2015_2016学年高中数学第一章计数原理单元综合检测新人教A版选修2_3.doc

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1、【成才之路】2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理单元综合检测 新人教A版选修2-3时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2014新课标理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为ABC D答案D解析四位同学各自在周六、周日两种选择一天参加公益活动的情况有2416种方式，其中仅在周六(周日)参加的各有一种，故所求概率P1.2已知CCC(nN*)，则n等于()A14 B12 C13 D15答案A解析因为CCC，所以CC.78n1，n

2、14，故选A3(2015河南省高考适应性测试)3对夫妇去看电影，6个人坐成一排，若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则坐法的种数为()A54 B60 C66 D72答案B解析记3位女性为a、b、c，其丈夫依次为A、B、C，当3位女性都相邻时可能情形有两类：第一类男性在两端(如BAabcC)，有2A种，第二类男性在一端(如XXAabc)，有2AA种，共有A(2A2)36种，当仅有两位女性相邻时也有两类，第一类这两人在一端(如abBACc)，第二类这两人两端都有其他人(如AabBCc)，共有4A24种，故满足题意的坐法共有362460种4(2013晋中市祁县二中高二期中)某城市的街道如图，某人要从

3、A地前往B地，则路程最短的走法有()A8种 B10种 C12种 D32种答案B解析此人从A到B，路程最短的走法应走两纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C10种(注：若排法为10011，则走法如图中箭头所示)5(2015广东理，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A B C D1答案B解析从袋中任取 2个球共有 C105种，其中恰好1个白球1个红球共有CC50种，所以恰好1个白球1个红球的概率为，故选B6(2

4、014安徽理，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A24对 B30对 C48对 D60对答案C解析解法1：先找出正方体一个面上的地角线与其余面对角线成60角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与面对角线AC成60角的面对角线有B1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8条，同理与BD成60角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16696对因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60角时，有AD1，计算与AD1成60角

5、时有AC，故AD1与AC这一对被计算了2次)，因此共有9648对解法2：间接法正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有C种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，共有C61248对7(2015湖南理，6)已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a()A B C6 D6答案D解析Tr1C(1)rarxr，令r得r1，可得5a30a6，故选D8从0、1、2、3、4、5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A300 B216 C180 D162答案C解析本小题主要考查排列组合的基础知识由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有CCCA108，(2)不选“0”

6、，共有CA72，由分类加法计数原理得72108180，故选C9.(2014山东省胶东示范校检测)已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，其运动规律为(m，n)(m1，n1)或(m，n)(m1，n1)若该动点从原点出发，经过6步运动到点(6,2)，则不同的运动轨迹有()A15种 B14种 C9种 D103种答案C解析由运动规律可知，每一步的横坐标都增加1，只需考虑纵坐标的变化，而纵坐标每一步增加1(或减少1)，经过6步变化后，结果由0变到2，因此这6步中有2步是按照(m，n)(m1，n1)运动的，有4步是按照(m，n)(m1，n1)运动的，因此，共有C15种，而

7、此动点只能在第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，当第一步(m，n)(m1，n1)时不符合要求，有C种；当第一步(m，n)(m1，n1)，但第二、三两步为(m，n)(m1，n1)时也不符合要求，有1种，故要减去不符合条件的C16种，故共有1569种10(2015河北唐山市一模)3展开式中的常数项为()A8 B12 C20 D20答案C解析36，Tr1Cx6rrC(1)rx62r，令62r0，得r3，常数项为C(1)320.11高三(三)班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是()

8、A240 B188 C432 D288答案D12345解析先从3个音乐节目中选取2个排好后作为一个节目有A种排法，这样共有5个节目，两个音乐节目不连排，两个舞蹈节目不连排，如图，若曲艺节目排在5号(或1号)位置，则有4AA16种排法；若曲艺节目排在2号(或4号)位置，也有4AA16种排法，若曲艺节目排在3号位置，有22AA16种排法，共有不同排法，A(163)288种，故选D12.已知直线axby10(a、b不全为0)与圆x2y250有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有()A66条 B72条 C74条 D78条答案B解析先考虑x0，y0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)

