初学(支持向量机SVM).doc

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1、,支持向量机SVM（一） 1 简介支持向量机基本上是最好的有监督学习算法了。最开始接触SVM是去年暑假的时候，老师要求交统计学习理论的报告，那时去网上下了一份入门教程，里面讲的很通俗，当时只是大致了解了一些相关概念。这次斯坦福提供的学习材料，让我重新学习了一些SVM知识。我看很多正统的讲法都是从VC 维理论和结构风险最小原理出发，然后引出SVM什么的，还有些资料上来就讲分类超平面什么的。这份材料从前几节讲的logistic回归出发，引出了SVM，既揭示了模型间的联系，也让人觉得过渡更自然。 2 重新审视logistic回归Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型，而这个模型是将

2、特性的线性组合作为自变量，由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此，使用logistic函数（或称作sigmoid函数）将自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认为是属于y=1的概率。 形式化表示就是 假设函数 其中x是n维特征向量，函数g就是logistic函数。 的图像是 可以看到，将无穷映射到了(0,1)。 而假设函数就是特征属于y=1的概率。 当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时，只需求，若大于0.5就是y=1的类，反之属于y=0类。 再审视一下，发现只和有关，0，那么，g(z)只不过是用来映射，真实的类别决定权还在。还有当时，=1，反之=0。如果我们只从出发，希望模型达到的目标无

3、非就是让训练数据中y=1的特征，而是y=0的特征。Logistic回归就是要学习得到，使得正例的特征远大于0，负例的特征远小于0，强调在全部训练实例上达到这个目标。 图形化表示如下： 中间那条线是，logistic回顾强调所有点尽可能地远离中间那条线。学习出的结果也就中间那条线。考虑上面3个点A、B和C。从图中我们可以确定A是类别的，然而C我们是不太确定的，B还算能够确定。这样我们可以得出结论，我们更应该关心靠近中间分割线的点，让他们尽可能地远离中间线，而不是在所有点上达到最优。因为那样的话，要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。我想这就是支持向量机的思路和logistic

4、回归的不同点，一个考虑局部（不关心已经确定远离的点），一个考虑全局（已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离）。这是我的个人直观理解。 3 形式化表示我们这次使用的结果标签是y=-1,y=1，替换在logistic回归中使用的y=0和y=1。同时将替换成w和b。以前的，其中认为。现在我们替换为b，后面替换为（即）。这样，我们让，进一步。也就是说除了y由y=0变为y=-1，只是标记不同外，与logistic回归的形式化表示没区别。再明确下假设函数 上一节提到过我们只需考虑的正负问题，而不用关心g(z)，因此我们这里将g(z)做一个简化，将其简单映射到y=-1和y=1上。映射关系如下： 4

5、函数间隔（functional margin）和几何间隔（geometric margin）给定一个训练样本，x是特征，y是结果标签。i表示第i个样本。我们定义函数间隔如下： 可想而知，当时，在我们的g(z)定义中，的值实际上就是。反之亦然。为了使函数间隔最大（更大的信心确定该例是正例还是反例），当时，应该是个大正数，反之是个大负数。因此函数间隔代表了我们认为特征是正例还是反例的确信度。 继续考虑w和b，如果同时加大w和b，比如在前面乘个系数比如2，那么所有点的函数间隔都会增大二倍，这个对求解问题来说不应该有影响，因为我们要求解的是，同时扩大w和b对结果是无影响的。这样，我们为了限制w和b，可

6、能需要加入归一化条件，毕竟求解的目标是确定唯一一个w和b，而不是多组线性相关的向量。这个归一化一会再考虑。 刚刚我们定义的函数间隔是针对某一个样本的，现在我们定义全局样本上的函数间隔 说白了就是在训练样本上分类正例和负例确信度最小那个函数间隔。 接下来定义几何间隔，先看图 假设我们有了B点所在的分割面。任何其他一点，比如A到该面的距离以表示，假设B就是A在分割面上的投影。我们知道向量BA的方向是（分割面的梯度），单位向量是。A点是，所以B点是x=（利用初中的几何知识），带入得， 进一步得到 实际上就是点到平面距离。 再换种更加优雅的写法： 当时，不就是函数间隔吗？是的，前面提到的函数间隔归一化

