缓解交通压力的若干模型论证.doc

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1、,缓解交通压力的若干模型论证作者单位电话郭佳佳数 学 093班 09115158037287摘要缓解交通压力，应对道路拥堵，本文给出了三个不同模型尝试从不同的方便给出一个参考，模型一通过集合排队论的方法和实测数据，计算出了不同路口多车道分流可以保障道路畅通的模型；模型二基于元胞自动机理论，通过计算机仿真实验，探究了不同密度情况下道路的运行情况并以此给出了解除拥堵而采取的的交通管制力度大小；模型三通过优化模型，对于特定路口，基于统计数据设计信号灯不同方向的控制时间来使所有车辆的平均等待时间最小。排队论模型中，车辆到达路口服从泊松分布，本文给出了车流量，服务台个数，服务能力对拥堵的影响情况，细分为

2、单通道模型和多通道模型，单通道模型 取得合适的值，但缺陷在于服务能力由信号灯决定，提升某一方向的服务能力就意味着降低另一方向的服务能力。于是引入了多车道模型，使用采集的纽约第五林荫大道通行数据，给出了一个具体建造几个车道可以在多大程度上保证道路通畅的方法。元胞自动机模型中，二维交通流被看作是在方格上运动的点，不同点按照时间的奇偶依次运动象征着红绿灯一次对不同方向车辆放行，点被运动方向上其他点卡主表示现实中车辆堵塞，被挡住去路。计算机根据 BML 模型规则模拟出了不同的车流密度下是否会发生拥堵，发现了 0.3 和 0.6 这两个拐点，密度 0.3 一下，模型稳定畅通，0.6 以上，模型停滞。若化

3、解拥堵必须控制车辆流入密度低于 0.6。模型三为了解决实际中十字路口双向车流量不同而引发的一般信号灯“不足”和“剩余”情况，通过对车流量的计算与分析，给出了特定路口调整信号灯不同放行时间的安排方案。模型三虽然无法化解拥堵，但是可以让信号灯发挥更高的效率，无论拥堵与否。最后，我们根据以上模型得到的结果，给交管部门写了一封信，希望数学建模的方法可以在市计生常生活中得到验证和修正，为城市道路建设发挥更加积极的作用。关键词：排队论 元胞自动机 BML 模型 信号灯控制目录一、问题重述.1二、问题分析.1三、模型假设.13.1 模型假设. 1四、模型的建立及求解. 24.1 基于排队论的交叉路口交通流研

4、究. 24.1.1 模型概述. 24.1.2 评价指标与符号说明. 24.1.3 交叉路口统计模型的建立. 34.1.4 实例检验：石家庄人民商场路口. 44.1.5 道路交叉路口的排队论模型. 54.1.6 单车道标准 M / M / 1排队模型.64.1.7 多车道系统容量有限 M / M / c / N / 排队模型.84.1.8 M / M / c / N / 排队模型应用.94.1.9 模型结果分析.104.2 基于元胞自动机 BML 模型的二维交通流系统的模拟分析. 114.2.1 模型概述. 114.2.2 模拟规则与补充说明. 114.2.3 评价指标与符号说明. 124.2.

5、4 编程模拟. 124.2.5 模拟分析与结论. 124.3 交叉路口信号灯控制优化模型. 164.3.1 模型概述. 164.3.2 符号说明. 164.3.3 模型的建立. 164.3.4 参数的确定. 184.3.5 模型的求解. 18五、模型的评价及拓展. 20六、模型应用：致交管部门的一封信. 20七、参考文献.20八、附录. 21一、问题重述随着中国经济建设的飞速发展，机动车保有量连年增加，道路交通车流越来越大，慢慢的，现有交通基础设施成为了交通发展的瓶颈。老旧的设施，亟待优化的管理制度，已经渐渐制约着中国速度。日益严峻的道路拥堵问题带来的不仅仅是时间的浪费，其潜在的机会成本损失和

