直线与椭圆的位置关系收集.doc

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1、,直线与椭圆的位置关系专题一、直线与椭圆相交的求值问题：1已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为（）设，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，即，解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为2如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2当AC垂直于x轴 时，恰好|AF1|

2、:|AF2=3:1（I）求该椭圆的离心率；（II）设，试判断l1+l2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由xyABCOF1F2解：（I）当C垂直于x轴时，由，得，在Rt中，解得 =（II）由=，则，焦点坐标为，则椭圆方程为，化简有设，若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为代入椭圆方程有由韦达定理得：， 所以，同理可得故l1+l2= 若直线轴， l1+l26 综上所述：l1+l2是定值63(2008，安徽卷，22)设椭圆过点，且着焦点为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.解：(1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为

3、(2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2）又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）2并结合（3），（4）得即点总在定直线上方法二设点，由题设，均不为零且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即点总在定直线上4如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆 过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点连结交小圆于点设直线是小圆的切线（1）证明：，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于，两点，证明

4、解：（）由题设条件知，RtOFARtOBF故，即故，在RtOFA中 直线OA的斜率.设直线BF的斜率为，则.直线BF与轴的交点为 ()由（），得直线BF得方程为且 设、，由得 由得 注意到，得 5有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求ABM的面积解：（1）设M点M在MA上 同理可得由知AB的方程为易知右焦点F（）满足式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（）8分（2）把AB的方程又M到AB的距离ABM的面积6已知点A(1，0)、B(1

5、，0)和动点M满足：，且，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点(1)求曲线C的方程；(2)求APQ面积的最大值19(1)解：设M (x，y)，在MAB中，| AB | = 2，即 因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a = 2，c = 1曲线C的方程为(2)解法一：设直线PQ方程为 (R)由 得： 显然，方程的，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有 令，则t3， 由于函数在3，)上是增函数，故，即S3APQ的最大值为3解法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则当直线PQ的斜率不存在时，易知S = 3设直线PQ方程为由 得： 显然，方程的0，则 令，则，即S3APQ的

6、最大值为37设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行.(1)求椭圆的离心率；(2)设入射光线与右准线的交点为B，过A，B，F三点的圆恰好与直线3x一y+3=0相切，求椭圆的方程解:因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为，即，所以，所以椭圆的离心率为由知，可得，又，所以过三点的圆的圆心坐标为，半径， 因为过三点的圆恰好与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，得， 14分所以，所以椭圆的方程为8已知椭圆：1（）的左右焦点为，离心率为. 直线与轴轴分别交于点，是直线与椭圆的一个公共点，是点关于直线的对称点，设（）证明：

7、；（）确定的值，使得是等腰三角形解：（）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是. 所以点M的坐标是（）. 由即 证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以 因为点M在椭圆上，所以 即 解得（）解法一：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即设点F1到l的距离为d，由 得 所以 即当PF1F2为等腰三角形.解法二：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是，则由

8、|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2，化简得 从而于是. 即当时，PF1F2为等腰三角形9已知椭圆（ab0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O（0，1），半径r=3 设正方形的边长为p，则，又O是正方形ABCD的中心，O到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4 （1）设AB：y=x-2 由 y=x-2 CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0 得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆

9、上，a2=12，b2=4，椭圆的方程为 （2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得，此时b2a2（舍去）综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为10如图，在直角坐标系中，已知椭圆的离心率e，左右两个焦分别为过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1 () 求椭圆的方程；() 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上. 解：()轴，,由椭圆的定义得：， 又得 ， 所求椭圆C的方程为 ()由（）知点A(2,0)，点B为（0，1），设点P的坐标为则，,由4得，点P的轨迹方

10、程为. 设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，解得：， 点在椭圆上， ，整理得解得或 点P的轨迹方程为或， 经检验和都符合题设，满足条件的点P的轨迹方程为或 11椭圆：的两个焦点为、，点在椭圆上，且，且，.（1）求椭圆的方程.（2）若直线过圆的圆心，交椭圆于、两点，且、关于点对称，求直线的方程.解：(1)又（2） 即12在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且MF2=（）求C1的方程；（）平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程解：（）由：知设，在上

11、，因为，所以，得，在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率设的方程为由 消去并化简得 设，因为，所以 所以此时，故所求直线的方程为，或13已知定点A（2，0），动点B是圆（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P. （1）求动点P的轨迹方程； （2）是否存在过点E（0，4）的直线l交P点的轨迹于点R，T，且满足 （O为原点），若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由.解：（1）由题意：|PA|=|PB|且|PB|PF|=r=8|PA|PF|=8|AF|P点轨迹为以A

12、、F为焦点的椭圆设方程为（2）假设存在满足题意的直线l，其斜率存在，设为k，设14设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程解：（1）由题设知由于，则有，所以点A的坐标为，故所在直线方程为，所以坐标原点O到直线的距离为，又，所以，解得，所求椭圆的方程为（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，设，由于，解得 又Q在椭圆C上，得，解得，故直线l的方程为或， 即或 15椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F（c,0）（c0）的准线（准线

