第五章滤波器设计精选文档.ppt

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1、第五章滤波器设计西北大学信息科学与技术学院 2007年2007年2007年本讲稿第一页，共三十三页5.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 理想滤波器就是一个让输入信号中的某些理想滤波器就是一个让输入信号中的某些有用频谱分量无任何变化地通过，同时又能完有用频谱分量无任何变化地通过，同时又能完全抑制另外那些不需要的成分的具有某种选择全抑制另外那些不需要的成分的具有某种选择性的器件、网络或以计算机硬件支持的计算程性的器件、网络或以计算机硬件支持的计算程序。滤波器的序。滤波器的滤波原理滤波原理就是根据信号与噪声占就是根据信号与噪声占据不同的频带，将噪声的频率放在滤波器的阻据不同的频带，将噪声

2、的频率放在滤波器的阻带中，而由于阻带的响应为零，这样就滤去了带中，而由于阻带的响应为零，这样就滤去了噪声。噪声。本讲稿第二页，共三十三页 与模拟滤波器相同，数字滤波器从功能上与模拟滤波器相同，数字滤波器从功能上看可分为看可分为低通低通、高通高通、带通带通和和带阻带阻几类。它们几类。它们的理想幅度特性如的理想幅度特性如图图5-1所示。因为它们的单位所示。因为它们的单位脉冲响应是非因果且无限长的，所以实际上理脉冲响应是非因果且无限长的，所以实际上理想滤波器是不可能实现的。另外，与模拟滤波想滤波器是不可能实现的。另外，与模拟滤波器不同的是数字滤波器的传输函数器不同的是数字滤波器的传输函数 都是都是以

3、以 为周期的，滤波器的低通频带处于为周期的，滤波器的低通频带处于 的整的整数倍处，而高频频带处于数倍处，而高频频带处于 的奇数倍附近。的奇数倍附近。本讲稿第三页，共三十三页图图5-1 理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性本讲稿第四页，共三十三页一个数字滤波器的传输函数一个数字滤波器的传输函数 表达式为表达式为其中其中 叫做叫做幅频特性幅频特性，叫做叫做相频特相频特性性。幅频特性表示信号通过该滤波器以后频率。幅频特性表示信号通过该滤波器以后频率成分衰减情况，而相频特性反映各频率分量通成分衰减情况，而相频特性反映各频率分量通过滤波器后在时间上的延

4、时情况。过滤波器后在时间上的延时情况。本讲稿第五页，共三十三页 如图表示了一个频域设计、一维低通滤波器如图表示了一个频域设计、一维低通滤波器的技术要求图。的技术要求图。和和 分别称为通带截止频率和分别称为通带截止频率和阻带截止频率。通带频率范围为阻带截止频率。通带频率范围为 ，阻带，阻带频率范围为频率范围为 。从从 到到 称为过渡带，称为过渡带，用用 表示，在过渡带表示，在过渡带里，幅频特性单调下降。里，幅频特性单调下降。在通带和阻带内的衰减在通带和阻带内的衰减一般用数一般用数 表示。表示。本讲稿第六页，共三十三页 通带内允许最大衰减是通带内允许最大衰减是 ，阻带内允许最，阻带内允许最小衰减是

5、小衰减是 ，定义分别为：，定义分别为：将将 归一化为归一化为1以后，上述两式可表示为以后，上述两式可表示为当幅度降到当幅度降到 时，时，这时候，这时候 ，为为通带截止频率。通带截止频率。、和和 统称为数字滤波器的统称为数字滤波器的边界频率。边界频率。本讲稿第七页，共三十三页5.2 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计5.2.1 模拟滤波器设计模拟滤波器设计5.2.2 冲激响应不变法冲激响应不变法 5.2.3 双线性映射法双线性映射法5.2.4 IIR数字滤波器的频率变换设计法数字滤波器的频率变换设计法 （高通、带通和带阻数字滤波器设计）（高通、带通和带阻数字滤波器设计）5.2.5 IIR数字滤波

6、器的直接设计法数字滤波器的直接设计法本讲稿第八页，共三十三页5.2.1 模拟滤波器设计模拟滤波器设计 在设计数字滤波器的时候，经常采用的方法在设计数字滤波器的时候，经常采用的方法是利用现有的模拟滤波器设计方法及其相应的转是利用现有的模拟滤波器设计方法及其相应的转换方法得到数字滤波器。最先设计的模拟滤波器换方法得到数字滤波器。最先设计的模拟滤波器称为原型滤波器。比较常用的原型滤波器有巴特称为原型滤波器。比较常用的原型滤波器有巴特沃什（沃什（Butterworth）滤波器、切比雪夫）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆）滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器和滤波器和贝塞尔贝塞尔(Be

