知识题3.2解答.doc

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1、,习题3.21.验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解.(1) 解:因 在全平面连续,具有一阶连续偏导数,且,故方程为恰当方程.原方程可变形为,即 ,原方程的通解为:(2) 解:因在的区域上连续,具有一阶连续偏导数,且,故所给方程为恰当方程.原方程可变形为,即,所给方程的通解为:(3) 解:因在全平面连续,具有一阶连续偏导数,且,故所给方程为恰当方程.方程左端的一个原函数为原方程的通解为: (4) 解: 因在全平面连续,具有一阶连续偏导数,且,故所给方程为恰当方程.易知,原方程的通解为:(5) 题目有误,所给方程不是恰当方程.建议删掉，这类题不必要这么多，因第题的求解包含该类题(6) 解:因在

2、不包含的区域上连续,具有一阶连续偏导数,且,故方程为恰当方程.原方程可变形为,即所以原方程的通解为: ,或(7) 解:原方程即:,因在全平面连续,具有一阶连续偏导数,且,故方程为恰当方程.原方程变形为:,即所以方程的通解为: 题目已换(8) 解:因在区域上连续,具有一阶连续偏导数,且故所给方程为恰方程.从而存在使.由知再利用得即有.所以方程左端的一个原函数为通解为题目已换(9) 解:因在区域上连续,具有一阶连续偏导数,且,故方程为恰当方程.又原方程的通解具有形式 2.试求变量分离方程的积分因子.解:用乘方程的两端得,该方程为已分离变量的微分方程,即为恰当方程,故为原方程的积分因子.3.求下列方

3、程的解:题目已换(1) 解: ,所给方程不是恰当方程,但因,故原方程有积分因子.从而方程为恰当方程,易知其通解为(2) 解: 因,故原方程有积分因子.从而方程为恰当方程,其通解为,即题目已换(3) 解: 因,故方程有积分因子.从而为恰当方程,易知其通解为,也是解.或将通解写成(当时, )(4)解:原方程可变形为,即,故原方程的通解为(5) 解:所给方程不是恰当方程,可变形为(有积分因子)故通解为:,或.注意也是原方程的解.注:所给方程可看成是关于与的一阶线性微分方程.(6) 解: 因,故原方程有积分因子.从而为恰当方程.其通解为,即(7) 解:将方程分成两部分,: 和 : 对方程而言,.对方程

4、而言,原方程有积分因子,取利用可得故原方程的通解可表示为,即亦即,从而原方程的通解为增加题(8) 解:将方程分成两部分,: 和 :对方程而言,对方程而言原方程的积分因子为,即取,则得 ,因此,可取.从而,原方程的积分因子为(对也适合)利用,即得原方程的通解为,即 .题目已换4.假设积分因子具有形式或,解下列方程.(1) 解:寻找形如的积分因子.因故.从而,原方程有积分因子.方程为恰当方程,其通解为即,亦即(2) 解:寻找形如的积分因子.因故从而,原方程有积分因子.原方程可化为恰当方程求出其通解为,即(3) 解: 寻找形如的积分因子.因故原方程有积分因子.从而,原方程可化为恰当方程求它的积分,得

5、,即题目已换5.求贝努利方程的积分因子.解:贝努利方程两端同乘,并作代换,可化为一阶线性微分方程而一阶线性微分方程的积分因子为.故贝努利方程的积分因子为题目已换6设函数连续、可微且，试证方程有积分因子证明:令,原方程可化为,即 用乘此方程,可化为已分离变量的微分方程,即为恰当方程:所以,原方程有积分因子 .增加题7.设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.证明:设方程有仅依赖于的积分因子,则方程为恰当方程,从而有,即可求得,故所给方程为一阶线性微分方程.另一方面,若所给方程的一阶线性微分方程,则.此时,故方程有仅依赖于的积分因子增加题8设方程中的函数满足关系其中分别为和的连续函数，试证该方程有积分因子证明:设是所给方程的积分因子,则满足,利用已知条件,并整理得现在,找使上式恒成立.不妨设且由此两式可解得增加题9设是方程的两个积分因子，且常数，求证（为任意常数）是该方程的通解.证明:因是方程的两个积分因子,故有同时, 常数,则.要证为方程的通解,只需证明沿方程的导数恒等于零.事实上,