最优控制讲授提纲幻灯片.ppt

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1、最优控制讲授提纲第1页，共92页，编辑于2022年，星期六使用说明u讲课开始时，学生需人手一册教材，已可开讲。讲授提纲用幻灯片放映，仅起画龙点睛作用（若无幻灯片放映，可用板书代之）。关键是：任课教师是否习惯此种讲课方式。实践表明：学生的收效却更好。u任课教师都有自己的习惯、风格，都喜爱自己的讲稿，因此，只适宜于列出讲授提纲供参考，逐次的讲稿宜自己用PowerPoint编写。此时，教材和讲授提纲可供参照，并亦可各自按需补充些内容。此外，讲课进度的安排也因人而异，有40学时全讲课的，有压縮课时并添加大作业的，有写读文献的报告的，故不宜编写划一的讲稿（写了也是白写）。2第2页，共92页，编辑于202

2、2年，星期六绪论n从经典的反馈控制到最优控制l从特点看控制器设计经历的“改朝换代”3第3页，共92页，编辑于2022年，星期六特 点经典反馈控制 最优控制u上世纪40-50年代起的炮火控制uSISO，输入输出描写u低阶传递函数u应无未建模动态u手算，作图，憑经验u不计控制能耗u模拟器件实现u军工及民用工业u上世纪60年代起延伸至今的航空航天uMIMO，内部描写u低阶状态方程u应无未建模动态u计算机，优化，算法u考虑控制能耗u数字器件实现u航空航天工业4第4页，共92页，编辑于2022年，星期六第1章 变分法n引言l变分问题求解的两条路l本章的重要性5第5页，共92页，编辑于2022年，星期六n

3、泛函l l 定义定义 1-11-1（泛函）（泛函）图图 1-11-1 弧长弧长 ，目标泛函，目标泛函 定义定义 1-21-2（函数空间中的距离）（函数空间中的距离）图图 1-21-2曲线间的距离曲线间的距离 定义定义 1-31-3（n n级级 邻区和泛函的局部极值）邻区和泛函的局部极值）图图 1-31-3 泛函求局部极值泛函求局部极值 定义定义 1-41-4（泛函的全局极值）（泛函的全局极值）6第6页，共92页，编辑于2022年，星期六n变分的推演 泛函求极值泛函求极值从式从式（1-11-1）推导推导式式（1-61-6）的过程：的过程：写出目标值的差，式写出目标值的差，式（1-21-2）用导数

4、中值定理，得式用导数中值定理，得式（1-51-5）式式（1-51-5）的第二项为高阶无穷小的第二项为高阶无穷小改用变分记号，式改用变分记号，式（1-61-6）7第7页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）变分的推演l l定义定义 1-71-7（泛函的二次变分）（泛函的二次变分）式式（1-101-10）泛函的高次变分，式泛函的高次变分，式（1-111-11）l泛函极值存在的必要条件，式泛函极值存在的必要条件，式（1-121-12）l泛函局部极大值存在的充分条件，式泛函局部极大值存在的充分条件，式（1-131-13）l l泛函局部极小值存在的充分条件，式泛函局部极小值存在的充分条件，式（1-1

5、41-14）9第9页，共92页，编辑于2022年，星期六n Euler方程和横截条件l l泛函求极值泛函求极值从式从式（1-161-16）推导式推导式（1-211-21）的过程：的过程：用分部积分得式用分部积分得式（1-181-18）用推论用推论1 1-1-1得式得式（1-191-19）及式及式（1-201-20）用推论用推论1-21-2得式得式（1-211-21）TPBVPTPBVP（两点（两点边值问题边值问题）例例1-31-310第10页，共92页，编辑于2022年，星期六n向量情况l l泛函求极值泛函求极值 从式从式（1-251-25）推导式推导式（1-321-32）的过程：的过程：成对

6、应用式成对应用式（1-181-18），），得式得式（1-261-26）分类及合并，得式分类及合并，得式（1-271-27）仿式仿式（1-211-21）及式及式（1-231-23），），得式得式（1-301-30）及式及式（1-311-31）向量形式，式向量形式，式（1-321-32）11第11页，共92页，编辑于2022年，星期六n有约束的情况 l l函数的约束优化与函数的约束优化与LagrangeLagrange乘子乘子 式式（1-331-33）化为无约束优化，式化为无约束优化，式（1-341-34）两个默认的特点两个默认的特点l l函数的向量约束优化与函数的向量约束优化与LagrangeL

