23/14C 因 为 函 数f(x)sinx3 cosx3222sinx322cosx32sinx3cos4cosx3sin4 2sinx34，所以函数 f(x)的最小正周期 T2136，最大值为 2.故选 C2(2019全国卷)函数 f(x)sin2x32 3cos x 的最小值为_4f(x)sin2x32 3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令 tcos x，则 t1,1，f(

2、t)2t23t1.又函数 f(t)图象的对称轴 t341,1，且开口向下，当 t1 时，f(x)有最小值4.3(2020北京高考)若函数 f(x)sin(x)cos x 的最大值为 2，则常数的一个取值为_.2(答案不唯一，只要符合22k，kZ 即可)法一：由 f(x)sin(x)cos xsin xcos cos xsin cos xcos sin x(1sin)cos x cos21sin 2sin(x)其中 tan 1sin cos.sin(x)1，cos21sin 2 22sin 2 时，f(x)的最大值为 2，2sin 2，sin 1，22k，kZ，的一个取值可为2.4/14法二：f

3、(x)sin(x)cos x 的最大值为 2，又 sin(x)1，cos x1，则 sin(x)cos x1 时，f(x)取得最大值 2.由诱导公式，得22k，kZ.的一个取值可为2.命题规律：高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，常以选择题、填空题的形式考查，分值 5 分，难度中等通性通法：三角函数值域(最值)的 3 种求法(1)直接法：利用 sin x，cos x 的有界性求解(2)单调性法：化为 yAsin(x)B 的形式，采用整体思想，求出x的范围，根据 ysin x 的单调性求出函数的值域(最值)(3)换元法：对于 yasin2xbsin xc 和 ya(sin xcos x)b

4、sin xcos xc型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题1与恒等变换交汇当函数 y 3sin xcos x(0 x2)取得最大值时，x_.23y 3sin xcos x232sin x12cos x2sinx6.0 x2，6x6116.当 x62，即 x23时，函数取得最大值2求参数的范围已知函数 f(x)sinx4(0)在12，3 上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是_34，3函数 f(x)sinx4(0)在12，3 上有最大值，但没有最小值，所以1242343234，3.5/143知识交汇求最值已知函数 f(x)2cos xsin 2x，则 f(x)的最大值为_3 3

5、2f(x)2sin x2cos 2x24sin2x2sin x2(2sin x1)(sin x1)，由 f(x)0 得 sin x12或 sin x1.当1sin x12时，f(x)0，当12sin x1 时，f(x)0.当 sin x12时，f(x)取得极大值此时 cos x32或 cos x32.经验证可知，当 cos x32时，f(x)有最大值，又 f(x)2cos x(sin x1)，f(x)max232112 3 32.考点 2三角函数的图象与解析式1(2021全国卷乙)把函数 yf(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数

6、ysinx4 的图象，则 f(x)()Asinx2712Bsinx212Csin2x712Dsin2x12B依题意，将 ysinx4 的图象向左平移3个单位长度，再将所得曲线上 所 有 点 的 横 坐 标 扩 大 到 原 来 的 2 倍，得 到 f(x)的 图 象，所 以 y 6/14sinx4 将其图象向左平移3个单位长度y sinx12 的 图 象所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍f(x)sinx212 的图象2(2020新高考卷改编)如图是函数 ysin(x)的部分图象，则 sin(x)()Asinx3Bsin2x3Ccos2x6Dcos562xC由图象知T22362，得 T，所以2T2

7、.又图象过点6，0，由“五点法”，结合图象可得3，即23，所以 sin(x)sin2x23，故A错误；由sin2x23 sin 32xsin32xsin2x3 知B错误；由sin2x23 sin2x26 cos2x6 知C正确；由sin2x23 cos2x6cos 2x56cos562x知 D 错误综上可知，正确的选项为 C3(2021全国卷甲)已知函数 f(x)2cos(x)的部分图象如图所示，则满足条件 fxf74fxf430 的最小正整数 x 为_7/142由题图可知，34T1312334(T 为 f(x)的最小正周期)，得 T，所以2，所以 f(x)2cos(2x)点3，0可看作“五点