7、结果就是几何间隔。他们为什么会一样呢？因为函数间隔是我们定义的，在定义的时候就有几何间隔的色彩。同样，同时扩大w和b，w扩大几倍，就扩大几倍，结果无影响。同样定义全局的几何间隔 5 最优间隔分类器（optimal margin classifier）回想前面我们提到我们的目标是寻找一个超平面，使得离超平面比较近的点能有更大的间距。也就是我们不考虑所有的点都必须远离超平面，我们关心求得的超平面能够让所有点中离它最近的点具有最大间距。形象的说，我们将上面的图看作是一张纸，我们要找一条折线，按照这条折线折叠后，离折线最近的点的间距比其他折线都要大。形式化表示为： 这里用=1规约w，使得是几何间隔。

8、到此，我们已经将模型定义出来了。如果求得了w和b，那么来一个特征x，我们就能够分类了，称为最优间隔分类器。接下的问题就是如何求解w和b的问题了。 由于不是凸函数，我们想先处理转化一下，考虑几何间隔和函数间隔的关系，我们改写一下上面的式子： 这时候其实我们求的最大值仍然是几何间隔，只不过此时的w不受的约束了。然而这个时候目标函数仍然不是凸函数，没法直接代入优化软件里计算。我们还要改写。前面说到同时扩大w和b对结果没有影响，但我们最后要求的仍然是w和b的确定值，不是他们的一组倍数值，因此，我们需要对做一些限制，以保证我们解是唯一的。这里为了简便我们取。这样的意义是将全局的函数间隔定义为1，也即是将

9、离超平面最近的点的距离定义为。由于求的最大值相当于求的最小值，因此改写后结果为： 这下好了，只有线性约束了，而且是个典型的二次规划问题（目标函数是自变量的二次函数）。代入优化软件可解。 到这里发现，这个讲义虽然没有像其他讲义一样先画好图，画好分类超平面，在图上标示出间隔那么直观，但每一步推导有理有据，依靠思路的流畅性来推导出目标函数和约束。 接下来介绍的是手工求解的方法了，一种更优的求解方法。支持向量机SVM（二） 6 拉格朗日对偶（Lagrange duality） 先抛开上面的二次规划问题，先来看看存在等式约束的极值问题求法，比如下面的最优化问题： 目标函数是f(w)，下面是等式约束。通常

10、解法是引入拉格朗日算子，这里使用来表示算子，得到拉格朗日公式为 L是等式约束的个数。 然后分别对w和求偏导，使得偏导数等于0，然后解出w和。至于为什么引入拉格朗日算子可以求出极值，原因是f(w)的dw变化方向受其他不等式的约束，dw的变化方向与f(w)的梯度垂直时才能获得极值，而且在极值处，f(w)的梯度与其他等式梯度的线性组合平行，因此他们之间存在线性关系。（参考最优化与KKT条件） 然后我们探讨有不等式约束的极值问题求法，问题如下： 我们定义一般化的拉格朗日公式 这里的和都是拉格朗日算子。如果按这个公式求解，会出现问题，因为我们求解的是最小值，而这里的已经不是0了，我们可以将调整成很大的正

11、值，来使最后的函数结果是负无穷。因此我们需要排除这种情况，我们定义下面的函数： 这里的P代表primal。假设或者，那么我们总是可以调整和来使得有最大值为正无穷。而只有g和h满足约束时，为f(w)。这个函数的精妙之处在于，而且求极大值。 因此我们可以写作 这样我们原来要求的min f(w)可以转换成求了。 我们使用来表示。如果直接求解，首先面对的是两个参数，而也是不等式约束，然后再在w上求最小值。这个过程不容易做，那么怎么办呢？ 我们先考虑另外一个问题 D的意思是对偶，将问题转化为先求拉格朗日关于w的最小值，将和看作是固定值。之后在求最大值的话： 这个问题是原问题的对偶问题，相对于原问题只是更