7、agrange 乘子向量乘子向量 式式（1-351-35）12第12页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）有约束的情况 化为无约束优化，化为无约束优化，式式（1-371-37）两个默认的特点两个默认的特点l l泛函的约束优化泛函的约束优化约束方程变量多、方程少约束方程变量多、方程少化为无约束优化化为无约束优化l l定理定理1-11-1的叙述：的叙述：式式（1-391-39）与式与式（1-401-40）等价等价 13第13页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）有约束的情况 l l定理定理1-11-1的证明过程：的证明过程：为何要分两步走为何要分两步走第第1 1步证明步证明式式（1-4

8、01-40）改写为式改写为式（1-421-42）泛函极值存在的必要条件，式泛函极值存在的必要条件，式（1-431-43）结合约束方程求解，结果满足约束方程，结合约束方程求解，结果满足约束方程，式式（1-401-40）的解即为式的解即为式（1-391-39）的解）的解第第2 2步证明步证明14第14页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）有约束的情况 式式（1-391-39）的构成：式的构成：式（1-251-25）及约束方程及约束方程式式（1-251-25）所示泛函极值存在的必要条件，所示泛函极值存在的必要条件，式式（1-441-44）对约束方程取一次变分，式对约束方程取一次变分，式（1-4

9、51-45）即式（即式（1-461-46）构造式构造式（1-491-49）式式（1-441-44）的第一式与式的第一式与式（1-491-49）合成，得式合成，得式（1-1-5151）用约束方程和式用约束方程和式（1-511-51），），构造式构造式（1-521-52）15第15页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）有约束的情况 式式（1-531-53）与式）与式（1-521-52）的差别，得式的差别，得式 （1-551-55）及式及式（1-561-56），式），式（1-391-39）的的 解即为式解即为式（1-401-40）的解的解 两步证明的完成，才说明式两步证明的完成，才说明式（1-

10、391-39）与与 式式（1-401-40）完全等价完全等价l l定理定理1-11-1推广到微分系统推广到微分系统16第16页，共92页，编辑于2022年，星期六n 端点可变的情况l l两端可变可化为一端可变，终端可变两端可变可化为一端可变，终端可变l l目标值的差推演得式目标值的差推演得式（1-611-61）利用积分中值定理及式利用积分中值定理及式（1-61-6），），式式 （1-181-18）由式由式（1-611-61）得式得式（1-621-62）l l图图1-41-4与式与式（1-631-63）l从式从式（1-641-64）得式得式（1-651-65）l推广到式推广到式（1-671-67

11、）17第17页，共92页，编辑于2022年，星期六n 变分的另一种定义l l定义定义1-81-8（函数的一次变分）（函数的一次变分）l l定义定义1-91-9（泛函的一次变分）（泛函的一次变分）式式（1-691-69）l对对 求导求导,得得J J的一次变分，式的一次变分，式（1-711-71）l l式（式（1-721-72）同式）同式（1-91-9）18第18页，共92页，编辑于2022年，星期六n 变分与Frchet微分l l定义定义1-101-10（FrchetFrchet微分）微分）线性逼近的误差线性逼近的误差，式式（1-741-74）对照对照 图图1-51-5及式（及式（1-751-7

12、5）规定了线性逼近方式规定了线性逼近方式lFrchetFrchet微分，式微分，式（1-761-76）l计算计算FrchetFrchet微分的方法，式微分的方法，式（1-771-77）l l泛函的一次变分即泛函的一次变分即FrchetFrchet微分，对照微分，对照 式式（1-781-78），），式式（1-791-79）19第19页，共92页，编辑于2022年，星期六n 小结l l泛函求极值泛函求极值变分变分常微分方程常微分方程 的的TPBVPTPBVP 本章本章仅为寻仅为寻求求极值曲线，并未涉极值曲线，并未涉 及及寻寻求求极值曲面极值曲面l l变分法的现代进展为变分原理（变分法的现代进展为变

