家家学网络名师小班辅导备课教案-二次函数解析式.doc

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1、,第二讲二次函数的解析式中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数能根据实际情境了解二次函数的意义；会利用描点法画出二次函数的图像能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；能从函数图像上认识函数的性质；会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题知识点睛一、二次函数的图像与系数关系1. 决定抛物线的开口方向： 当时抛物线开口向上；当时抛物线开口向下决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小； 越小，抛物线开口越大.注：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开

2、口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反.2. 和共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：）当时，抛物线的对称轴为轴；当同号时，对称轴在轴的左侧；当异号时，对称轴在轴的右侧.3. 的大小决定抛物线与轴交点的位置.（抛物线与轴的交点为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴.二、二次函数的三种表达方式（1）一般式：（2）顶点式：（3）双根式（交点式）：2.如何设点： 一次函数（）图像上的任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点. 二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点 点关于的对称点为4.如何设解析式：

3、已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式； 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式； 已知抛物线与的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.重、难点1. 灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。2. 二次函数图象平移、中心对称、轴对称后，系数间的关系。例题精讲一、二次函数图象分布

4、与系数的关系【例1】 （07济南）已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（ ） 第一、二、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第一、三、四象限（07常州）若二次函数（为常数）的图象如下中图，则的值为（ ） （07南宁）已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第 象限. 【例2】 （09湖北黄石）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD【例3】 已知函数（）的图象，如图所示求证：【例4】 的图象如图所示并设则（ ）A B C D不能确定为正，为负或为二、二次函数解析式的确定1.简单的二次函数解析式的确定【例5】 已知一个二次函数过，三点，求二次函数的

5、解析式.【例6】 已知二次函数图象经过点，三点，求此二次函数解析式.【例7】 已知二次函数过点，且顶点为，.求函数解析式.【例8】 求符合下列条件的解析式： 通过点； 与的图象开口大小相同，方向相反； 当自变量的值由增加到时，函数值减少.【例9】 已知二次函数的图象顶点在轴上，且经过点点，求此二次函数的解析式【例10】 设二次函数，当时取得最大值为，并且它的图象在轴上截得的线段长为求【例11】 已知函数的图象与轴交于相异两点、，另一抛物线过、，顶点为，且是等腰直角三角形，求、2.在简单综合题中二次函数解析式的确定【例12】 已知二次函数图象的对称轴平行于轴，顶点为，且与直线相交于，试求： 二次

6、函数的解析式； 的值； 该二次函数的图象与直线的另一交点的坐标【例13】 已知二次函数的图象的对称轴是直线，且它的最高点在直线 上 求此二次函数的解析式； 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线上移动到点时，图象与轴恰好交于、两点，且，求这时的二次函数的解析式 【例14】 已知抛物线（其中）不经过第二象限 判断这条抛物线的顶点所在的象限，并说明理由； 若经过这条抛物线的点的直线与抛物线的另一个交点为，求抛物线的解析式【例15】 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且= 求反比例函数的解析式； 若抛物线经过、两点，证明此抛物线与轴必有两个交点； 设中的抛物线与轴的两个交点分别为、

7、（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，若，求此抛物线的解析式（定义：在直角三角形中，的对边为，邻边为，则）【例16】 设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是，且直线与轴的交点的横坐标为，求证：家庭作业【习题1】 下左图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（ ）第一象限 第二象限第三象限 第四象限 二次函数的图象的一部分如下右图所示，试求的取值范围.（2008天津）已知，如图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 【习题2】 已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的 负半轴，则m的取值范围是_.【习题3】 （09嘉兴）已

8、知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（）【习题4】 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）【习题5】 已知一抛物线的形状与的形状相同.它的对称轴为，它与轴的两交点之间 的距离为，则此抛物线的解析式为_. 【习题6】 已知：一条抛物线的形状和相同且对称轴为，抛物线与轴交于一点，求 函数解析式.【习题7】 已知二次函数的对称轴为：，且经过点，、，求二次函数的 解析式.例题精讲一、二次函数图象分布与系数的关系【例17】 （07济南）已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（ ） 第一、二、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第一、三、四象限（07常州）若二次函数（为常数）的

9、图象如下中图，则的值为（ ） （07南宁）已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第 象限. 【解析】 通过图象可以看出：， 一次函数 的图象不经过第一象限.选 由图象可知且， ，故选 由图象可知， 在第三象限【巩固】（09浙江台州）已知二次函数的与的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴C. 当时， D. 方程的正根在与之间【解析】 D 【例18】 （09湖北黄石）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD【解析】 C【巩固】（08天门）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；，其中正确结论的个数为（