12、换了min和max的顺序，而一般更换顺序的结果是Max Min(X) 核函数矩阵K是对称半正定的。 可幸的是，这个条件也是充分的，由Mercer定理来表达。 Mercer定理： 如果函数K是上的映射（也就是从两个n维向量映射到实数域）。那么如果K是一个有效核函数（也称为Mercer核函数），那么当且仅当对于训练样例，其相应的核函数矩阵是对称半正定的。Mercer定理表明为了证明K是有效的核函数，那么我们不用去寻找，而只需要在训练集上求出各个，然后判断矩阵K是否是半正定（使用左上角主子式大于等于零等方法）即可。 许多其他的教科书在Mercer定理证明过程中使用了范数和再生希尔伯特空间等概念，但在

13、特征是n维的情况下，这里给出的证明是等价的。 核函数不仅仅用在SVM上，但凡在一个模型后算法中出现了，我们都可以常使用去替换，这可能能够很好地改善我们的算法。支持向量机（四） 9 规则化和不可分情况处理（Regularization and the non-separable case） 我们之前讨论的情况都是建立在样例线性可分的假设上，当样例线性不可分时，我们可以尝试使用核函数来将特征映射到高维，这样很可能就可分了。然而，映射后我们也不能100%保证可分。那怎么办呢，我们需要将模型进行调整，以保证在不可分的情况下，也能够尽可能地找出分隔超平面。 看下面两张图： 可以看到一个离群点（可能是噪声

14、）可以造成超平面的移动，间隔缩小，可见以前的模型对噪声非常敏感。再有甚者，如果离群点在另外一个类中，那么这时候就是线性不可分了。 这时候我们应该允许一些点游离并在在模型中违背限制条件（函数间隔大于1）。我们设计得到新的模型如下（也称软间隔）： 引入非负参数后（称为松弛变量），就允许某些样本点的函数间隔小于1，即在最大间隔区间里面，或者函数间隔是负数，即样本点在对方的区域中。而放松限制条件后，我们需要重新调整目标函数，以对离群点进行处罚，目标函数后面加上的就表示离群点越多，目标函数值越大，而我们要求的是尽可能小的目标函数值。这里的C是离群点的权重，C越大表明离群点对目标函数影响越大，也就是越不希

15、望看到离群点。我们看到，目标函数控制了离群点的数目和程度，使大部分样本点仍然遵守限制条件。 模型修改后，拉格朗日公式也要修改如下： 这里的和都是拉格朗日乘子，回想我们在拉格朗日对偶中提到的求法，先写出拉格朗日公式（如上），然后将其看作是变量w和b的函数，分别对其求偏导，得到w和b的表达式。然后代入公式中，求带入后公式的极大值。整个推导过程类似以前的模型，这里只写出最后结果如下： 此时，我们发现没有了参数，与之前模型唯一不同在于又多了的限制条件。需要提醒的是，b的求值公式也发生了改变，改变结果在SMO算法里面介绍。先看看KKT条件的变化： 第一个式子表明在两条间隔线外的样本点前面的系数为0，离群

16、样本点前面的系数为C，而支持向量（也就是在超平面两边的最大间隔线上）的样本点前面系数在(0,C)上。通过KKT条件可知，某些在最大间隔线上的样本点也不是支持向量，相反也可能是离群点。 10 坐标上升法（Coordinate ascent） 在最后讨论的求解之前，我们先看看坐标上升法的基本原理。假设要求解下面的优化问题： 这里W是向量的函数。之前我们在回归中提到过两种求最优解的方法，一种是梯度下降法，另外一种是牛顿法。现在我们再讲一种方法称为坐标上升法（求解最小值问题时，称作坐标下降法，原理一样）。 方法过程： 最里面语句的意思是固定除之外的所有，这时W可看作只是关于的函数，那么直接对求导优化即