13、分原理（不是第不是第5 5章的最大值原理）章的最大值原理）20第20页，共92页，编辑于2022年，星期六第2章 连续系统最优控制n引言 l l了解受控对象了解受控对象建模建模提出概念性目标提出概念性目标 优化问题提法优化问题提法 式式（2-12-1）BolzaBolza问题，问题，LagrangeLagrange问题，问题，MayerMayer问题问题 折衷优化折衷优化如何套用第如何套用第1 1章公式章公式21第21页，共92页，编辑于2022年，星期六n 时间端点固定的情况 l式式（2-22-2）的背景的背景l化为无约束优化问题化为无约束优化问题 式式（2-32-3），），Hamilton

14、Hamilton函数函数 式式（2-32-3）取一次变分，分两部分取一次变分，分两部分 式式（2-72-7）由式（由式（2-42-4）及式）及式（2-62-6）组成组成 横截条件，伴随方程，耦合方程，状态方横截条件，伴随方程，耦合方程，状态方 程，式程，式（2-102-10）22第22页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）时间端点固定的情况 l l沿最优轨线沿最优轨线H H为常量的条件为常量的条件l l横截条件三种情况横截条件三种情况lTPBVPTPBVPl l例例2-12-1，例，例2-22-2，例，例2-32-3，例例2-42-423第23页，共92页，编辑于2022年，星期六n 有

15、终端函数约束的情况 l l式式（2-602-60）的背景的背景l化为无约束优化问题，化为无约束优化问题，式式（2-612-61）l l式式（2-612-61）取一次变分，式（取一次变分，式（2-632-63）l横截条件，伴随方程，耦合方程，横截条件，伴随方程，耦合方程，状态方程，终端函数，状态方程，终端函数，式式（2-672-67）l l例例2-52-524第24页，共92页，编辑于2022年，星期六n 终时不指定的情况l l式式（2-782-78）的背景的背景l化为无约束优化问题，式化为无约束优化问题，式（2-792-79）l式式（2-792-79）取一次变分，分三部分取一次变分，分三部分l

16、 l式式（2-842-84）由式由式（2-80)2-80)，式，式（2-2-81)81)及式及式（2-832-83）组成组成l l横截条件，伴随方程，耦合方程，横截条件，伴随方程，耦合方程，状态方程，终端函数，状态方程，终端函数，式式（2-882-88）l l例例2-62-625第25页，共92页，编辑于2022年，星期六n考虑其它几种约束l l积分约束化为微商约束和终态约束积分约束化为微商约束和终态约束l状态和控制的等式约束状态和控制的等式约束l状态和控制的不等式约束用松弛变量状态和控制的不等式约束用松弛变量 化为状态和控制的等式约束化为状态和控制的等式约束l l角隅条件，式角隅条件，式（2

17、-1202-120）26第26页，共92页，编辑于2022年，星期六n用符号数学工具箱 求TPBVP的解析解l见程序集27第27页，共92页，编辑于2022年，星期六n 小结lTPBVP的解析解的解析解l l多谢多谢MATLABMATLAB的的符号数学工具箱，它符号数学工具箱，它 改变了求取改变了求取TPBVPTPBVP的解析解的面貌的解析解的面貌要关注符号计算要关注符号计算的的进进展（包括新版本展（包括新版本MATLABMATLAB中的中的符号数学工具箱符号数学工具箱）l l确定性最优控制开环与闭环不分确定性最优控制开环与闭环不分28第28页，共92页，编辑于2022年，星期六第3章 线性连

18、续系统的 二次型调节器n引言l优化问题提法，优化问题提法，式式（3-13-1）l l物理意义物理意义l l重视重视LQRLQR的原因的原因29第29页，共92页，编辑于2022年，星期六n有限时间（状态）调节器l l时变情况时变情况式式（3-13-1）化为无约束优化问题化为无约束优化问题泛函极值存在的必要条件：泛函极值存在的必要条件：横截条件，伴随横截条件，伴随 方程，耦合方程，状态方程方程，耦合方程，状态方程TPBVPTPBVP,式式（3-63-6）HamiltonHamilton矩阵矩阵(t)(t)式式（3-73-7）式式（3-123-12）矩矩阵阵RiccatiRiccati微分方程，式