10、）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个【解析】 选C【例19】 已知函数（）的图象，如图所示求证：【解析】 方法一：根据图象得： 又，即：由式得：方法二：根据图象得，当时，即，由，得：当时得 即： 【例20】 的图象如图所示并设则（ ）A B C D不能确定为正，为负或为【解析】 依题意得，又当时，当时，故于是选C【附加题】二次函数的图象的一部分如图所示，求的取值范围【解析】 根据二次函数图象可知，又此二次函数图象经过，则有，得，于是根据函数图象可知，于是有【附加题】已知抛物线的一段图象如图所示确定、的符号；求的取值范围【解析】 由抛物线开口向上，所以又抛物线经过点，所以因为抛物线的

11、对称轴在轴的右侧，从而，结合便可知所以， 设，由图象及可知，即因为，所以 二、二次函数解析式的确定1.简单的二次函数解析式的确定【例21】 已知一个二次函数过，三点，求二次函数的解析式.【解析】 此题已知图象经过的三点坐标，因此可设成一般式.设二次函数的解析式为：，函数图象经过，三点，解此方程组，得：，二次函数的解析式为：.【例22】 已知二次函数图象经过点，三点，求此二次函数解析式.【解析】 解法一：一般式设此二次函数解析式为：，由已知得：，解得，此二次函数的解析式为.解法二：顶点式抛物线经过，抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为：，将，代入得：，解得，抛物线的解析式为，化为一般式为：解法三

12、：对称点式抛物线经过，设抛物线的解析式为：将，代入得：，解得，抛物线的解析式为：，化为一般式为：【例23】 已知二次函数过点，且顶点为，.求函数解析式.【解析】 设二次函数的解析式为：二次函数过点，即：二次函数的解析式为：即：.【巩固】已知：一条抛物线的形状和相同且对称轴为，抛物线与轴交于一点，求函数解析式.【解析】 设函数的解析式为：或将代入和解得，所求抛物线的解析式为或，展开得或【例24】 求符合下列条件的解析式： 通过点； 与的图象开口大小相同，方向相反； 当自变量的值由增加到时，函数值减少.【解析】 因为函数通过点，所以：， 因为所求函数与的图象开口大小相同，方向相反，所以：，.3 由

13、题意知：，.【例25】 已知二次函数的图象顶点在轴上，且经过点点，求此二次函数的解析式【解析】 经审题本题用“顶点”待定法简便由于，所以由此二次函数图象顶点在轴上得，即从而由得又此二次函数的图象经过点，则有，得于是二次函数的解析式是【例26】 设二次函数，当时取得最大值为，并且它的图象在轴上截得的线段长为求【解析】 因为对称轴为，且在轴上截得的线段长为，则图象可知，与轴的交点的横坐标为、，可设，从而得到，由或，解得所以【巩固】设二次函数满足条件；，且其图象在轴上所截得的线段长为求这个二次函数的解析式【解析】 由，得即因此设图象与轴的交点坐标为，则，整理得，则或所以，或者【例27】 已知函数的图

14、象与轴交于相异两点、，另一抛物线过、，顶点为，且是等腰直角三角形，求、【解析】 由已知得、，故设另一抛物线为又是等腰直角三角形，则点坐标为或，所以可得或【附加题】已知二次函数的系数、都是整数，且，则的值为多少？【解析】 由已知，由，且是整数，得，【附加题】当时，求所有二次函数的图象与轴所截得的线段长度之和【解析】 二次函数的解析式用两点式表示为，则它与轴两交点为，所截线段长度为，所以2.在简单综合题中二次函数解析式的确定【例28】 已知二次函数图象的对称轴平行于轴，顶点为，且与直线相交于，试求： 二次函数的解析式； 的值； 该二次函数的图象与直线的另一交点的坐标【解析】 本题用“顶点”待定法简

15、便 因为二次函数图象的顶点为，对称轴平行于轴，所以，可令此二次函数的解析式为又点在二次函数的图象上，则有，得故所求的二次函数解析式为 由题意知点在直线上，则得 根据题意有，即，得或所以时，；时，故二次函数的图象与直线的另一交点的坐标为【例29】 已知二次函数的图象的对称轴是直线，且它的最高点在直线 上 求此二次函数的解析式； 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线上移动到点时，图象与轴恰好交于、两点，且，求这时的二次函数的解析式 【解析】 由已知条件，所求二次函数的解析式为 设定点，则所求二次函数形如，又由已知，所求二次函数为【例30】 已知抛物线（其中）不经过第二象限 判断这条抛物线的顶

16、点所在的象限，并说明理由； 若经过这条抛物线的点的直线与抛物线的另一个交点为，求抛物线的解析式【解析】 因为若，则抛物线开口向上，于是抛物线一定经过第二象限，所以当抛物线的图像不经过第二象限时，必有，又当时，即抛物线与轴的交点为.因为抛物线不经过第二象限，所以，于是，,所以顶点在第一象限. 由于点在抛物线上，所以，所以.于是点的坐标为，点的坐标为.由于点在直线上，所以，所以.又由于直线经过点所以，所以.抛物线的解析式为【例31】 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且= 求反比例函数的解析式； 若抛物线经过、两点，证明此抛物线与轴必有两个交点； 设中的抛物线与轴的两个交点分别为、（