17、可。这里我们进行最大化求导的顺序i是从1到m，可以通过更改优化顺序来使W能够更快地增加并收敛。如果W在内循环中能够很快地达到最优，那么坐标上升法会是一个很高效的求极值方法。 下面通过一张图来展示： 椭圆代表了二次函数的各个等高线，变量数为2，起始坐标是(2,-2)。图中的直线式迭代优化的路径，可以看到每一步都会向最优值前进一步，而且前进路线是平行于坐标轴的，因为每一步只优化一个变量。支持向量机（五）SMO算法 11 SMO优化算法（Sequential minimal optimization） SMO算法由Microsoft Research的John C. Platt在1998年提出，并成

18、为最快的二次规划优化算法，特别针对线性SVM和数据稀疏时性能更优。关于SMO最好的资料就是他本人写的Sequential Minimal Optimization A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines了。 我拜读了一下，下面先说讲义上对此方法的总结。 首先回到我们前面一直悬而未解的问题，对偶函数最后的优化问题： 要解决的是在参数上求最大值W的问题，至于和都是已知数。C由我们预先设定，也是已知数。 按照坐标上升的思路，我们首先固定除以外的所有参数，然后在上求极值。等一下，这个思路有问题，因为如果固定以外的所有参数，那么将不再是

19、变量（可以由其他值推出），因为问题中规定了 因此，我们需要一次选取两个参数做优化，比如和，此时可以由和其他参数表示出来。这样回带到W中，W就只是关于的函数了，可解。 这样，SMO的主要步骤如下： 意思是，第一步选取一对和，选取方法使用启发式方法（后面讲）。第二步，固定除和之外的其他参数，确定W极值条件下的，由表示。 SMO之所以高效就是因为在固定其他参数后，对一个参数优化过程很高效。 下面讨论具体方法： 假设我们选取了初始值满足了问题中的约束条件。接下来，我们固定，这样W就是和的函数。并且和满足条件： 由于都是已知固定值，因此为了方面，可将等式右边标记成实数值。 当和异号时，也就是一个为1，一

20、个为-1时，他们可以表示成一条直线，斜率为1。如下图： 横轴是，纵轴是，和既要在矩形方框内，也要在直线上，因此 ， 同理，当和同号时， ， 然后我们打算将用表示： 然后反代入W中，得 展开后W可以表示成。其中a,b,c是固定值。这样，通过对W进行求导可以得到，然而要保证满足，我们使用表示求导求出来的，然而最后的，要根据下面情况得到： 这样得到后，我们可以得到的新值。 下面进入Platt的文章，来找到启发式搜索的方法和求b值的公式。 这边文章使用的符号表示有点不太一样，不过实质是一样的，先来熟悉一下文章中符号的表示。 文章中定义特征到结果的输出函数为 与我们之前的实质是一致的。 原始的优化问题为

21、： 求导得到： 经过对偶后为： s.t. 这里与W函数是一样的，只是符号求反后，变成求最小值了。和是一样的，都表示第i个样本的输出结果（1或-1）。 经过加入松弛变量后，模型修改为： 由公式（7）代入（1）中可知， 这个过程和之前对偶过程一样。 重新整理我们要求的问题为： 与之对应的KKT条件为： 这个KKT条件说明，在两条间隔线外面的点，对应前面的系数为0，在两条间隔线里面的对应为C，在两条间隔线上的对应的系数在0和C之间。 将我们之前得到L和H重新拿过来： 之前我们将问题进行到这里，然后说将用表示后代入W中，这里将代入中，得 其中 这里的和代表某次迭代前的原始值，因此是常数，而和是变量，待

22、求。公式（24）中的最后一项是常数。 由于和满足以下公式 因为的值是固定值，在迭代前后不会变。 那么用s表示，上式两边乘以时，变为： 其中 代入（24）中，得 这时候只有是变量了，求导 如果的二阶导数大于0（凹函数），那么一阶导数为0时，就是极小值了。 假设其二阶导数为0（一般成立），那么上式化简为： 将w和v代入后，继续化简推导，得（推导了六七行推出来了） 我们使用来表示： 通常情况下目标函数是正定的，也就是说，能够在直线约束方向上求得最小值，并且。 那么我们在（30）两边都除以可以得到 这里我们使用表示优化后的值，是迭代前的值，。 与之前提到的一样不是最终迭代后的值，需要进行约束： 那么

