高一数学函数的基本性质知识归纳.doc

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1、,函数的基本性质知识框架高考要求函数的性质要求层次重点难点单调性C概念和图象特征熟知函数的性质和图象函数单调性的证明和判断简单函数单调区间的求法奇偶性B简单函数奇偶性的判断和证明复合函数的奇偶性判断与证明*抽象函数的奇偶性周期性B简单函数周期性的判断和证明复合函数的周期性判断与证明*抽象函数的周期性例题精讲板块一：函数的单调性（一）知识内容函数单调性的定义：如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数设函数在某区间内可导，若，则为的增函数；若，则为的减函数单调性的定义的等价形式：设，那么在是增函数；在是减函数；在是减函数复合函数单调性的判断：“同增异减”函数单调

2、性的应用利用定义都是充要性命题即若在区间上递增（递减）且（）；若在区间上递递减且（）比较函数值的大小可用来解不等式求函数的值域或最值等（二）主要方法1讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2判断函数的单调性的方法有：用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：取值：即设，是该区间内的任意两个值，且作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间用已知函数的单调性；利用函数的导数；如果在区间

3、上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；图象法；复合函数的单调性结论：“同增异减” ；复合函数的概念：如果是的函数，记作，是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集非空，则通过确定了是的函数，这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数注意：只有当外层函数的定义域与内层函数的值域的交集非空时才能构成复合函数奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性互为反函数的两个函数具有相同的单调性在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数函数在上单调递增；在上是单调递减3证

4、明函数单调性的方法：利用单调性定义；利用单调性定义（三）典例分析【例1】 如图是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【例2】 试用函数单调性的定义判断函数在区间上的单调性【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数【例4】 证明函数在定义域上是减函数【例5】 证明函数在定义域上是增函数【例6】 求下列函数的单调区间： ； （）【例7】 求下列函数的单调区间：； 【例8】 作出函数的图象，并结合图象写出它的单调区间【例9】 讨论函数的单调性【例10】 讨论函数在内的单调性拓展：若在是减函数，在上是增函数，则=_【例11】 讨论函数的

5、单调性【例12】 求函数的单调区间【例13】 设，是定义在有限集合上的单调递增函数，且对任何，有那么，（ ）A B C D【例14】 若是上的减函数，且的图象经过点和点，则不等式的解集为（ ）ABCD【例15】 函数（，）的递增区间是（ ）AB或 CD或【例16】 已知（且）是上的增函数则实数的取值范围是（ ）ABCD【例17】 已知是定义在上的增函数，且当时，则 【例18】 求函数，的最小值点评 由对函数的分析，可以很快得到函数的性质：函数为奇函数；函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数；函数在上有最小值为，在上有最大值为【例19】 求函数的最小值【例20】 求函数的最值

6、【例21】 已知是定义在上的增函数，且求证：，；若，解不等式【例22】 已知函数对任意实数，均有且当0时，试判断的单调性，并说明理由【例23】 已知给定函数对于任意正数，都有，且0，当时，试判断在上的单调性，并说明理由【例24】 设是实数，试证明对于任意，为增函数；试确定值，使为奇函数板块二：函数的奇偶性（一） 主要知识：1奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做奇函数；2偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，都有，那么函数就叫做偶函数3图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对

7、称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数4奇偶函数的性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；是偶函数的图象关于轴对称；是奇函数的图象关于原点对称；奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性为偶函数若奇函数的定义域包含，则（二）主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否定义域上的恒等式；图象法；性质法：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定

8、义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，（三）典例分析： 【例25】 判断下列函数的奇偶性：； ； ； 【例26】 判断下列函数的奇偶性： ； ； ； 【例27】 判断下列函数的奇偶性： ，其中且，为奇函数【例28】 判断下列函数的奇偶性并说明理由： 且； ； 【例29】 已知函数，当为何值时，是奇函数？【例30】 若是定义在上的奇函数，则=_；若是定义在上的奇函数，且对一切实数都有，则=_；设函数且）对任意非零实数满足，则函数是_（指明函数的奇偶性）【例31】 设是上的奇函数，且当时，那么当时，

9、=_【例32】 已知函数为上的奇函数，且当时求函数的解析式【例33】 图象关于对称，当时，求当时的表达式【例34】 设函数对于一切实数都有，如果方程有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_【例35】 已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数并证明你的判断对奇函数有没有相应的结论【例36】 已知是奇函数，是偶函数，且，求、【例37】 设函数的最大值为，最小值为，则与满足（ ）ABCD【例38】 已知（、为实数），且则的值是（ ）ABC3D随、而变【例39】 已知，则乘积函数在公共定义域上的奇偶性为（ ）A是奇函数而不是偶函数 B是偶函数而不是奇函数C既是奇函数又是偶

10、函数 D既非奇函数又非偶函数【例40】 函数与有相同的定义域，对定义域中任何，有，则是（ ）A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数【例41】 已知函数，当时恒有 求证：函数是奇函数；若，试用表示如果时，且试判断的单调性，并求它在区间上的最大值与最小值【例42】 已知都是奇函数，的解集是，的解集是，那么求的解集【例43】 已知函数是奇函数；（x0）是偶函数，且不恒为0，判断的奇偶性【例44】 已知是奇函数，是偶函数并且，则求与的表达式【例45】 函数为奇函数，则的取值范围是（ ）A或 B或C D【例46】 已知函数若、且，则（ ）A大于零B小于零C等于零D大于零或小于零【例47

11、】 函数在上有定义，且满足是偶函数；是奇函数；求的值【例48】 已知为上的奇函数，且在上是增函数求证：在上也是增函数；若，解不等式，【例49】 设函数（且对任意非零实数，恒有，求证：；求证：是偶函数；已知为，上的增函数，求适合的的取值范围板块三：函数的周期性 （一） 主要知识：1周期函数：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期2几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数），则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为

12、周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数，则是以为周期的周期函数，则是以为周期的周期函数函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；（二）主要方法：1判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有；二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集2解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值（三）典例

13、分析： 【例50】 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称图形，且满足，那么，的值是（ ）A1B2CD【例51】 定义在上的函数满足，且函数为奇函数给出以下3个命题：函数的周期是6；函数的图象关于点对称；函数的图象关于轴对称，其中，真命题的个数是（ ）A3B2C1D0【例52】 已知为定义在区间，上以2为周期的函数，对，用表示区间，已知时，求在上的解析式；对自然数k，求集合使方程在上有两个不相等的实根【例53】 已知函数对于任意，都有，且求证：为偶函数；若存在正数m使得，求满足的1个T值（T0）【例54】 设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称且对任意，都有，求及；证明是周期函数；记，求【例55】 函数在上有意义，且满足：是偶函数；是奇函数，求【例56】 是定义在R上的函数，对任意的xR，都有和，设，求证是周期函数；如果f（998）=1002，求f（2000）的值