五种方法法求二面角及限时理解练习.doc
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1、,五种方法求二面角及练习题一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角SAMB中半平面ABM上的一已知点(B)向棱AM作垂线,得垂足(F);在另一半平面ASM内过该垂足(F)作棱AM的垂线(如GF),这两条垂线(BF、GF)便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1(2009全国卷理)如图,四棱锥中,底面为矩
2、形,底面,点M在侧棱上,=60(I)证明:M在侧棱的中点(II)求二面角的大小。证(I)略 FG解(II):利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点,则点为AM的中点,过F点在平面ASM内作,GF交AS于G,连结AC,ADCADS,AS-AC,且M是SC的中点,AMSC, GFAM,GFAS,又为AM的中点,GF是AMS的中位线,点G是AS的中点。则即为所求二面角. ,则,又,是等边三角形,在中,FG二面角的大小为练习1(2008山东)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA平面ABCD,,E,F分别是BC, PC的中点.()证明:AEPD; ()若H为PD上的动点,EH与平
3、面PAD所成最大角的正切值为,求二面角EAFC的余弦值.分析:第1题容易发现,可通过证AEAD后推出AE平面APD,使命题获证,而第2题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值。(答案:二面角的余弦值为)二、三垂线法三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如(例2)过二
4、面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂线,得垂足O;再过该垂足O作棱FC1的垂线,得垂足P,连结起点与终点得斜线段PB,便形成了三垂线定理的基本构图(斜线PB、垂线BO、射影OP)。再解直角三角形求二面角的度数。例2(2009山东卷理) 如图,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB/CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。(1) 证明:直线EE/平面FCC;(2) 求二面角B-FC-C的余弦值。 证(1)略解E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P (2)因为AB=4
5、, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.练习2(2008天津)如图,在四棱锥中,底面是矩形已知()证明平面;()求异面直线与所成的角的大小;()求二面角的大小分析:本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题,在证明AD平面PAB
6、后,容易发现平面PAB平面ABCD,点P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点,于是可过点P作棱BD的垂线,再作平面ABCD的垂线,于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容,从而可得本解法。(答案:二面角的大小为)ABCEDP三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决 例3(2008湖南)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,BCD60,E是CD的中点,PA底面ABCD,PA2. ()证明:平面PBE平面
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