二次根式综合理解练习(二).doc

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1、,第十一章 二次根式综合练习【例题精选】：例1：x取什么实数时，下列各式有意义？（1）（2）（3）分析：因为二次根式中，被开方数a必须是非负数。即：，据此，可以确定被开方数中字母的取值范围。解：（1）有意义；（2）；（3）是非负数，不论取任何实数总有。为任意实数时，都有意义；例2：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（1）（2）（3）（4）（5）分析：由二次根式定义：中，必须大于等于0，所以只要判断二次根号内的被开方数是非负数即可。解：（1）是二次根式；（2）不是二次根式；（3）是二次根式；（4）不是二次根式；（5）不是二次根式。例3：写出下列各等式成立的条件：（1）（2）（3）（4）（5）

2、分析：本题考察算术平方根的概念，二次根式的定义、性质及公式成立的条件，所取x的值一定要使等式左、右两边都能成立；解：（1）（2）由二次根式性质知：（3）由得：（4）由例4：如果求的算术平方根。分析：因为是非负数。也是非负数，而它们的和等于0，所以只有。解：由题意，得：例5：计算：（1）（2）（3）（4）分析：利用可直接计算（1）（2）小题， 由积的乘方可计算（3）（4）小题；解：（1）（2）（3）（4）例6：化简下列各式：（1）（2）已知，化简（3）（4）已知化简分析：要根据已知字母的取值范围，判断二次根式的被开方数是正数的平方还是负数的平方，再由二次根式及绝对值的性质进行化简。解：（1）例7

3、：化简：（1）（2） 分析：如果一个二次根式的被开方数中有完全平方形式的因式（或数）则要利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或数）开出来。解：注意：在二次根式的化简与计算中，凡是被开方数是多项式的，必先进行因式分解，再利用根式乘法法则进行计算，如果题目中没有给出字母的取值范围，则需要讨论，如上题。当时，及当，即为讨论。例8：把根号外的因式移入根号内。分析：由二次根式的性质，如果被开方数中有的因式能开的尽，那么这些因式可用它们的算术平方根代替而移到根号外面，本题须利用上述开方的逆运算。根据及把根号外面的非负因式平方后移至根号里面；由被开方数，所以把移至根号里边时，外面要加负号。解：例9：计算：

4、（1）（2）解：（1）（2）例10：计算（1）（2）分析：首先中，被开方数是，它们是求差的运算。 所以：是错误的。 对于根号内的被开方数要进行计算或因式分解。 特别是根号内的被开方数能因式分解时，比直接计算要容易。解：（1）（2）例11：计算（1）（2）解：（1）（2）例12：计算：（1）（2）（3）（4）分析：利用二次根式的乘法法则，把各被开方数相乘，运算时应先对各被开方数进行因数分解，这样可以简化运算过程；计算（3）（4）两个小题时，我们这里也要执行教科书的规定：“在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数”。后面的例题、习题也要执行这个规定。解：（1）或：原式（2）（3）（4）注意：

5、在做二次根式的乘法或除法运算时，一般情况下，不必化简，直接放在根号内进行乘，除运算，反而容易。例13：计算（1） （2）分析：当我们看到这样复杂的习题时，首先要有耐心，进行认真观察，只要运算程序清楚，这样的题的难度立刻就小多了；看运算符号。把根号外的系数分别相乘。把被开方数分别相乘；明白了这样的程序以后，直接解题即可。解：（1）原式 或：原式=注意：要把分母中的根号化去或把根号内的分母化去。（2）原式= 例14：计算：（1） （2）分析：本题类似于多项式乘法，因此，可以利用多项式乘法法则，转化为两个二次根式相乘，再把所得的积相加；解：（1）（2）例15：计算：分析：经过认真观察，不难发现第（1

6、）小题满足平方差公式，第（2）（3）小题用完全平方公式。解： （2）（3）注意：（2）中你能由得到吗？例16：计算：（1）（2）分析：只要把被开方数和二次根式的系数分别相除即可。解：（1）（2）例17：把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）分析：分母有理化指的是把分母中的根号化去，有效办法是分子、分母都乘以分母的有理化因式。解：（1）（2）（3）（4）注意：的有理化因式是。即：单根号的有理化因式是它本身。的有理化因式是，即：差的有理化因式是和，反之，和的有理化因式是差，例如：的有理化因式是。例18：已知，的整数部分为，小数部分为，求的值。分析：若求出的值，关键在于确定、的值。也就是要把的