6、能源浪费更是不容忽视的。于是，在现有条件下，适当升级道路设施，提升道路交通管制水平成了当务之急，本文希望在不做大的道路改造的情况下，试图解决如何让交叉路口通行更多车辆，如何避免道路拥堵以及如何化解已经产生的拥堵。二、问题分析造成交通拥堵的地方主要有交叉路口，因为交叉路口依次放行，每次放行的通行能力是有限的，如果双方的车流量大于信号灯的放行能力，势必会造车车辆积压，积压的多了，就会造成大面积拥堵。所以，如何提高交叉路口的通行能力是解决交叉路口拥堵问题的关键所在。大家排队过红绿灯，于是构成了一个排队论模型，而路口的车道数目，可以理解为服务台的个数，于是，我们考虑用排队论的方法对其进行研究。在交叉路

7、口还有一个重要的因素，信号灯，据了解，大多数地方的信号灯对不同方向的放行时间是均匀分配的，这体现出了一个公平的色彩和便捷的管理方式。但是我们无法回避一个现实就是，往往道路不同方向的车流量是不一样的，比如主干道和次要道路的十字路口，时间分配相同的话，可能会造成一侧拥堵而另一侧空闲的情况。我们希望根据实际计算出合适的信号灯放行比值予以优化。另外一个产生拥堵的原因是车流量，再好的路口在巨大的车流量面前也会崩溃，一旦产生了拥堵，对于后续车辆是，是实行全面的交通管着呢还是适度放行，这些问题用元胞自动机的模拟都可以得到很好的解答。三、模型假设3.1 模型假设所有模型中均无交通事故、车辆损毁、恶劣天气等特殊

8、情况，所有车辆均可按给定照规则行进，除此之外，各模型分别满足： 模型一（排队论）假设（1）在不重叠的时间区间内车辆到达数是相互独立的，且对充分小的 t 时间内有 1 辆车到达的概率与 t 无关，而与区间长 t 成正比；1（2）对于充分小的 t 时间内，在时间区间 t, t + t) 内只有 1 辆车到达。 模型二（元胞自动机）和模型三(信号灯控制比例)假设（1）所有车辆大小相同，行进速度相同；（2）该交叉路口为单向通行，即没有转弯。四、模型的建立及求解4.1 基于排队论的交叉路口交通流研究4.1.1 模型概述排队是日常是生活经常遇到的现象，如顾客到商店购买商品，病人到医院看病要排队。此时需要接

9、受服务的人数超过服务机构的容量，也就是说，到达的顾客不能立即接受服务。因而出现了排队现象。在道路交通中，我们把交叉路口道路车道看做服务台，把车辆看做是需要服务的人群，交通拥堵现象可以看作是因为服务能力无法满足服务人群而产生的排队现象。平行的，排队论中的到达率与离开率在交通堵塞中代表着车辆的驶入和驶出情况。于是，通过对排队论模型的研究可以平行的反映道路交通情况，从而提出合理而有效地建议。4.1.2 评价指标与符号说明 交通流汽车在道路上连续行驶形成的车流。广义上还包括其他车辆的车流和人流。在某段时间内，在不受横向交叉影响的路段上，交通流呈连续流状态；在遇到路口信号灯管制时，呈断续流状态。与交通流

10、相关的特性参数有：速度、交通量和车流密度。其中速度应为一段路程 L 的平均行程速度，在计算该速度时行程时间包括了观测路段由于各种原因造成的停车延误时间，记 n 为车辆数，通过路段长度为 L ，测得各车的行程时间为： t1, t 2, tn ，则平均行程速度如下定义：VL =nL=nLn（1-1） ti =1in ti =1i交通量是指在一定时间间隔内，通过一条车道或道路某一点、某段截面的车辆总数。可分为年交通量、日交通量、小时交通量或不足 1 小时的交通量（如15min 交通量）。流率是在给定不足 1 小时的时间借个（通常 15min）内，通过一条车道或道路的指定截面的当量小时流率。如果在 1

11、5min 内观测到交通量为 100辆，则小时流率为 400 辆/小时。 道路交通拥堵2当实际流率大于该道路的最大流率时，交通量的流畅性受阻，主要表现在交通流的速度减小，密度增大。定义 Q(t) 为 t 时刻交通流的流率，V (t) 为 t 时刻交通流的平均行程速度， K (t) 为 t 时刻交通流的密度，则有如下关系：Q(t ) = V (t ) * K (t )（1-2）下图是来自美国公交通行能力关于速度、密度和流速之间的关系图。图 4-1-A速度、密度和流率关系图(来自公交通行能力手册)从上图 4.1-A 知在发生拥堵时， K (t) 增大，当其增大到一定时候V (t) 急剧减小，Q(t)