19、微分方程，式（3-173-17）30第30页，共92页，编辑于2022年，星期六全状态反馈，全状态反馈，KalmanKalman增益，增益，式式（3-193-19）P(t)P(t)的的性质性质对称，半正定对称，半正定P(t)P(t)的计算的计算，EulerEuler法法最优反馈控制的结构，最优反馈控制的结构，图图3-13-1x(t)x(t)的重构，图的重构，图3-23-2对加权矩阵的要求对加权矩阵的要求31（续）有限时间（状态）调节器第31页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）有限时间（状态）调节器l l非时变情况非时变情况式式（3-13-1）式式(3-1)(3-1)式（式（3-173-

20、17）式式(3-17)(3-17)式（式（3-183-18）式式(3-18)(3-18)式（式（3-193-19）式式(3-19)(3-19)P(t)P(t)的解析解，式的解析解，式（3-283-28），），几种解法几种解法例例3-13-1，例，例3-23-2观察终时观察终时t tf f对对KalmanKalman增益增益K(t)K(t)的影响的影响 见程序集和图见程序集和图3-33-3 32第32页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）有限时间（状态）调节器lP(t)P(t)的数值解的数值解 见程序集见程序集33第33页，共92页，编辑于2022年，星期六n有限时间输出调节器l l优化问

21、题提法优化问题提法式（式（3-583-58）矩矩阵阵RiccatiRiccati微分方程，微分方程，式（式（3-603-60）l全状全状态态反反馈馈，KalmanKalman增益增益K(t)K(t)式（式（3-623-62）34第34页，共92页，编辑于2022年，星期六n无限时间输出调节器l l优优化化问题问题提法，式（提法，式（3-633-63）定理定理3-13-1有有4 4部份：部份：l(a)(a)P(t)=PP(t)=Pbarbar=const=const的充要条件的充要条件为为（A,BA,B）能能稳稳定定能能观观性分解，式（性分解，式（3-663-66）代入系数矩代入系数矩阵阵，式（

22、，式（3-643-64）即式（）即式（3-683-68）从式（从式（3-693-69）的第二式、第三式和）的第二式、第三式和边边界条界条件得件得PP1212(t)=O(t)=O，P P2222(t)=O(t)=O，得式（，得式（3-70)3-70)不能不能观观极点在极点在A A2222中，不影响中，不影响P(tP(t）35第35页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）无限时间输出调节器设设能能观观，不会影响，不会影响证证明明P(t)=PP(t)=Pbarbar=const=constl从能控性分解从能控性分解 式（式（3-71)3-71)出出发发l l证证必要条件必要条件(能能稳稳定定)：

23、设设（A,BA,B）不能）不能稳稳定（不定（不稳稳定极点不能控）定极点不能控）不能控极点在不能控极点在A A2222中中,输输出出z(t)z(t)和和JJ都都发发散散 按式（按式（3-253-25），），P(t)P(t)不存在，不存在，P Pbarbar不存在不存在l l证证充分条件充分条件(能能稳稳定定)：设设能能稳稳定（不定（不稳稳定极点能控）定极点能控）式（式（3-733-73）说说明明P(t)P(t)有上界有上界36第36页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）无限时间输出调节器 式（式（3-733-73）单调单调非减，得非减，得P(t)P(t)单调单调非减非减 有唯一极限有唯一极

24、限P(t)=PP(t)=Pbarbar=const=constl l(b)(b)若能若能稳稳定，能定，能检测检测，则则唯一的唯一的P Pbarbar半正定半正定 P(t)=PP(t)=Pbarbar=const=const，式（，式（3-643-64）退化）退化为为矩矩阵阵RiccatiRiccati代数方程，式（代数方程，式（3-653-65），前已），前已证证有唯一极限有唯一极限P Pbarbar 能能检测检测（不能（不能观观极点极点稳稳定），不考定），不考虑虑不能不能观观部分部分 由式（由式（3-243-24）及式（）及式（3-253-25）得）得PPbarbar半正定半正定(c)u(t

25、)u(t)稳稳定的充要条件定的充要条件为为能能稳稳定，能定，能检测检测 37第37页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）无限时间输出调节器l l证必要条件：证必要条件：必需必需能能稳稳定和能定和能检测检测，否，否则则不稳定极点不能不稳定极点不能 控，不能观极点不稳定控，不能观极点不稳定 证充分条件：证充分条件：能控性分解能控性分解 式式(3-71),(3-71),得式（得式（3-753-75）从式（从式（3-753-75）可写出式（）可写出式（3-763-76），解出），解出P P1111(t)(t)能控性分解中的能控性分解中的A A1111含能控的极点（包括不含能控的极点（包括不稳稳定