17、点在点的左侧），与轴交于点，连接、，若，求此抛物线的解析式（定义：在直角三角形中，的对边为，邻边为，则）【解析】 解方程组，可得，由勾股定理可知反比例函数的解析式为： 由可知，由抛物线经过这两点可知又此抛物线与轴必有两个交点 设该抛物线与轴的两个交点分别为，则由韦达定理有：，即，经检验均满足题意所求抛物线的解析式为或【巩固】如图，已知抛物线与轴交于点、，交轴负半轴于点， 点在点的右侧， 求抛物线的解析式； 求的外接圆的面积； 在抛物线上是否存在点，使得的面积为 如果有，这样的点有几个；如果没有，请说明理由【解析】 设点，由于抛物线与轴交于、两点，点在点的右侧，且与轴负半轴交于点，由一元二次方程

18、根系关系可得，但显然不合题意，故，故该抛物线的解析式为 先根据条件求出的长为，故的外接圆的面积为 存在个满足条件的点分别是，【例32】 设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是，且直线与轴的交点的横坐标为，求证：【解析】 由题意有两个交点的横坐标分别是，故直线与轴交点的横坐标为，故故【附加题】某学生为了通过描点作出函数的图象，先取自变量的个值满足，且，再分别算出对应的值，列出表1表1但由于粗心算错了其中的一个值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由【解析】 设，且对应的函数值为，则，故(常数)由给出的数据，可得由此可见，是被算错的值，其正确值应为【附加题】已知二次函数，且方程与有相

19、同的非零实根 求的值； 若，解方程.【解析】 设的两根为，且，则，于是，的两根为、，且，即因此， 由得又，则，解之得或，于是，的两组解为或家庭作业【习题8】 下左图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（ ）第一象限 第二象限第三象限 第四象限 二次函数的图象的一部分如下右图所示，试求的取值范围.（2008天津）已知，如图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 【解析】 由图象可知.又顶点在轴的右侧，在轴的下方，则：，.又当时，当时，.，即 通过图象可以看出：， 一次函数 的图象不经过第二象限选【习题9】 已知二次函数的图象的开口向上，顶

20、点在第三象限，且交于y轴的 负半轴，则m的取值范围是_.【解析】 考察函数图像与系数之间的关系。因为函数图像开口向上，所以（m-2）0，又因为顶点在第三象限，所以函数对称轴在y轴左侧，所以2m0；因为函数图像又与y轴的负半轴相交，所以综上所述可得 2m3【习题10】 （09嘉兴）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（）【解析】 考察系数与函数图像的关系。 A 选项：一次函数0a 1，二次函数a1； B 选项：一次函数a= -1， 二次函数a= 1；C 选项：一次函数 a= -1， 二次函数a= -1； D 选项：一次函数 a = 1， 二次函数 a= -1.所以选 C【习题11】 在

21、同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）【解析】 考察函数图像与系数的关系。选项A：一次函数的a0，b0；二次函数的a0，b0.选项B：一次函数的a0，b0；二次函数的a0，b0.选项C：一次函数的a0，b0；二次函数的a0，b0.选项D：一次函数的a0，b0；二次函数的a0，b0.答案选：A .【习题12】 已知一抛物线的形状与的形状相同.它的对称轴为，它与轴的两交点之间 的距离为，则此抛物线的解析式为_. 【解析】 设所求抛物线的解析式为.所求抛物线的对称轴为，且它与轴的两交点之间的距离为，它与轴的两交点的坐标为，和，.又所求抛物线的形状与的形状相同，即：.所求抛物线的解析式为：或

22、.即：或.【习题13】 已知：一条抛物线的形状和相同且对称轴为，抛物线与轴交于一点，求 函数解析式.【解析】 设函数的解析式为：或将代入和解得，所求抛物线的解析式为或，展开得或【习题14】 已知二次函数的对称轴为：，且经过点，、，求二次函数的 解析式.【解析】 根据二次函数图象的性质我们可以知道，图象与轴的两个交点关于对称轴对称.解法一（设为交点式求解）：二次函数的对称轴为：，且经过点，. 二次函数与轴的另一个交点坐标是：，二次函数的交点式为：即：又图象经过点，即：.二次函数的解析式为：即：解法二（设为顶点式求解）因为抛物线的对称轴为，所以可设二次函数的解析式为：又因为抛物线经过点，所以有方程组： 即：解方程组，得：所以，所求函数的解析式为：即：解法三： （一般式求解）根据题设可得：，解此方程组，得：所以：二次函数为：.