8、作图法”中的第二个点，则23 2，得 6，所 以 f(x)2cos2x6，所 以 f742cos274 6 2cos1132cos31，f43 2cos2436 2cos520，所以 fxf74fxf430，即(f(x)1)f(x)0，可得 f(x)1 或 f(x)0，所以 cos2x6 12或 cos2x6 0.当 x1 时，2x6263，2，cos2x6 0，12，不符合题意；当 x2 时，2x646，76，cos2x60，符合题意所以满足题意的最小正整数 x 为 2.命题规律：高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑

9、推理能力常以选择题、填空题的形式考查，分值 5 分，难度中等通性通法：求函数 yAsin(x)(0，0)解析式的方法字母确定途径说明A、B由最值确定Aymaxymin2，Bymaxymin2由函数的周期确定利用图象中最高点、最低点与 x 轴交点的横坐标确定周期由图象上的特殊点确定代入图象上某一个已知点的坐标，表示出后，利用已知范围求提醒：三角函数图象的平移问题8/14(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一(2)将 ysin x(0)的图象变换成 ysin(x)的图象时，应把x变换成x，根据|确定平移量的大小，根据的符号确定平移的方向1图象变换下列选项中，函数

10、f(x)2sinx6 的图象可以由函数 g(x)3sin 2xcos 2x 的图象变化得到的是()A先将 g(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移6个单位长度B先将 g(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移3个单位长度C先将 g(x)的图象上所有点向左平移3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D 先将 g(x)的图象上所有点向左平移6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变D把函数 g(x)3sin 2xcos 2x2sin2x6 的图象上所有点向左平移6个单位长

11、度，可得 y2sin2x6 的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，可得函数 f(x)2sinx6 的图象或者先将 g(x)2sin2x6 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，可得 y2sinx6 的图象，再向左平移3个单位长度，可得函数 f(x)2sinx6 的图象故选 D9/142图象平移的应用若将函数 ytanx4(0)的图象向右平移6个单位长度后，与函数 ytanx6 的图象重合，则的最小正值为()A16B14C13D12D 将 y tanx4 的 图 象 向 右 平 移6个 单 位 长 度，得 到 y tanx46 的图象，由平移后的

12、图象与 ytanx6 的图象重合，得46k6，kZ，故6k12，kZ，所以的最小正值为12.3知图求值函数 f(x)Asin(x)(A0，0)的图象如图所示，则 f(x)_，f(1)f(2)f(3)f(2 022)_.2sin4x2由题图知 A2，T2624，T8，则284.y2sin4x.又函数图象过点(2,2)，2sin422，222k(kZ)，则2k(kZ)，f(x)2sin4x.f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(8)0，f(1)f(2)f(3)f(2 022)10/14f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)2.考点 3三角函数的性质及应用1(2021

13、新高考卷)下列区间中，函数 f(x)7sinx6 单调递增的区间是()A0，2B2，C，32D32，2A法一：(常规求法)令22kx622k，kZ，得32kx232k，kZ.取 k0，得3x23.因为0，2 3，23，所以区间0，2 是函数 f(x)的单调递增区间故选 A法二：(判断单调性法)当 0 x2时，6x63，所以 f(x)在0，2 上单调递增，故 A 正确；当2x时，3x656，所以 f(x)在2，上不单调，故 B 不正确；当x32时，56x643，所以 f(x)在，32 上单调递减，故C 不正确；当32x2时，43x6116，所以 f(x)在32，2上不单调，故 D不正确故选 A法

14、三：(特殊值法)因为22356，但 f23 7sin27，f56 7sin237，所以区间2，不是函数 f(x)的单调递增区间，排除 B；因为764332，但 f76 7sin 0，f43 7sin76720，所以区间，32 不是函数 f(x)的11/14单调递增区间，排除 C；因为321912532，但 f1912 7sin17127sin5127，f53 7sin327，所以区间32，2不是函数 f(x)的单调递增区间，排除 D故选 A2(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则 a 的最大值是()A4B2C34DA法一：(直接法)f(x)cos xsin x