7、ssel)滤波器等。滤波器等。本讲稿第九页，共三十三页一、巴特沃什滤波器一、巴特沃什滤波器 巴特沃什滤波器是根据幅频特性在通频带巴特沃什滤波器是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性而定义的滤波器。对一个内具有最平坦特性而定义的滤波器。对一个N阶低通滤波器来说，所谓最平坦特性，就是指阶低通滤波器来说，所谓最平坦特性，就是指滤波器的平方幅频特征函数的前（滤波器的平方幅频特征函数的前（2N-1）阶导）阶导数在模拟频率数在模拟频率 处都为处都为0。巴特沃什滤波器。巴特沃什滤波器另外一个特点就是在通带和阻带里具有单调下另外一个特点就是在通带和阻带里具有单调下降的幅频特性，如降的幅频特性，如图图5-2所示

8、。所示。本讲稿第十页，共三十三页图图5-2 巴特沃什低通滤波器平方幅频特性函数巴特沃什低通滤波器平方幅频特性函数本讲稿第十一页，共三十三页 一维模拟巴特沃什滤波器的平方幅频特一维模拟巴特沃什滤波器的平方幅频特性函数为性函数为 可以看出，滤波器的幅频特性随着滤波器阶可以看出，滤波器的幅频特性随着滤波器阶次次N的增加而变得越来越好。在截止频率的增加而变得越来越好。在截止频率 处的函数（幅度平方值）值始终为处的函数（幅度平方值）值始终为1/2的情况的情况下，在通带内更多的频带区的值接近下，在通带内更多的频带区的值接近1；在阻；在阻带内更迅速的趋近带内更迅速的趋近0。本讲稿第十二页，共三十三页巴特沃什

9、滤波器的主要特征：巴特沃什滤波器的主要特征：(1)对于所有对于所有N，(2)对于所有对于所有N，(3)是是 的单调下降函数。的单调下降函数。(4)随着阶次随着阶次N的增大而更加接近于的增大而更加接近于理想滤波器。理想滤波器。本讲稿第十三页，共三十三页 在设计和分析时，经常以归一化巴特沃什在设计和分析时，经常以归一化巴特沃什低通滤波器为原型滤波器。归一化低通滤波器低通滤波器为原型滤波器。归一化低通滤波器的频率响应为的频率响应为然后将然后将 用用 替代，可得替代，可得得到极点：得到极点：本讲稿第十四页，共三十三页所以所以当当N为奇数时为奇数时，极点极点当当N为偶数时为偶数时，极点极点本讲稿第十五页

10、，共三十三页 低通巴特沃什滤波器低通巴特沃什滤波器N极点图如极点图如图图5-3所示。当所示。当N为奇数时，为奇数时，在在 处有处有一极点，然后在单位圆上每隔一极点，然后在单位圆上每隔 角度就有角度就有一个极点；当一个极点；当N为偶数时，为偶数时，单位单位圆圆 处有一极点，然后在单位圆上每隔处有一极点，然后在单位圆上每隔 角度就有一个极点。角度就有一个极点。本讲稿第十六页，共三十三页)图图5-3 巴特沃什低通巴特沃什低通滤滤波器极点示意波器极点示意图图()本讲稿第十七页，共三十三页稳定的系统函数为稳定的系统函数为 可以展开为一个可以展开为一个N阶巴特沃什多项式。阶巴特沃什多项式。设计巴特沃什滤波

11、器只要确定两个参设计巴特沃什滤波器只要确定两个参数：数：滤波器的阶次滤波器的阶次N和和截止频率截止频率 。本讲稿第十八页，共三十三页 1.滤波器的阶次滤波器的阶次N为为 2.截止频率截止频率 为为 如果要求通带在如果要求通带在 处刚好达到指标处刚好达到指标 ，则，则 如果要求阻带在如果要求阻带在 处刚好达到指标处刚好达到指标 ，则，则本讲稿第十九页，共三十三页例例5.1 试设计一个巴特沃什低通滤波器，要求试设计一个巴特沃什低通滤波器，要求在在20rad/s处的幅频响应衰减不多于处的幅频响应衰减不多于-2dB，在，在30rad/s处幅频响应衰大于处幅频响应衰大于-10dB。解解 按照题意，技术指

12、标为按照题意，技术指标为所以所以因此选因此选N=4。本讲稿第二十页，共三十三页因为因为N=4，可得，可得巴特沃什低通原型滤波器的系统函数为巴特沃什低通原型滤波器的系统函数为当当 时，用时，用 对对 中的中的s进行置进行置换并简化后得换并简化后得这就是要设计的巴特沃什低通滤波器。这就是要设计的巴特沃什低通滤波器。本讲稿第二十一页，共三十三页二、切比雪夫滤波器二、切比雪夫滤波器 巴特沃什滤波器在通带边界处满足指标巴特沃什滤波器在通带边界处满足指标要求的时候，通带内肯定会有余量，因此，要求的时候，通带内肯定会有余量，因此，更有效的设计方法是将精确度均匀地分布在更有效的设计方法是将精确度均匀地分布在整