13、方程x,其中a为长半轴，c为半焦距）与x轴交于点A，过点A的直线与椭圆相交于点P、Q（1） 求椭圆方程；（2） 求椭圆的离心率；（3） 若，求直线PQ的方程解：（1）由已知得，解得：所求椭圆方程为（2）因，得（3）因点即A（3，0），设直线PQ方程为则由方程组，消去y得：设点则因，得，又，代入上式得，故解得：，所求直线PQ方程为16已知常数m 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以a+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以b- 4a为方向向量的直线交于点P，其中R(1) 求点P的轨迹E；(2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(

14、k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，试说明理由解(1) a+b = ( m,)， 直线AP方程为；又b - 4a =(m, - 4), 直线NP方程为；由、消去得 ，即 故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x2 + y2 = 4；当m 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆：当0 m 3 设椭圆上任意一点为，则由条件可以整理得：对任意恒成立，所以有：或者解之得： 26已知在平面直角坐标系中，向量，且 .（1）设的取值范围；（2）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆

15、经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由，得 夹角的取值范围是（）（2） 当且仅当椭圆长轴故所求椭圆方程为.7如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于A、B两个不同点.（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形. 解：（1）设椭圆方程为则椭圆方程 （2）直线l平行于OM，且在轴上的截距为m又l的方程为：由直线l与椭圆交于A、B两个不同点，m的取值范围是 （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1k2=0即可设可得而k1k2=0故直线M

16、A、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.8已知向量，经过定点且方向向量为的直线与经过定点且方向向量为的直线交于点M，其中R，常数a0.（1）求点M的轨迹方程；（2）若，过点的直线与点M的轨迹交于C、D两点，求的取值范围.设点，又，故，消去参数，整理得点的轨迹方程为（除去点）（2）由得点M轨迹方程为（除去点），若设直线CD的方程为，则由消去y得，显然，于是，设，因此即若直线轴，则，于是，综上可知9设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足记动点P的轨迹为C（I） 求轨迹C的方程；（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围解：（I）设P（x，y），因

17、为A、B分别为直线和上的点，故可设，又，即曲线C的方程为（II） 设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y16）= (s，t16) 故， M、N在曲线C上， 消去s得 由题意知，且， 解得 又 ， 解得 （） 故实数的取值范围是（）10如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点（1）是否存在k，使对任意m0，总有成立？若存在，求出所有k的值；（2）若，求实数k的取值范围解：（1）椭圆C：1分直线AB：yk（xm）,，（10k26）x220k2mx10k2m215m20设A（x1,y1

18、）、B（x2,y2）,则x1x2，x1x2则xm若存在k,使为ON的中点，即N点坐标为 由N点在椭圆上，则即5k42k230k21或k2（舍）故存在k1使（2）x1x2k2（x1m）（x2m）（1k2）x1x2k2m（x1x2）k2m2（1k2）由得即k21520k212,k2且k011已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值解：（）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则，所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得所以直线的方程为，即

19、（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得，所以12已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使 （1）求椭圆C的方程； （2）若PQ为过椭圆焦点F2的弦，且内切圆面积最大时实数的值. 解：（1）据题意，设椭圆C的方程为 ，直线x=4 为椭圆C的准线， 又， M为椭圆C短轴上的顶点，F1MF2为等边三角形且，椭圆C的方程为 （2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，则直线PQ的方程为，代入椭圆C的方程，消去x的并整理得： 则设4k2+3=t，则t3

20、，此时综上，直线PQ与x轴垂直时，PF1Q的面积最大，且最大面积为3. 设PF1Q内切圆半径为r，则时，PF1Q内切圆面积最大，此时不存在，直线PQ与x轴垂直，13已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（I）求椭圆的方程；（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.解：（） 直线相切， 椭圆C1的方程是 （）MP=MF2，动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 点M

21、的轨迹C2的方程为 （）Q（0，0），设 ，化简得 当且仅当 时等号成立 当的取值范围是14椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点.（1）如果点A在圆（c为椭圆的半焦距）上，且|F1A|=c，求椭圆的离心率；（2）若函数的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），求的取值范围解：（1）点A在圆，由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a， （2）函数 点F1（1，0），F2（1，0）， 若， 若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）由（*）方程（*）有两个不同的实根.设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的

22、两个根 由知15设椭圆E：，O为坐标原点（）求椭圆E的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由解：（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为

23、或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 16如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.解：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一：()设M，N为

24、短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形， 所以, 即1 因此，椭圆方程为 ()设 ()当直线 AB与x轴重合时， ()当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：整理得所以因为恒有，所以AOB恒为钝角.即恒成立. 又a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以a0,解得a或a,综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入=1.因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2

25、,2(1+yA2)1，即1,解得a或a.（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.设直线AB的方程为y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2=(1+k2).由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b20时，不合题意；当a2- a2 b2+b2=0时，a=;当a2- a2 b2+b20时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)0,解得a2或a2（舍去），a，因此a.综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.17在直角坐标系中,点到两点的距离之和为4,设点的轨迹为,直线与交于两点.写出的方程;若,求的值;若点在第一象限,证明:当时,恒有.解： （）设P（x,y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦长，长半轴为2的椭圆.它的短半轴 故曲线C的方程为 （）设，其坐标满足 消去y并整理得 3.0，故 若即面化简得所以 （） 因为A在第一象限，故x10.由知从而又故即在题设条件下，恒有 18已知A、B、C是椭圆