12、 先缓慢增大后开始减小，而在某一时刻 Q(t) 达到最大值 Q max 即为道路的最大流率。影响道路最大流率主要因素称为道路交通阻抗，其取决于道路的物理特征，如长度、宽度、路面质量、管理水平和路口交通灯的绿信比等。4.1.3 交叉路口统计模型的建立设 N (t) 表示在时间区间 0, t) 内到达的车辆数 (t 0) ,令 Pn(t1, t 2) 表示在时间区间 t1, t 2) (t 2 t1) 内有 (n 0) 辆车到达的概率，即：Pn(t, t + ) = t + o(t)（1-2）其中 o(t ) ，是当 t 0 时的高阶无穷小。 0 是常数，它表示单位时间内有一辆车达到的概率。根据假

13、设（3）有：32n（1-3）上式代表了 t 时刻 2 辆或 2 辆以上的车同时到达的概率。同样可得在 t, t + )时间内没有车辆的概率为：P 0(t, t + t) = 1 t + o(t)（1-4）由此在区间 0, t + t ) 上建立差分方程：Pn(t, t + ) = Pn(t)(1 t) + Pn 1(t)t + o(t) （1-5）Pn(t, t + t) Pn(t)t令 t 0 ，得到下列方程：= Pn(t ) + Pn 1(t ) +o(t)t （1-6） dPn(t) dt= Pn(t) + Pn 1(t ) n 1Pn(0) = 0当 n = 0 时有：（1-7） dP

14、 0(t ) dt= P 0(t) P 0(0) = 1由（1-6）式（1-7）得到：（1-8）Pn(t) =n!e(n = 1, 2,3)（1-9）由（1-8）式得知，单位时间内车辆到达某一路口的概率是服从参数 的泊松分布。4.1.4 实例检验：石家庄人民商场路口每个路口的车辆基本上是由上一路口成串到达，统计时，对每次红绿灯变化一周个方向所到的车辆数进行了记录，并吧每次到的车辆分成了 0,1, 2,9 共十个组数，车辆数用 xi 表示。最后统计出车辆数落入每个组号的次数用 fi 表示。 如下表）时间：89.11.26 10:3011:30方向：东4P(t,t+t)=o(t)(t)nt（表 4

15、.1-B 石家庄人民商场路口交通统计表根据统计数据，可以发现车辆出现的频数与车辆数的关系符合泊松分布。频数与车辆的关系可以表示为：Fi =xi !e* N（1-10）其中 Fi = P( xi) * N ， Fi 为理论频数， xi 为车辆数， P( xi) 为车辆数为 xi 的发生概g率， N 为总发生次数， N = fi ， fi 为发生的频数， g 为总的组数， m 为到达i=1g车辆的平均数， m =i=1iNi。利用 matlab 对石家庄人民商场路口车辆数做泊松分布的检验（见附录），发现在显著水平 = 0.05， H = 0，不应拒绝原假设，即数据符合泊松分布。同样交通路口其他方向

16、，以及各个路段也应符合该规律。4.1.5 道路交叉路口的排队论模型考虑交叉路口由于信号灯发生堵车现象，将交叉路口看做服务台，车辆则看做是“顾客”，堵车时间为排队时间，通过交叉路口的时间为服务时间。记 为单位时间内一辆车达到（即进入排队系统）的概率（同上文）， 为单位时间内一辆车通过交叉路口的概率(平均服务率)。 = / （ ），为平均到达率与平均服务率之比，可以认为 是平均服务强度，在交叉路口的排队模型中定义为交通强度。 Ls 为在堵车系统中的平均车辆数（队长的期望） Ls = nPn ，在队列n=0中排队的车辆为 Lq = (n 1) Pn ，车辆排队直到通过的时间为Ws = EW ，车辆n

17、=0排队时间Ws = Wq 1/ 。5车辆数 xi0123456789发生次数 fi04511864123(m)ximxf4.1.6 单车道标准 M / M / 1排队模型（1）输入过程车辆源无限，车辆单个到来，相互独立，一定时间内达到数服从泊松分布，到达过程已是平稳的。（2）排队规则单队，且队长没有限制，先到先服务。（3）服务机构单服务台（交叉路口单车道），各车辆服务时间（穿过交叉路口）相互独立，服从相同的负指数分布。图 4.1-C 单服务台排队模型根据排队论的原理建立 M / M /1排队模型差分方程：解得： Pn 1 + Pn + 1 ( + ) Pn = 0 n 1 P 0 + P1