26、的极点）定的极点）,A,A1111-B-B1 1R R-1-1(B(B1 1)T TP P1111渐近稳定渐近稳定AA2222含不含不能控的极点（但包括稳定的极点）能控的极点（但包括稳定的极点）38第38页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）无限时间输出调节器(A(A11,11,B B1 1)能控包含能控包含(A(A11,11,B B1 1)能稳定，按本定理能稳定，按本定理 (a)(a)P P1111(t)=P(t)=P11bar11bar=const=const的的充要条件为充要条件为(A(A11,11,B B1 1)能能稳稳定定 最最优优反反馈馈控制控制为为式（式（3-773-77）

27、反反馈馈系系统为统为式（式（3-783-78）分分块块上三角形矩上三角形矩阵阵的特征的特征值值取决于对角块取决于对角块 各矩阵的，因各矩阵的，因A A1111-B-B1 1R R-1-1(B(B1 1)T TP P1111渐渐近近稳稳定定及及A A2222渐渐近近稳稳定，故定，故反馈系统渐反馈系统渐近近稳稳定定39第39页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）无限时间输出调节器(d)(d)设设QQ正定，正定，P Pbarbar正定的充要条件为能观正定的充要条件为能观l证必要条件证必要条件(能观能观)：设设部分能部分能观观，能，能观观性分解，式（性分解，式（3-663-66）,在本定理在本定

28、理(a)(a)中有式（中有式（3-703-70）detP(t)=0,P(t)detP(t)=0,P(t)非正定，非正定，P Pbarbar非正定非正定l l证证充分条件充分条件(能能观观)：反反设设能能观观，但，但P Pbarbar非正定非正定 存在存在x x0000，不加控制，却可使，不加控制，却可使输输出出为为0 0，荒荒谬谬，故，故P Pbarbar 正定正定40第40页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）无限时间输出调节器l l P Pbarbar的解析解的解析解令非异令非异变换变换T T，式（，式（3-823-82）对对HamiltonHamilton矩矩阵阵可可验证验证式（式

29、（3-833-83）式（式（3-843-84）表示）表示 阵阵有特征有特征值值 式（式（3-853-85）表示）表示 阵阵有特征有特征值值-阵阵无复特征无复特征值值模模态阵态阵MM使使 阵阵分分块对块对角化，式（角化，式（3-873-87）有相异特征有相异特征值时值时，分，分块对块对角化角化41第41页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）无限时间输出调节器 有重复特征有重复特征值时值时，JordanJordan块块 从式（从式（3-873-87）式（式（3-923-92）PPbarbar=M=M2121(M(M1111)-1-1见见程序集程序集 P Pbarbar的数的数值值解解见见程序

30、集程序集用控制系用控制系统统工具箱工具箱见见程序集程序集 42第42页，共92页，编辑于2022年，星期六n使用LQR的系统的稳定裕量l l式（式（3-102)3-102)式（式（3-1093-109），），KalmanKalman不等式不等式 单输单输入系入系统统的的KalmanKalman不等式不等式 式（式（3-1103-110）式（式（3-1113-111）l系系统统方框方框图图，图图3-63-6开开环传递环传递函数与开函数与开环频环频率特性率特性l l图图3-73-7，频频率特性率特性幅度余量无限大幅度余量无限大相位余量至少相位余量至少60600 0以以全状态反馈为条件全状态反馈为条

31、件 43第43页，共92页，编辑于2022年，星期六n小结l l 有限有限时间调节时间调节器的器的设计设计，只需求解矩只需求解矩阵阵RiccatiRiccati微分方微分方程，为终值问题，它程，为终值问题，它 比比TPBVPTPBVP容易解容易解l l 无限无限时间调节时间调节器的器的设计设计，仅仅需求解矩需求解矩阵阵RiccatiRiccati代数方代数方程，它又比程，它又比有限有限时间时间调节调节器的器的设计简单设计简单，又容易，又容易实现实现 有限有限时间调节时间调节器的器的设计设计，得，得K(t)K(t)无限无限时间调节时间调节器的器的设计设计，得，得K K44第44页，共92页，编辑