13、个通带或阻带内，这样就可以用阶数较低整个通带或阻带内，这样就可以用阶数较低的系统满足要求。此时可以选用具有等波纹的系统满足要求。此时可以选用具有等波纹特性逼近函数的切比雪夫滤波器实现。特性逼近函数的切比雪夫滤波器实现。本讲稿第二十二页，共三十三页 切比雪夫滤波器有两类，第一类是在通切比雪夫滤波器有两类，第一类是在通带内有起伏波纹，阻带内单调；第二类则是带内有起伏波纹，阻带内单调；第二类则是在阻带内有起伏波纹，通带内单调。第一类在阻带内有起伏波纹，通带内单调。第一类切比雪夫低通滤波器归一化后（即切比雪夫低通滤波器归一化后（即 ）的）的原型平方幅频响应表示式是原型平方幅频响应表示式是式中式中 为为

14、N阶切比雪夫多项式，其中阶切比雪夫多项式，其中 为为限定的波纹系数。限定的波纹系数。本讲稿第二十三页，共三十三页切比雪夫多项式可由下述公式产生：切比雪夫多项式可由下述公式产生：当当 时的初始值为时的初始值为 。图图5-4画出画出5阶切比雪夫函数图形及其对阶切比雪夫函数图形及其对应的第一类切比雪夫函数应的第一类切比雪夫函数N分别为奇数和偶分别为奇数和偶数时的平方幅频特性。可以看出，数时的平方幅频特性。可以看出，5阶切比阶切比雪夫函数在雪夫函数在 时函数值在时函数值在-1和和+1之间之间振荡。振荡。本讲稿第二十四页，共三十三页图图5-4 5阶切比雪夫函数及其滤波器相关图形阶切比雪夫函数及其滤波器相

15、关图形本讲稿第二十五页，共三十三页 由由 可得，当可得，当N为为偶数时，偶数时，当，当N为奇数时，为奇数时，。结果就是导致结果就是导致 在在N为偶数时，为偶数时，处处为为 ；在；在N为奇数时，为奇数时，处为处为1。第一类切比雪夫滤波器的第一类切比雪夫滤波器的主要特性主要特性为：为：(1)平方幅频特性在通带内，在平方幅频特性在通带内，在1和和 之间做等波纹振荡起伏，在截止频率之间做等波纹振荡起伏，在截止频率 处的值为处的值为 。本讲稿第二十六页，共三十三页 (2)平方幅频特性在过渡区和阻带内单调平方幅频特性在过渡区和阻带内单调下降，当其幅度减小到下降，当其幅度减小到 处时的频率称为处时的频率称为

16、阻带截止频率阻带截止频率 。切比雪夫滤波器的系统传递函数为切比雪夫滤波器的系统传递函数为 其中其中 为归一化因子。为归一化因子。本讲稿第二十七页，共三十三页当当N为奇数时，为奇数时，当当N为偶数时，为偶数时，切比雪夫低通滤波器的阶次切比雪夫低通滤波器的阶次N将根据技术将根据技术指标求得。指标求得。其中其中本讲稿第二十八页，共三十三页例例5.2 试设计一切比雪夫低通滤波器，使试设计一切比雪夫低通滤波器，使其满足下述指标：其满足下述指标：(1)要求在通带内的波纹起伏不大于要求在通带内的波纹起伏不大于2 dB；(2)截止频率为截止频率为40rad/s；(3)阻带阻带52 rad/s处的衰减大于处的衰

17、减大于20 dB。解解 根据题意步骤如下根据题意步骤如下 第一步，归一化处理。第一步，归一化处理。本讲稿第二十九页，共三十三页（1）归一化截止频率为）归一化截止频率为1rad/s。因为截止频。因为截止频率为率为40rad/s；所需修正系数为；所需修正系数为1/40，从而使，从而使（2）阻带）阻带52 rad/s时归一化处理时归一化处理 第二步，求波纹系数第二步，求波纹系数 以及参数以及参数A和和 。本讲稿第三十页，共三十三页(1)因为因为 得得 所以所以(2)因为因为 得得 所以所以(3)本讲稿第三十一页，共三十三页第三步，求滤波器阶次第三步，求滤波器阶次N。所以取所以取N=5。第四步，求归一化滤波器系数函数。第四步，求归一化滤波器系数函数。本讲稿第三十二页，共三十三页第五步第五步，查得极点查得极点s的取值和二次因式展开式为的取值和二次因式展开式为第六步，将上式共轭对写成二次实数形式可得第六步，将上式共轭对写成二次实数形式可得第七步，将上式进行第七步，将上式进行 变量代换，即可变量代换，即可得到需要设计的滤波器传递函数得到需要设计的滤波器传递函数本讲稿第三十三页，共三十三页