15、 2cosx4，且函数 ycos x 在区间0，上单调递减，则由 0 x4，得4x34.因为 f(x)在a，a上是减函数，所以a4，a34，解得 a4，所以 0a4，所以 a 的最大值是4，故选 A法二：(单调性法)因为 f(x)cos xsin x，所以 f(x)sin xcos x，则由题意，知 f(x)sin xcos x0 在a，a上恒成立，即 sin xcos x0，即2sinx4 0 在a，a上恒成立，结合函数 y 2sinx4 的图象可知有a40，a4，解得 a4，所以 0a4，所以 a 的最大值是4，故选 A3(2019全国卷)关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四

16、个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间2，单调递增；f(x)在，有 4 个零点；f(x)的最大值为 2.其中所有正确结论的编号是()12/14ABCDC法一：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当2x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在2，单调递减，故不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数 f(x)在，只有 3个零点，故不正确；ysin|x|与 y|sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到，f(x)可以取到最大值 2，故正确综上，正确结论的序号是.故选 C法二：f(x)sin|x|sin(x)|sin

17、|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确，排除 B；当2x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在2，单调递减，故不正确，排除 A；ysin|x|与 y|sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到，f(x)的最大值为 2，故正确故选 C法三：画出函数 f(x)sin|x|sin x|的图象，由图象可得正确，故选 C命题规律：高考对该点的考查主要立足两点，一是函数性质的判断(或求解)，二是利用性质求参数的范围(值)，常以选择题、填空题的形式考查，分值 5 分，难度中等准确理解 ysin x(ycos x)的有关性质是求解此类问题的关键.通性通法：函数 yAsin(x

18、)(A0，0)的性质(1)奇偶性：k(kZ)时，函数 yAsin(x)为奇函数；k2(kZ)时，函数 yAsin(x)为偶函数(2)三角函数的周期性：f(x)Asin(x)和 f(x)Acos(x)的最小正周期为2；yAtan(x)的最小正周期为.(3)根据 ysin t 的性质研究 yAsin(x)(A0，0)的性质：由22kx22k(kZ)可得增区间，由22kx3213/142k(kZ)可得减区间；由xk(kZ)可得对称中心；由xk2(kZ)可得对称轴1直接考查性质下列函数中，以2为周期且在区间4，2 单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x

19、|Df(x)sin|x|A易知 A，B 项中函数的最小正周期为2；C 中 f(x)cos|x|cos x 的周期为 2，D 中 f(x)sin|x|sin x，x0sin x，x0，由正弦函数图象知，在 x0 和 x0时，f(x)均以 2为周期，但在整个定义域上 f(x)不是周期函数，排除 C，D又当 x4，2 时，2x2，则 y|cos 2x|cos 2x 在4，2 上是增函数，y|sin 2x|sin 2x 在4，2 是减函数，因此 A 项正确，B 项错误2求参数的值或范围已知函数 f(x)cos2x3，x0，2，若方程 f(x)m 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是()A12

20、，12B12，1C12，1D12，1B因为 x0，2，所以设 t2x3，则 t3，23，方程 f(x)m 有两个不相等的实数根等价于函数yf(t)的图象与直线ym有两个交点，函数yf(t)的图象与直线 ym 的位置如图所示，由图可得实数 m 的取值范围是12m1，故选 B14/143图象性质综合问题已知函数 f(x)|sin x|，sin xcos x，|cos x|，sin xcos x，则下列说法不正确的是()Af(x)的值域是0,1Bf(x)是以为最小正周期的周期函数Cf(x)在区间，54 上单调递增Df(x)在0,2上有 2 个零点Bf(x)|sin x|，42kx542kkZ，|cos x|，342kx42kkZ，作出函数 f(x)的大致图象如图所示由图可知 f(x)的值域是0,1，故 A 正确；因为 f()|sin|0，f(2)|cos 2|1，所以 f(2)f()，所以不是 f(x)的最小正周期，故 B 不正确；由图知 f(x)在区间，54 上单调递增，在54，32 上单调递减，故 C 正确；由图知，在0,2上，f()f32 0，所以 f(x)在0,2上有 2 个零点，故 D正确故选 B