数学人教A版（2019）必修第一册2.2 基本不等式 同步练习（Word版含部分解析）.docx

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1、第二节第二节基本不等式同步练习基本不等式同步练习一、基础巩固一、基础巩固知识点知识点 1对基本不等式的理解对基本不等式的理解1.已知 a0,用基本不等式求 9a+1?的最小值时,有 9a+1?2 9?1?,则取得最小值时 a 的值为()A.19B.16C.13D.32.给出条件ab0,ab0,b0,a0,b3,所以4?+a24?=4C.因为 a0,所以4?+a24?=4D.因为 x,yR,xy2),q=-b2-2b+3(bR),则 p,q 的大小关系为()A.pqB.pqC.pqD.pq5.(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为 a 和 b(ab),其全程的平均速度为 v,则()A.av?B

2、.v=?C.?vbc,则(?)(?)与?2的大小关系是.知识点知识点 3利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值7.若 x0,y0,则 2x+y+1?+12?的最小值是()A.3 2B.4 2C.4D.28.已知正数 a,b 满足 a+b=1,则1?+9?的最小值为()A.6B.8C.16D.209.若 x2,则 y=?2?2?+4?2有()A.最大值 6B.最大值 8C.最小值 6D.最小值 810.已知正数 x,y 满足 x+?3=6,则 xy 的最大值为()A.6B.2 6C.3 3D.2711.(多选)下列结论中正确的是()A.当 x0 时,?+1?2B.当 x3 时,x+1?的最小值

3、是 2C.当 x0,y0,且 2x+y=1,则2?+1?的最小值是 912.已知 x0,y0,且 2x+8y-xy=0.求:(1)xy 的最小值;(2)x+y 的最小值.13.(1)设 0 x0,b0,若 a+b=2,求11+?+41+?的最小值.知识点知识点 4利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式14.(1)若 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)4abcd;(2)已知 x0,y0,求证:x2+y2+2?4;(3)已知 a,b,c0,且 a+b+c=1,求证:1?+1?+1?9.知识点知识点 5基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用15.某电商自营店,其

4、主打商品每年需要 6 000 件,每年进 n 次货,每次购买 x 件,每次购买商品需手续费 300 元,已购进未卖出的商品要付库存费,可认为年平均库存量为?2,每件商品库存费是每年 10 元,则要使总费用(手续费+库存费)最低,则每年进货次数为.16.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理,防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关.已知建造宿舍的费用p(万元)和宿舍到工厂的距离 x(km)的关系式为 p=?4?+5(0 x15).若距离为 10 km,测算宿舍建造费用为 20 万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置修路设备需 1

5、0 万元,路面铺设成本为每千米 4 万元.设 y 为建造宿舍与修路费用之和.(1)求 y 的表达式.(2)宿舍建在离工厂多远处,可使总费用 y 最小?求出最小值.二、能力提升二、能力提升17.设 a0,不等式 x+?6 对 x0 恒成立,则 a 的最小值是()A.1B.4C.9D.1618.中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为 a,b,c,三角形的面积 S 可由公式 S=?(?)(?)(?)求得,其中 p 为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足 a+b=14,c=6,则此三角形面积的最大值为()A.6B.6 10C.12D.12 1019.

6、(多选)已知 x,y 都为正数,且 2x+y=1,则()A.2xy 的最大值为14B.4x2+y2的最小值为12C.x(x+y)的最大值为14D.1?+1?的最小值为 3+2 220.已知正实数 a,b 满足 a+2b=1,则(1+1?)(2+1?)的最小值为.21.一批物资随 17 列火车从 A 市以 v km/h 匀速直达 B 市.已知两地铁路线长 400 km,为了安全,两列火车之间的距离不得小于(?20)2km,那么这批物资全部运到 B 市,最快需要h(不计火车的车身长),此时 v 的值为.22.已知 x,y,z 都是正数.(1)求证:?+?+?0;(2)若?2+?2(m2-2m-2)

7、(1?+1?)恒成立,求实数 m 的取值范围.23.为了加强“疫情防控”建设,某校决定在学校门口借助一侧原有墙体,建造一间墙高为 3m,底面面积为 24 m2,且背面靠墙的长方体形状的校园应急室.此应急室的后背靠墙,无需建造费用.公司甲给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400 元,左、右两面新建墙体的报价为每平方米 300 元,屋顶、地面以及其他报价共计 14 400 元.设屋子的左、右两面墙的长度均为 x m(1x5),公司甲的总报价为 y 元.(1)试求 y 与 x 的关系式.(2)现有公司乙也参与此应急室的建造竞标,其给出的总报价为(520 x+20 000)元,若采用最低