9、(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3412个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线axby10不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有6612672(条)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有_ _.答案24种解析将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有CA种分配方案，其中甲同学分配到A班共有CACA种方案因此

10、满足条件的不同方案共有CACACA24(种)14(2015新课标理，15)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_ _.答案3分析考查二项式定理解答本题应特别注意所求项是两个多项式相乘得到的，其奇次幂项由a与(1x)4展开式的奇次幂项相乘和由x与(1x)4展开式的偶次幂项相乘得到解析由已知得(1x)414x6x24x3x4，故(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax,4ax3，x,6x3，x5，其系数之和为4a4a16132，解得a3.15(2015广西柳州市模拟)在(1x)(1x)10的展开式中，含x5的项的系数为_ _.答案42解析由二项式展开式的通

11、项公式得(1x)(1x)10中，含x5项为Cx5(x)Cx4(CC)x542x5，故系数为42.16将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有_ _种(用数字作答)答案90种解析本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组，再把三组分配乘以A得：A90种三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)已知Ax|1log2x3，xN*，Bx|x6|3，xN*，试问：从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？解析A3,4,5,6,7，B4,5,6,7,8从

12、A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5525(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有555434个不同的点18(本题满分12分)求证：对任何非负整数n,33n26n1可被676整除证明当n0时，原式0，可被676整除当n1时，原式0，也可被676整除当n2时，原式27n26n1(261)n26n1(26nC26n1C262C261)26n126nC26n1C262.每一项都含262这个因数，故可被262676整除综上所述，对一切非负整数n,33n26n1可被676整除19(本题满分12分)(2015青岛市胶州高二期中)已知(1m)n(m

13、是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112.(1)求m，n的值；(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；(3)求(1m)n(1x)的展开式中含x2项的系数解析(1)由题意可得2n256，解得n8.通项Tr1Cmrx，含x项的系数为Cm2112，解得m2，或m2(舍去)故m，n的值分别为2,8.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为CCCC281128.(3)(12)8(1x)(12)8x(12)8，所以含x2的系数为C24C221008.20(本题满分12分)某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加这

14、10个名额有多少不同的分配方法？解析解法一：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配这4个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4个名额全部给某一个班级，有C种分法；(2)4个名额分给两个班级，每班2个，有C种分法；(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A种分法；(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有CC种分法；(5)分给四个班，每班1个，共有C种分法故共有NCCACCC126种分配方法解法二：该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以

15、可以把它们视作排成一排的10个相同的球，要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球)这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法这10个球之间(不含两端)共有9个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，共有NC126种放法故共有126种分配方法21(本题满分12分)用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)被4整除；(2)比21034大的偶数；(3)左起第二、四位是奇数的偶数解析(1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分为两类：当末两位数是20、40、04时，其排列数为3A18，当末两位数是12、24、32时，其排列数为3AA12.故

16、满足条件的五位数共有181230(个)(2)当末位数字是0时，首位数字可以为2或3或4，满足条件的数共有3A18个当末位数字是2时，首位数字可以为3或4，满足条件的数共有2A12个当末位数字是4时，首位数字是3的有A6个，首位数字是2时，有3个，共有9个综上知，比21034大的偶数共有1812939个(3)方法一：可分为两类：末位数是0，有AA4(个)；末位数是2或4，有AA4(个)；故共有AAAA8(个)方法二：第二、四位从奇数1,3中取，有A个；首位从2,4中取，有A个；余下的排在剩下的两位，有A个，故共有AAA8(个)22(本题满分14分)已知n(nN*)的展开式的各项系数之和等于5的展开式中的常数项，求n的展开式中a1项的二项式系数解析对于5：Tr1C(4)5rrC(1)r45r5b.若Tr1为常数项，则105r0，所以r2，此时得常数项为T3C(1)2435127.令a1，得n展开式的各项系数之和为2n.由题意知2n27，所以n7.对于7：Tr1C7r()rC(1)r37ra.若Tr1为a1项，则1，所以r3.所以n的展开式中a1项的二项式系数为C35.8