18、= 0（1-11） Pn = (1 ) P 0 = 1 nn 1（1-12）同时解得：Ls =Lq =Ws =Wq = =1 2=1 1 （1-13）（1-14）（1-15）（1-16）在（1-13）（1-16）只要确定车辆平均到达率和平均通过交叉路口率就可以确定堵车系统中平均堵车数量以及车辆在堵车系统中的平均等待时间。分别固定 或者 中的一个变化另一个变量各指标的值（此处 、 单位:辆/s），此处例举 = 0.5 的情况（其余数据表格见附录）：（注： = 0.5 车辆数小于 0.5 记为 0）6表 4.1-D = 0.5 时交叉路口各指标统计表 车辆达到率与所在路段以及该路段高峰流率有关，

19、的取值则跟信号灯时间绿信比有很大关系，此处只是对于 ， 分别取从 0.11.0( )的各个情况比较，令 = + C ，从表 1-2 中可以发现当 C 逐渐变大， Lq 和 Wq 逐渐变小（如图 1-3），当 C = 0.3 时 Lq 和 Wq 接近 0。因此在决策 和 时并非要求 值越大效果越好，相反只要适当的 C 即可满足要求，即便在增大 C 排队系统也不会得到太大改善。图 4.1-E 不同取值 Lq 和 Wq 的值希望交通流畅，则应该想办法减小 ，增大 ，而对于单车道交叉路口， 依据地理位置和不同时刻而言是确定的，需要相关政策采取调整，增大 从表面7指标0.60.70.80.91路口空闲概

20、率 P 00.170.290.380.440.50车辆必须等待概率0.830.710.620.560.50平均堵车数量 Lq4.171.791.040.690.50通过总时间Ws10.005.003.332.502.00平均等待时间Wq8.333.572.081.391.00看来是比较可取，但注意到 是排队系统中的服务率，1/ 表示服务时间，在这里的意思是车辆通过交叉路口的时间，主要由信号灯来决定，保证交通流畅是要保证交叉路口四个方向上车流量达到总体最大，因此不可能就某一方向上来增大 。4.1.7 多车道系统容量有限 M / M / c / N / 排队模型4.1.6 中考虑的是单车道排队模型

21、，其中必须有 c ），先到先服务。（3）服务机构多服务台（交叉路口多车道），各车辆服务时间（穿过交叉路、口）相互独立，服从相同的负指数分布。个服务台工作独立且平均服务率相同 1 = 2 = = c = ，因此这个服务率为 c（交通强度）。令 = / c ，只要当 / c ，将无限排队，交通堵塞。 当 c = 2 时，即双车道， M / M / 2 / N / ，交通强度（服务强度） = / (2c) = 0.71 ，系统中没有车得概率 P0 = 0.1688，系统中总共车得数量Ls = 2.86 ，堵车数量 Lq = 1.44，平均等待时间Wq = 3.82 ，通过总时间Ws = 7.59 。

22、 当 c = 3时，即三车道， M / M / 3 / N / ，交通强度（服务强度） = / (2c) = 0.47 ，系统中没有车得概率 P0 = 0.327 ，系统中总共车得数量Ls = 1.61，堵车数量 Lq = 0.189 ，平均等待时间Wq = 0.50，通过总时间Ws = 4.28 。 当 c = 4 时，即四车道， M / M / 4 / N / ，交通强度（服务强度） = / (2c) = 0.36 ，系统中没有车得概率 P0 = 0.239，系统中总共车得数量9(c)Ls = 1.46 ，堵车数量 Lq = 0.035，平均等待时间Wq = 0.093，通过总时间Ws =

23、 3.87 。 当 c = 5 时，即五车道， M / M / 5 / N / ，交通强度（服务强度） = / (2c) = 0.28 ，系统中没有车得概率 P0 = 0.241，系统中总共车得数量Ls = 1.43，堵车数量 Lq = 0.065，平均等待时间Wq = 0.017 ，通过总时间Ws = 3.79。4.1.9 模型结果分析表 4.1-G交叉路口系统各指标从上述计算结果表明 M / M / 1/ N / 系统交通强度 1，说明该队列会越来越长，交通堵塞不断扩大， M / M / 2 / N / , M / M / 3 / N / M / M / 4 / N / , M / M /

