第13讲-充分必要条件与子集推出关系.doc

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1、,第十三讲：充分、必要条件与子集推出关系【复习要求】1理解命题的概念。2理解四种命题之间的内在联系；3掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义及判定；【复习重点】1. 充分条件、必要条件的概念。2. 子集与推出关系等价性的理解与应用；3. 掌握判断命题推出关系的方法。【复习难点】1. 判断命题的充分条件、必要条件。2. 子集与推出关系等价性的证明；3. 确定参数范围和判断推出关系。【知识梳理】一、充分条件与必要条件我们在上一节课学习了命题与推出的关系，命题的四种形式，等价命题，你能分别概括出它们的内容和性质吗？如：写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若，则, （2）若，

2、则.易得出结论；命题(1)为真命题，命题(2)为假命题讨论：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题如何判断其真假的？我们将由此推出关系，引入新的概念：给出定义：命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q这时，我们就说，由p可推出q，记作：pq1、充分与必要条件的概念：（1） 充分条件：若，则是的充分条件；（2） 必要条件：若，则是的必要条件；（3） 充要条件：若既有，又有，则是的充分必要条件，

3、简称充要条件，也是的充要条件。2、推出关系具有传递性：若，则，若，则，称与等价。3、充要条件的证明：证明过程必须是“双向”的，即：既要由条件推出结论（充分性），又要由结论推出条件（必要性）。4、四种命题形式如果原命题或原命题的逆否命题成立，则原命题的条件是结论成立的充分条件；如果原命题的否命题或逆命题成立，则原命题的条件是结论成立的必要条件；如果四种命题形式都成立，那么原命题的条件是结论成立的充要条件；若四种命题形式都不成立，那么原命题的条件是结论成立的既不充分也不必要条件。二、子集与推出关系思考：问题1：用“”，“”，“”，“”填空：=；=命题：；命题： ；命题 命题 提问：通过以上例题，对

4、集合间关系和推出关系你能得出什么结论？问题2: 命题: 是命题:的 充分不必要 条件命题: 是命题: 的 必要不充分 条件问题3：请写出的一个充分条件:请写出的一个必要条件: 提问：你是如何找到这个条件的？（学生容易得出“小范围的能推出大范围的”这一直观朴素的结论，这种口语化的表述还需进一步用准确的数学语言来表达，引导学生用集合间的 “包含”或“包含于”的关系来刻画“范围”的大小关系）从上面的例子我们发现是的充分条件，即，如果将满足的元素组成集合，即,将满足的元素组成集合，即,可以得到：如果，那么，反之亦然。所以子集和推出关系之间有着必然的联系，这就是本节课研究的子集与推出关系。4、子集与推出

5、关系：设，则 与 等价。5、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合若则是的充分条件；若则是的充分不必要条件；若则是的必要条件；若则是的必要不充分条件；若，则是的充要条件；若则是的既不充分也不必要条件；6、推出关系具有传递性：若，则，若，则，称与等价。设，则集合、之间的关系与、之间的关系，可用下表表示：集合之间的关系与之间的推出关系是的什么条件原命题“若，则”的真假逆命题“若、则”的真假，充分非必要条件真命题假命题，必要非充分条件假命题真命题充要条件真命题真命题不满足以上三种情况，既非充分又非必要条件假命题假命题【典型例题】例1、若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的（ D

6、 ）A原命题 B逆否命题 C逆命题 D否命题例2、已知p：是方程的两根，q：，则p是q的（ A ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件例3、判断下列各命题中是成立的什么条件：（1）：；：； （2）：；：（3）或；（4）设，： ，：（5）已知，；。（6）已知，解：(1)设， AB, 是的充分非必要条件。（2）设，,，AB, 是的必要非充分条件。（3）必要非充分条件； （4）是的必要不充分条件（5）既不充分也不必要条件（6）因为，或，所以，是的充分非必要条件例4、已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？分

7、析 画出关系图121，观察求解解 s是q的充要条件；(srq，qs)r是q的充要条件；(rq，qsr)p是q的必要条件；(qsrp)例5、求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是证明略例6、设，是的充分条件，求的范围。解：设，因为是的充分条件，即，所以由右图可得，解得 所以的取值范围是。变式练习：设，是的充分条件，求的范围。解：设，是的充分条件，即，画数轴分析可得或，解得或所以的取值范围是或。例7、试用子集与推出关系判断是（甲是乙）的什么条件：（1）：；：（2）：；：（3）甲：，乙：（4）设，甲： ，乙：解：(1)设， AB, 是的充分非必要条件。(2) 设，,，AB, 是的必要非充分条件。（

8、3）甲是乙的充分必要条件（4）甲是乙的必要不充分条件例8、利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件。写出的充分条件写出的必要条件写出的充要条件 解：答案不唯一例9、判断集合，之间的关系。解：设，。例10、设集合 ，那么“”是“”的（ B ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件例11、“”是“”的（ A ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件例12、若命题是命题的充要条件，命题是命题的必要非充分条件，则命题是命题的_ 条件。解：设命题对应的集合为A，命题对应的集合为B，命题对应的集合

9、为CA=B是的充要条件，C又是的必要非充分条件，所以是的充分非必要条件。例13、设A、B、C三个集合，AB是A(BC)的 A A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析 可以结合图形分析请同学们自己画图A(BC)但是，当BN，CR，AZ时，显然A(BC)，但AB不成立，综上所述：“AB”“A(BC)”，而“A(BC)”“AB”即“AB”是“A(BC)”的充分条件(不必要)【课后作业】充分与必要条件A组1或的一个充分非必要条件是（ B ） （A） （B） （C） （D）2若条件p:，条件，则是的（ A ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3设是的（