32、于2022年，星期六（续）小结l l必须先选取几组加权矩阵必须先选取几组加权矩阵Q Q及及R R，通，通过设过设 计计和仿真，修改和仿真，修改Q Q及及R R，直至，直至获获得得满满意的意的 暂态过暂态过程，控制器程，控制器设计设计才告才告终终l lLQRLQR的的优优异性能（幅度余量无限大，相异性能（幅度余量无限大，相 位余量位余量至少至少60600 0）以全状）以全状态态反反馈为馈为条件条件l lLQRLQR是自是自动动控制理控制理论发论发展中的一个里程展中的一个里程 碑（碑（虽虽然有缺点）然有缺点）45第45页，共92页，编辑于2022年，星期六第4章 离散系统最优控制n引言l l两种离

33、散系统两种离散系统l l优化问题提法优化问题提法n离散变分法与Euler方程l l 泛函求极值（无约束）泛函求极值（无约束）l l 泛函的一次变分泛函的一次变分 式（式（4-34-3），式（），式（4-44-4）46第46页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）离散变分法与Euler方程l l 泛函极值存在的必要条件泛函极值存在的必要条件式（式（4-54-5）EulerEuler方程和横截条件方程和横截条件式（式（4-84-8）47第47页，共92页，编辑于2022年，星期六n 离散系统最优控制l l 泛函求极值泛函求极值 式（式（4-94-9）化化为为无无约约束束优优化化问题问题式（式（

34、4-104-10），），LagrangeLagrange乘子向量乘子向量(k+1)(k+1)泛函极泛函极值值存在的必要条件存在的必要条件横截条件，伴随方程，耦合方程，横截条件，伴随方程，耦合方程，状状态态方程，式（方程，式（4-154-15）例例4-14-1 48第48页，共92页，编辑于2022年，星期六n有限时间离散LQR问题l 时变情况时变情况泛函求极泛函求极值值，式（，式（4-174-17）泛函极泛函极值值存在的必要条件存在的必要条件 伴随方程，耦合方程，横截条件伴随方程，耦合方程，横截条件两点两点边值问题边值问题，式（，式（4-244-24），），HamiltonHamilton矩矩

35、阵阵H(k)H(k)矩矩阵阵RiccatiRiccati差分方程三种形式差分方程三种形式式（式（4-26a4-26a），式（），式（4-26b4-26b），式（），式（4-26c4-26c）最最优优反反馈馈控制控制结结构，构，图图4-14-1 式（式（4-274-27），式（），式（4-284-28），），KalmanKalman增益增益K(k)K(k)49第49页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）有限时间离散LQR问题l l 非时变情况非时变情况 泛函求极泛函求极值值，式（，式（4-174-17）矩矩阵阵RiccatiRiccati差分方程三种形式差分方程三种形式式（式（4-26a4

36、-26a），式（，式（4-26b)4-26b)，式（，式（4-26c4-26c）最最优优反反馈馈控制控制结结构构 式（式（4-274-27），式（，式（4-28)4-28)，KalmanKalman增益增益K(k)K(k)P(k)P(k)的解析解，式（的解析解，式（4-304-30）例例4-24-250第50页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）有限时间离散LQR问题l lP(k)P(k)的的数值解数值解 见程序集见程序集 例例4-34-351第51页，共92页，编辑于2022年，星期六n无限时间离散LQR问题l矩阵矩阵RiccatiRiccati代数方程代数方程式（式（4-26a)4-

37、26a)退化退化为为式（式（4-41a)4-41a)式（式（4-26b)4-26b)退化退化为为式（式（4-41b)4-41b)式（式（4-26c)4-26c)退化退化为为式（式（4-41c)4-41c)式（式（4-27)4-27)退化退化为为式（式（4-42a)4-42a)式（式（4-28)4-28)退化退化为为式（式（4-42b)4-42b)全状全状态态反反馈馈52第52页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）无限时间离散LQR问题lP Pbarbar的解析解的解析解式（式（4-44)4-44)式（式（4-48)4-48)求求H H-1-1的的过过程程:令非异令非异变换变换T T，同式