24、 5 / N / 交通强度均小于 1，满足要求，由此可知此交叉路口至少应设置双车道。对表 4.1-C 中各系统指标分析，比较 2 车道、3 车道、4 车道、5 车道，3 车道各项指标明显优于 2 车道指标，而比较，结合表 4.1-D分析，3 车道堵车 7 辆以上的概率为 0.3%，4 车道堵车 6 辆以上的概率均达到 0，5 车道堵车 6 辆以上的概率达到 0。从各项结果分析表明理论上选择 5 车道，但从经济角度考虑车道越多投资越大，结合表 4.1-C 分析，3 车道已经能满足该地区的交通需求。（注： P 0.001时记作 0，认为小概率事件不发生）10指标M / M /2/ N / M /

25、M / 3/ N / M / M / 4/ N / M / M /5/ N / 没有车的概率P 00.240.330.340.34平均堵车数量Lq1.440.190.040.01通过总时间Ws7.594.283.873.79平均等待Wq3.820.500.090.02PkM / M /2/ N / M / M / 3/ N / M / M /4/ N / M / M /5/ N / P00.2400.3270.3400.343P10.1710.2330.2420.244表 4.1-H 交叉路口车辆排队堵车概率4.2 基于元胞自动机 BML 模型的二维交通流系统的模拟分析4.2.1 模型概述19

26、92 年 Biham，Middleton 和 Levine 提出了一个理想化模型，称为 BML 模型，用以描述二维交通网的性态。在 BML 模型中，用一个 LL 的二维方形点阵来表示城市交通网络，L 是方形点阵的边长，每一格点具 3 种状态， S (i, j) = 0,1, 2 。S (i, j) = 2 用来表示第 i 行 j 列格点上有一辆由北向南行驶的车辆, S (i, j ) = 1表示该格点有一辆由西向东行驶的车辆， S (i, j) = 0 表示该格点没有车辆。规定每辆车的行驶速度V (i, j ) = 1，即每个时间步，只能向右或向下（假设图形为上北下南左西右东）前进一个格点。在

27、每一奇数时间步，东西车辆向前行驶一个格点；在每一偶数时间步，南北向的车辆向前行驶一个格点，如果车辆前面的格点上有其它车辆的占据，那么该辆车只能在原来的格点上等待，不能向前行驶。这样规定的作用相当于用红绿灯来控制城市街道路口的交通，并且暂不考虑车辆重叠和转弯的特征。4.2.2 模拟规则与补充说明 模拟规则此交通流模型以 BML 模型为基础，建立起150 150的方格。点阵格点的状态按预先设定的车辆密度随机确定，所有车辆的运动是自西向东或自北向南单向行驶。这些格点同时表示交叉路口，有红绿灯管制， 红绿灯的规则遵循 BML 模型的约定，即奇数时间步，东西向为绿灯可通行状态；偶数时间步，南北向为绿灯可

28、通行状态。某一时间步，若格点内车辆前进方向向东，所在道口红绿灯向东放行，且前方无车辆占据，则该车向东前进一格; 否则此时刻该车在原地不动。对于向南的车辆亦在类似的条件下方可前进，即某格子下一时刻的状态与当前时刻前方格子和后面格子的状态有关，同时也与上下两个相邻格子的状态有关，即与它的 4 个邻居都有关系。11P 20.1220.1100.1150.116P30.0870.0520.0410.041P 40.0620.0250.0150.012P50.0440.0120.0050.003P 60.0310.0060.0020P 70.0220.00300 补充说明1、边界开放本系统的边界采用开放的边界条件，即只考虑车辆的随机注入机制，当有车辆驶出格子区域时，认为“外空间”可以无限接纳驶出车辆。为保证平均密度的恒定，采用随机数在西边界或北边界随机注入车辆。2、跟驰机制以一次红绿灯转换定为一个时间步，在此时间内各车辆至多可前进一格，前方车辆前进后，后面车辆的跟随前进均可在同一时间内完成，即考虑车辆跟驰机制，暂不计跟随启动的时间延误。4.2.3