7、整数部分及小数部分求出。解：【综合练习】：一、选择题：1、下列各式中，一定能成立的是ABCD2、如果是二次根式，那么应适合的条件是ABCD3、等式成立，那么x为ABCD4、成立，那么x为A BCD5、若那么为ABCD为任意实数6、当时，化简的结果是ABCD7、下列各式中，正确的是ABCD8、能使成立的的取值范围是ABCD9、若，则ABCD10、对式子作恒等变形，使根号外不含字母m，正确的结果是ABCD11、若有意义，则x的取值范围是ABCD为全体实数12、设，则的值是ABCD13、下列计算过程和结果正确的是ABCD14、若有意义，则应满足的条件是ABCD二、求的取值范围，使下列各式在实数范围内

8、有意义。1、2、3、4、5、6、三、计算：1、2、3、4、5、6、四、把下列各式分母有理化：1、2、3、4、5、【答案】：一、选择题：1、A2、由已知得，。又：分子是4。不可能等于零，当时。说明分子、分母取异号，。，选C。3、B4、，显然成立，时，结论是否成立呢？由0的相反数仍旧是零，得出结论，成立，选B。5、D6、原式，选A。7、C8、A9、，选D。10、首先解释恒等变形：指的是m不论取什么样的实数，等号左、右两部分都相等；由。当把根号外的m移到根号内时，应是所以选C。11、有意义。指的是，选C。12、B13、A显然错；当取全体实数时，不成立。 ，C不可能成立。所以应选D，以上用的是排除法，

9、应注意体会和使用。14、由得，由得分母不等于零，即：，应满足，选A。二、1、2、3、4、由分子得：，由分母得：。的取值范围是。5、6、三、计算：1、2、3、4、5、6、四、1、2、3、4、5、解法一： 解法二：各位同学，以上的概念题和计算题都做对了吗？特别是第3题中的乘除法计算，要明白解题程序，即：系数相乘（或相除）这里包括符号；被开方数相乘（或相除），希望你通过这部分习题练习，能够提高分析问题能力以及你的计算能力。【综合练习二】：一、选择题：（每小题4分，共40分）1、如果是二次根式，那么应适合的条件是ABCD2、成立，那么的取值范围是ABCD3、若那么应满足ABCD4、若，那么为ABCD为

10、任意实数5、下列各式中正确的是ABCD（均为任意实数）6、若有意义，则应满足的条件是ABCD以上都不对7、设x为任意实数，则下列各式一定成立的是ABCD8、如果那么的取值范围是ABCD9、如果，那么等于ABCD10、把分母有理化的结果是ABCD二、计算：（每小题5分，共30分）1、2、3、4、5、6、三、把下列各式分母有理化：（每小题5分，共30分）1、2、3、4、5、6、完成自我检测题后，请与下面的答案核对，并自己给出成绩，你能得满分吗？若不能，希望你不要泄气，继续争取。【答案】：一、1、由题意，得：。又因为分子是常数3，只有。，选D。2、是非负数。 ，选B。3、与（2）类似，选A。4、D5

11、、利用排除法：A、C错，显然；D中，当时，右边，也是不成立的，选B。6、由得：，由得：的取值范围是，选C。7、利用排除法，A、C、D都是错的，选B。8、显然：被开方数0，又由根号内移到根号外变为，则。的取值范围是，选D。9、直接计算即可：。 ，又。选D。10、B二、1、302、3、4、5、6、此题应注意观察：是两数之差与两数之和， 若把分解为后，则原式= 三、1、2、3、4、5、6、【综合练习三】：一、选择题：1、计算的结果是ABCD2、若成立，则为ABCD3、已知，那么的值是ABC10D154、已知那么的值是ABCD二、已知，若取整数值，则的值是多少？三、求使为实数的实数的值。四、化简：1、

12、2、 3、五、已知，求的值六、已知，求的值七、已知的小数部分是，的小数部分是，求4b3a + ab7的值。八、若，求证：【解法分析】：1、（1）应考虑把它们分别有理化；选D。（2）解法一：由题意知：。可选则大于1的数化入进行验算，例如取。这样，A、B、D排除，只有：C正确；解法二：认真观察等号左边的结构，方程两边直接平方：3、认真观察，结合已知应该把它们分别乘以2后，再因式分解，即可。4、此题的思路是怎样出现呢？直接解出可行，但比较麻烦，有没有更简单的方法呢？这里介绍二种方法：解法一：两边平方： 注意：此题的解法思路是在上加一个构成完全平方式。2、由题意得：由（1）得：或是（1）的解集。由（2）得：，此不等式组无解。（1）（2）要同时成立，的取值范围是4、从（1）中显然可以看出，有意识的给出了解题思路。根号内满足平方数的形式；（1） （2）从上题的解法中，可知，应该把7拆成4和3。 （3）认真观察后，就会发现最后两个因式满足平方差公式。6、由已知，得：这是非负数的和等于0。只有：7、由知：8、由