10、 A ）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4. 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的（ B ）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件5. 试说明是的什么条件。（1）且 ； （2） ； （3） ； 解：（1）充分非必要条件；（2）必要非充分条件；（3）充分非必要条件6 设，是的充分条件，求实数的取值范围。 解：7（1）是否存在实数，使得是的充分条件？（2）是否存在实数，使得是的必要条件？解：欲使得是的充分条件，则只要或，则只要即，故存在实数时，使是的充分条件（2）欲使是的必要条件，则只要或，则这是不可能

11、的，故不存在实数时，使是的必要条件8. 已知求证：必要性：， = 充分性：，即 得或=0 只有，既有 综上所述 9. 已知命题： 命题：，且是的充分条件，求实数m的取值范围。解： 3m-12 -m4 3m-1-m m1 m-4 m 综上所述：m-410. 求证：，是的什么条件？解：1）将充要条件和不等式同解变形相联系2）可用分类讨论求解，注意不重不漏。可得为充分条件，证明略11. 设m0，且为常数，已知条件p：，条件q：x或x，若是的必要非充分条件，求实数m的取值范围.解：设集合Ax|2mx2m，Bx|x或x.由题设有pq且q不能推出p，所以AB.因为m0，所以(2m，2m)(，)，故由2m且

12、2m0m2，故实数m的取值范围为(0，2.B组1. 设原命题“若则”真而逆命题假，则是的（A）充分不必要条件 必要不充分条件充要条件 既不充分又不必要条件2. “”的否定是（ D ）A. B. C. D. 3. 命题P“如果”的否命题是（ C ）A. B. C. D. 4. 下列各组的两个命题互为等价命题的是（ A ）A. B. C. D. 5. 设 其中真命题的序号是_； 解：反例：6. 条件甲：的两根，条件乙： 且，则甲是乙的（A）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件7. 是的_必要不充分_条件8. 已知，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围解：由得由，由是的必要而

13、不充分条件知故的取值范围为9. 设，求使的充要条件答案：10. 求方程有实根的充要条件答案：11. 已知关于x的一元二次方程：求方程（1）和（2）都有整数解的充要条件。（）解：（1）有解，则，（2）有解，则，又，检验后：12、已知p：2x10，q：1mx1+m，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。解：【课后作业】子集推出关系A组1若非空集合，则“或”是“”的 条件 必要非充分2. 一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ A ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 如果都是实数，那么： ，是：关于x的方程有一个正根和一个负根的

14、（ C ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 是的充要条件的是：（ C ）A： ，：二元一次方程组有唯一解B. ：两条对角线互相垂直平分 ，：四边形是正方形C： ，：D. ：两个三角形相似 ，：两个三角形面积之比等于对应的高之比5. 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的（ ）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析 通过B、C作为桥梁联系A、D解 A是B的充分条件，ABD是C成立的必要条件，CD 由得AC 由得ADD是A成立的必要条件选B6. 命题“”的一个必要不充分条件是（

15、 B）7. （1）“有实根”是“”的_；（2）“”是“”的_答案：（1）必要不充分条件， （2）充分不必要条件8. 已知是的充分条件，是的充要条件，是的充分条件，是是必要条件，则是的_条件答案：必要不充分条件9. 判断下列集合A与B的关系(1) Ax | x 是12的约数，Bx | x 是36的约数；(2) Ax | x3，Bx | x5；(3) Ax | x 是矩形，Bx | x 是有一个角为直角的平行四边形解：(1) 因为 x 是12的约数 x 是36的约数，所以 A B(2) 因为 x5 x3，所以 B A(3) 因为 x 是矩形 x 是有一个角为直角的平行四边形，所以 A B10. 已

16、知 Ax | x 是等腰三角形，Bx | p(x)，试确定一个集合B，使A B解：因为 A B，则x是等腰三角形 x具有性质p(x)，p(x)：x是三角形，所以 Bx | x是三角形11. 试用子集与推出的关系来说明是的什么条件。 （1）且 ； （2） ； （3） ； 解：（1）充分非必要条件；（2）必要非充分条件；（3）充分非必要条件12 设，是的充分条件，求实数的取值范围。 解：13. 设，是方程x2axb0的两个实根，试分析a2且b1是两根，均大于1的什么条件？分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需qp（2）举反例，取上述讨论可知：a2，b1是1，1的必要但不充分条件

17、B组 1. 设原命题“若则”真而逆命题假，则是的（A）充分不必要条件 必要不充分条件充要条件 既不充分又不必要条件2. 设，则的一个必要不充分条件是（A）3. 如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（A）必要不充分条件充分不必要条件充要条件既不充分也不必要条件4. 设集合，那么“或”是“”的（B）充分条件但非必要条件 必要条件但非充分条件充分必要条件 非充分条件，也非必要条件5. 若是的充分不必要条件，则是的（B）充分不必要条件必要不充分条件充要条件 既不充分也不必要条件6. 条件甲：的两根，条件乙： 且，则甲是乙的（A）充分不必要条件必要不充分条件充要条件 既不充分也不必要条件7. 是的_必要不充分_条件8. 已知，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围解：由得所以“”：由，所以“”：由是的必要而不充分条件知故的取值范围为9. 设，求使的充要条件答案：10. 求方程至少有一个负根的充要条件答案：11. 求关于x的方程的两个实根都大于1的充要条件答案: k-2 12. 已知命题P：方程有两个不相等的正根；Q：方程无实根.(1)若P或Q为真，P且Q为假，求的取值范围.(2)若P或Q为真,非P为真，求的取值范围。答案：（1）（2）