38、（，同式（3-823-82）对对HamiltonHamilton矩矩阵阵H可可验证验证式（式（4-46)4-46)TT及及H H的内容代入式（的内容代入式（4-46)4-46)，得式（，得式（4-48)4-48)设设H H-1-1的特征的特征值值 和相和相应应的特征向量的特征向量f fT Tg gT T T T，求，求HH的特征的特征值值：H H-1-1的内容代入式（的内容代入式（4-49)4-49)，得式（，得式（4-50)4-50)展开并重展开并重组组，得式（，得式（4-52)4-52)53第53页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）无限时间离散LQR问题 向量形式，式（向量形式，式

39、（4-53)4-53)，即式（，即式（4-54)4-54)式（式（4-54)4-54)说说明明H H有特征有特征值值 故故H H-1-1有特征有特征值值1/1/（前已（前已设设H H-1-1有特征有特征值值）故故H H有特征有特征值值 和和1/1/HH只含只含实实特征特征值值(无复特征无复特征值值)，并只分，并只分为为稳稳定的和不定的和不稳稳定的两种，即只分定的两种，即只分为为位于位于单单位位圆圆内的和内的和单单位位圆圆外的两种（若外的两种（若 在在单单位位圆圆内，内，1/1/必在必在单单位位圆圆外）外）54第54页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）无限时间离散LQR问题模模态阵态阵M

40、M使使 阵阵分分块对块对角化，式（角化，式（4-564-56）有相异特征有相异特征值时值时，分，分块对块对角化角化有重复特征有重复特征值时值时，JordanJordan块块MM和和H H的内容代入式（的内容代入式（4-56)4-56)从式（从式（4-564-56）式（式（4-654-65）PPbarbar=M=M2222(M(M1212)-1-1 例例4-44-4 55第55页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）无限时间离散LQR问题l lP Pbarbar的数的数值值解解 见程序集见程序集 例例4-54-5 用控制系统工具箱用控制系统工具箱 见程序集见程序集 例例4-6,4-6,例例4

41、-74-7 56第56页，共92页，编辑于2022年，星期六第5章 最大值原理n引言l l式（式（5-15-1）不能用）不能用变变分法求解的原因分法求解的原因n最小值原理l引理引理5-15-1的叙述的叙述：非非线线性、非性、非时变时变系系统统，给给定初始条件，定初始条件，控制有界控制有界 57第57页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）最小值原理xxi i(t)(t)为连续为连续函数，用最大函数，用最大值值范数；在范数；在 不同的不同的i i时时，从，从x xi i(t)(t)的最大的最大值值范数中取范数中取 最大的一个作最大的一个作为为x x向量的范数向量的范数uui i(t)(t)可

42、可为为按段光滑的函数，取按段光滑的函数，取p p范数，范数，当当p=1,p=1,则为则为1 1范数；在不同的范数；在不同的i i时时，从，从uui i(t)(t)的的1 1范数中取上确界（最小的上界范数中取上确界（最小的上界）作）作为为u u向量的范数向量的范数 求求证证：x和和 u u的范数的范数为为同同阶阶无无穷穷小小 58第58页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）最小值原理l引理引理5-15-1的的证证明明过过程：程：设设微分方程微分方程满满足足LipschitzLipschitz条件（即条件（即设为压设为压縮縮 映射），式（映射），式（5-25-2）附附录录5A5A赋赋范范线线

43、性向量空性向量空间间 最大最大值值范数，范数，p p范数范数BanachBanach空空间间CauchyCauchy序列，完序列，完备备性性压缩压缩映射与不映射与不动动点点 压缩映射原理压缩映射原理 59第59页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）最小值原理60第60页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）最小值原理l l引理引理5-25-2的叙述：的叙述：非非线线性、非性、非时变时变系系统统，给给定初始条件，定初始条件，控制有界控制有界 目目标标函数，式（函数，式（5-125-12）求求证证：目：目标值标值的差的差为为式（式（5-135-13）l l引理引理5-25-2的的证证明明

44、过过程：程：化化为为无无约约束束优优化化问题问题，式（，式（5-145-14）61第61页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）最小值原理 推演式（推演式（5-155-15），并），并类类似得式（似得式（5-165-16）推演式（推演式（5-175-17）定理定理5-15-1的叙述：的叙述：泛函求极泛函求极值值，式（，式（5-185-18），控制有界，控制有界泛函极泛函极值值存在的必要条件存在的必要条件伴随方程，状伴随方程，状态态方程，方程，H H全局最小，全局最小，式（式（5-195-19）定理定理5-15-1的的证证明明过过程：程：62第62页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）