8、价中标规则,则哪家公司能竞标成功?请说明理由.参考答案参考答案一、基础巩固一、基础巩固1.C当且仅当 9a=1?,即 a=13时,等号成立,即取得最小值.2.C由基本不等式可知,要使 ab+1?2 成立,则 ab0,所以 a,b 同号,所以均可以.3.AD4.A因为a2,所以p=a+1?2=(a-2)+1?2+22(?2)1?2+2=4,当且仅当a-2=1?2,即a=3时,等号成立,即 p4.又 q=-b2-2b+3=-(b+1)2+44,所以 pq.5.AD设甲、乙两地之间的距离为 s.因为 ab,所以 v=2?+?=2?+?0,所以 va,所以 av2,所以x-20,所以y=?2?2?+4

9、?2=x-2+4?2+22(?2)4?2+2=6,当且仅当x-2=4?2,即 x=4 时等号成立,故 y=?2?2?+4?2有最小值 6.10.D11.AD12.解：(1)xy=2x+8y2 16?=8?,当且仅当 2x=8y,即 x=16,y=4 时等号成立,所以?8,所以 xy64,所以 xy 的最小值为 64.(2)由 2x+8y=xy,得2?+8?=1,所以x+y=(x+y)(2?+8?)=10+2?+8?10+22?8?=18,当且仅当2?=8?,即x=12,y=6时等号成立,所以 x+y 的最小值为 18.13.解：(1)因为 0 x0,所以 y=?(4?2?)=22 2?(4?2

10、?)222?+4?2?2=2,当且仅当 2x=4-2x,即 x=1 时等号成立.所以 y=?(4?2?)的最大值为 2.(2)因为 a0,b0,所以 a+10,b+10.又 a+b=2,所以 a+1+b+1=4,所以11+?+41+?=14(11+?+41+?)(a+1)+(b+1)=145+?+1?+1+4(?+1)?+1145+2?+1?+14(?+1)?+1=94,当且仅当?+1?+1=4(?+1)?+1,?+?=2,即?=13,?=53时取等号,所以11+?+41+?的最小值为94.14.解：(1)由基本不等式可知,ab+cd2?,当且仅当 ab=cd 时,等号成立;ac+bd2?,当

11、且仅当 ac=bd 时,等号成立,所以(ab+cd)(ac+bd)2?2?=4abcd,即(ab+cd)(ac+bd)4abcd,当且仅当 a=d,b=c 时,等号成立.(2)因为 x0,y0,所以 x2+y2+2?2xy+2?4,当且仅当 x=y,xy=1,即 x=y=1 时取等号,所以 x2+y2+2?4.15.1016.解：(1)由题意可知,20=?410+5,解得 k=900,所以 p=9004?+5(0 x15),所以 y=9004?+5+10+4x(0 x15).(2)因为 y=9004?+5+10+4x=9004?+5+(4x+5)+529004?+5(4?+5)+5=65,当且

12、仅当 4x+5=9004?+5,即 x=254时取等号,所以宿舍建在离工厂254km 处,可使总费用 y 最小,为 65 万元.二、能力提升二、能力提升17.C因为 a0,x0,所以 x+?2?=2?,当且仅当 x=?,即 x=?时取等号,所以 2?6,即a9,所以 a 的最小值是 9.18.B19.ABD20.1821.810022.解：(1)要证?+?+?0,即证 x2-xy+y2-yz+z2-xz0,即证 x2+y2+z2xy+yz+xz.因为 x,y,z 都是正数,所以 x2+y22xy,y2+z22yz,x2+z22xz,当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号均成立,所以 x2+y2

13、+y2+z2+x2+z22xy+2yz+2xz,整理得 x2+y2+z2xy+yz+xz,当且仅当 x=y=z 时,等号成立.所以原不等式得证.(2)因为?2+?2(m2-2m-2)(1?+1?)恒成立,所以 m2-2m-2?3+?3?2?2?+?=?2?+?2?恒成立.又?2?+?2?=?+?-12?-1=1,当且仅当 x=y 时等号成立,所以 m2-2m-21,即 m2-2m-30,解得-1m3,故实数 m 的取值范围为-1m3.23.解：(1)由题意,得 y=3(3002x+40024?)+14 400=1 800(x+16?)+14 400(1x5).即 y 与 x 的关系式为 y=1 800(x+16?)+14 400(1x5).(2)对于公司甲:y1 8002?16?+14 400=28 800,当且仅当 x=16?,即 x=4 时取等号,所以当左、右两面墙的长度均为 4 m 时,公司甲的报价最低,为 28 800 元.对于公司乙:当 1x5 时,20 520520 x+20 00022 600,即公司乙的最高报价为 22 600 元.因为 22 60028 800,所以无论 x 取何值,公司甲的报价都比公司乙高,故公司乙能竞标成功.