23、在特殊情况下，可能不为正，如果核函数K不满足Mercer定理，那么目标函数可能变得非正定，可能出现负值。即使K是有效的核函数，如果训练样本中出现相同的特征x，那么仍有可能为0。SMO算法在不为正值的情况下仍有效。为保证有效性，我们可以推导出就是的二阶导数，没有极小值，最小值在边缘处取到（类比），时更是单调函数了，最小值也在边缘处取得，而的边缘就是L和H。这样将和分别代入中即可求得的最小值，相应的还是也可以知道了。具体计算公式如下： 至此，迭代关系式出了b的推导式以外，都已经推出。 b每一步都要更新，因为前面的KKT条件指出了和的关系，而和b有关，在每一步计算出后，根据KKT条件来调整b。 b的

24、更新有几种情况： 来自罗林开的ppt 这里的界内指，界上就是等于0或者C了。 前面两个的公式推导可以根据 和对于有的KKT条件推出。 这样全部参数的更新公式都已经介绍完毕，附加一点，如果使用的是线性核函数，我们就可以继续使用w了，这样不用扫描整个样本库来作内积了。 w值的更新方法为： 根据前面的 公式推导出。 12 SMO中拉格朗日乘子的启发式选择方法 终于到了最后一个问题了，所谓的启发式选择方法主要思想是每次选择拉格朗日乘子的时候，优先选择样本前面系数的作优化（论文中称为无界样例），因为在界上（为0或C）的样例对应的系数一般不会更改。 这条启发式搜索方法是选择第一个拉格朗日乘子用的，比如前面

25、的。那么这样选择的话，是否最后会收敛。可幸的是Osuna定理告诉我们只要选择出来的两个中有一个违背了KKT条件，那么目标函数在一步迭代后值会减小。违背KKT条件不代表，在界上也有可能会违背。是的，因此在给定初始值=0后，先对所有样例进行循环，循环中碰到违背KKT条件的（不管界上还是界内）都进行迭代更新。等这轮过后，如果没有收敛，第二轮就只针对的样例进行迭代更新。 在第一个乘子选择后，第二个乘子也使用启发式方法选择，第二个乘子的迭代步长大致正比于，选择第二个乘子能够最大化。即当为正时选择负的绝对值最大的，反之，选择正值最大的。 最后的收敛条件是在界内（）的样例都能够遵循KKT条件，且其对应的只在

26、极小的范围内变动。 至于如何写具体的程序，请参考John C. Platt在论文中给出的伪代码。 13 总结 这份SVM的讲义重点概括了SVM的基本概念和基本推导，中规中矩却又让人醍醐灌顶。起初让我最头疼的是拉格朗日对偶和SMO，后来逐渐明白拉格朗日对偶的重要作用是将w的计算提前并消除w，使得优化函数变为拉格朗日乘子的单一参数优化问题。而SMO里面迭代公式的推导也着实让我花费了不少时间。 对比这么复杂的推导过程，SVM的思想确实那么简单。它不再像logistic回归一样企图去拟合样本点（中间加了一层sigmoid函数变换），而是就在样本中去找分隔线，为了评判哪条分界线更好，引入了几何间隔最大化

27、的目标。 之后所有的推导都是去解决目标函数的最优化上了。在解决最优化的过程中，发现了w可以由特征向量内积来表示，进而发现了核函数，仅需要调整核函数就可以将特征进行低维到高维的变换，在低维上进行计算，实质结果表现在高维上。由于并不是所有的样本都可分，为了保证SVM的通用性，进行了软间隔的处理，导致的结果就是将优化问题变得更加复杂，然而惊奇的是松弛变量没有出现在最后的目标函数中。最后的优化求解问题，也被拉格朗日对偶和SMO算法化解，使SVM趋向于完美。 另外，其他很多议题如SVM背后的学习理论、参数选择问题、二值分类到多值分类等等还没有涉及到，以后有时间再学吧。其实朴素贝叶斯在分类二值分类问题时，如果使用对数比，那么也算作线性分类器。