45、最小值原理耦合方程已不复存在，但伴随方程和状耦合方程已不复存在，但伴随方程和状态态方程方程 仍仍为为必要条件必要条件证证明明H H全局最小全局最小为为必要条件必要条件时时，用反，用反证证法法设设t tbarbart t0,0,t tf f,w w，有式（，有式（5-215-21）因因f f及及 连续连续，t tbarbar 的的邻邻域域t ta,a,t tb b，t tbarbart ta,a,t tb b 为为tt0,0,t tf f 的子集，的子集，0 0，有式（，有式（5-225-22）取特殊控制取特殊控制u u 当当t t不属于不属于t ta,a,t tb b 时时,u=uu=ucap

46、cap 当当t t属于属于t ta a,t tb b 时时,u u=w w63第63页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）最小值原理 却有却有J(J(u ucapcap)-J)-J(u(u)0)0 式（式（5-235-23）表明事）表明事实实相反，故上述特殊控制相反，故上述特殊控制 u u 非最非最优优控制控制 因因t tbarbar任取，故式（任取，故式（5-235-23）之）之证证明有普遍意明有普遍意义义 因伴随方程、状因伴随方程、状态态方程均方程均为为必要条件，故式必要条件，故式（5-195-19）仍）仍为为必要条件必要条件64第64页，共92页，编辑于2022年，星期六nBang

47、-Bang控制l l式（式（5-245-24）的两个特点）的两个特点lHamiltonHamilton函数函数l使用使用“H“H全局最小全局最小”l lu ui i取两个极端值，取两个极端值，Bang-BangBang-BangBang-BangBang-Bang产产生的条件生的条件65第65页，共92页，编辑于2022年，星期六n时间最优控制系统的性质l l线性非时变系统的时间最优控制线性非时变系统的时间最优控制式（式（5-255-25）的物理概念）的物理概念HamiltonHamilton函数函数H H，式（，式（5-265-26）横截条件，式（横截条件，式（5-275-27）协态协态方程

48、，式（方程，式（5-295-29）状状态态方程方程H H全局最小，式（全局最小，式（5-305-30）uui i(t)=-sgnB(t)=-sgnBT T(t)(t)i i式（式（5-255-25）为为另一种形式的提法，本另一种形式的提法，本质质不不变变66第66页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）时间最优控制系统的性质l l命命题题5-15-1的叙述：的叙述：式（式（5-255-25）所示）所示时间时间最最优优控制控制问题问题uui i(t)=-sgnB(t)=-sgnBT T(t)(t)i i为为唯一的唯一的l l命命题题5-15-1的的证证明明过过程：程：协态协态方程的解中，方程

49、的解中，(0)(0)0 0，否，否则则矛盾矛盾(t)(t)0,0,u ui i(t)(t)不不发发生奇异情况生奇异情况若若设设u u1 1,u,u2 2两个不同的最两个不同的最优优控制向量，控制向量，则则与状与状态态方程解的唯一性相矛盾方程解的唯一性相矛盾67第67页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）时间最优控制系统的性质l命命题题5-25-2的叙述：的叙述：式（式（5-255-25）所示）所示时间时间最最优优控制控制问题问题若存在最若存在最优优控制控制u ui i(t)=-sgnB(t)=-sgnBT T(t)(t)i i 式（式（5-305-30）uui i(t)(t)至多切至多切

50、换换n-1n-1次次l l命命题题5-25-2的的证证明明过过程：程：协态协态方程的解方程的解,式（式（5-315-31）最最优优控制可改写控制可改写为为u ui i(t)=-sgn(e(t)=-sgn(e-At-Atb bi i)T T 0 0 68第68页，共92页，编辑于2022年，星期六（续）时间最优控制系统的性质 切换条件为切换条件为(e(e-At-Atb bi i)T T 0 0=0=0，式（，式（5-325-32）设有相异特征值，设有相异特征值，式（式（5-325-32）改为式改为式（5-335-33）满足此式满足此式t t的个数，即为切换次数的个数，即为切换次数 用数学归纳法证