椭圆与双曲线的对偶性质92条.doc
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1、,椭圆与双曲线的对偶性质92条椭 圆12标准方程:34点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.5PT平分PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.6以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8设A1、A2为椭圆的左、右顶点,则PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆,必与A1A2所在的直线切于A2(或A1).9椭圆(abo)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.10若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.11若在椭圆外 ,则过Po作
2、椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.12AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦,M为AB的中点,则.13若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是.14若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.15若PQ是椭圆(ab0)上对中心张直角的弦,则.16若椭圆(ab0)上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .17给定椭圆:(ab0), :,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(.(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.18设为椭圆(或圆)C: (a0,. b0)上一点,P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P
3、2斜率存在,记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是.19过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).20椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为, .21若P为椭圆(ab0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则.22椭圆(ab0)的焦半径公式:,( , ).23若椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0e时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24P为椭圆(ab0)上任一点,F1,F2为二
4、焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.25椭圆(ab0)上存在两点关于直线:对称的充要条件是.26过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28P是椭圆(ab0)上一点,则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.29设A,B为椭圆上两点,其直线AB与椭圆相交于,则.30在椭圆中,定长为2m(oma)的弦中点轨迹方程为,其中,当时, .31设S为椭圆(ab0)的通径,定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动,记|AB|=,是AB中点,则当时,
5、有,);当时,有,.32椭圆与直线有公共点的充要条件是.33椭圆与直线有公共点的充要条件是.34设椭圆(ab0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在PF1F2中,记, ,,则有.35经过椭圆(ab0)的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则.36已知椭圆(ab0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是.37MN是经过椭圆(ab0)过焦点的任一弦,若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦,则.38MN是经过椭圆(ab0)焦点的任一弦,若过椭圆中心O的半弦,则.39设椭圆(a
6、b0),M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心,顶点外的任一点,过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点,则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线:(或)上.40设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MFNF.41过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MFNF.42设椭圆方程,则斜率为k(k0)的平行弦的中点必在直线:的共轭直线上,而且.43设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直
7、线的倾斜角分别为,直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则.44已知椭圆(ab0),点P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点,的外(内)角平分线为,作F1、F2分别垂直于R、S,当P跑遍整个椭圆时,R、S形成的轨迹方程是().45设ABC内接于椭圆,且AB为的直径,为AB的共轭直径所在的直线,分别交直线AC、BC于E和F,又D为上一点,则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.46过椭圆(ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.47设A(x1 ,y1)是椭圆(ab0)上任一点,过A作一条斜率为的直线L,又设d是原点到直线 L的距离, 分别是A到椭
8、圆两焦点的距离,则.48已知椭圆( ab0)和( ),一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点,则AB=|CD.49已知椭圆( ab0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.50设P点是椭圆( ab0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .51设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点,A为椭圆长轴的左顶点,连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN:于M,N两点,则.52L是经过椭圆( ab0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线,E、F是椭圆两个焦点,e是离心率,点,若,则是锐角且或(当且仅当时取等号).53L是椭圆( a
9、b0)的准线,A、B是椭圆的长轴两顶点,点,e是离心率,H是L与X轴的交点c是半焦距,则是锐角且或(当且仅当时取等号).54L是椭圆( ab0)的准线,E、F是两个焦点,H是L与x轴的交点,点,,离心率为e,半焦距为c,则为锐角且或(当且仅当时取等号).55已知椭圆( ab0),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点,将A、B与椭圆左焦点F1连结起来,则(当且仅当ABx轴时右边不等式取等号,当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56设A、B是椭圆( ab0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,, ,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3) .57设A、B
10、是椭圆( ab0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点,且、的横坐标,(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,则;(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点,则.58设A、B是椭圆( ab0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点),外部的两点,(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,(若B P交椭圆于两点,则P、Q不关于x轴对称),且,则点A、B的横坐标、满足;(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,且,则点A、B的横坐标满足.59设是椭圆的长轴的两个端点,是与垂直的弦,则直线与的交点P的轨迹是双曲线.60过椭圆( ab0)的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则.61到椭圆
11、( ab0)两焦点的距离之比等于(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆.62到椭圆( ab0)的长轴两端点的距离之比等于(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆.63到椭圆( ab0)的两准线和x轴的交点的距离之比为(c为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(e为离心率).64已知P是椭圆( ab0)上一个动点,是它长轴的两个端点,且,,则Q点的轨迹方程是.65椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66设椭圆( ab0)长轴的端点为,是椭圆上的点过P作斜率为的直线,过分别作垂直于长轴的直线交于,则(1).(2)四边形面积的最小值是.67已知椭圆( ab0)
12、的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.68OA、OB是椭圆( a0,b0)的两条互相垂直的弦,O为坐标原点,则(1)直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.69是椭圆(ab0)上一个定点,P A、P B是互相垂直的弦,则(1)直线AB必经过一个定点.(2)以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(且).70如果一个椭圆短半轴长为b,焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2,那么(1),且F1、F 2在同侧直线L和椭圆相切.(2),且F1、F2在L同侧直
13、线和椭圆相离,(3),或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.71AB是椭圆(ab0)的长轴,是椭圆上的动点,过的切线与过A、B的切线交于、两点,则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.72设点为椭圆( ab0)的内部一定点,AB是椭圆过定点的任一弦,当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时.当弦AB垂直于长轴所在直线时, .73椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77椭圆焦三角形中
14、,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83椭圆焦三角形中,过任一焦点
15、向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆(包括圆在内)上有一点,过点分别作直线及的平行线,与直线分别交于,为原点,则:.(1);(2
16、).90. 过平面上的点作直线及的平行线,分别交轴于,交轴于.(1)若,则的轨迹方程是.(2)若,则的轨迹方程是.91. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则:.92. 点为第一象限内一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,已知,则的轨迹方程是.双曲线12标准方程:34点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.5PT平分PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.6以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7以焦点半径PF1为直径的圆必与以实
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- 关 键 词:
- 椭圆 双曲线 对偶 性质 92
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