第一节对弧长的曲线积分精选文档.ppt

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1、第一节对弧长的曲线积分1本讲稿第一页，共四十三页第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十章 2本讲稿第二页，共四十三页一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占假设曲线形细长构件在空间所占弧段为弧段为AB,其线密度为其线密度为“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”可得可得为计算此构件的质量为计算此构件的质量,1.1.引例引例:曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用采用3本讲稿第三页，共四十三页设设 是空间中一条有限长的光

2、滑曲线是空间中一条有限长的光滑曲线,义在义在 上的一个有界函数上的一个有界函数,都存在都存在,上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,记作记作若通过对若通过对 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取点任意取点,2.定义定义下列下列“乘积和式极限乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线或或第一类曲线积分第一类曲线积分.称为称为被积函数被积函数，称为称为积分弧段积分弧段.曲线形构件的质量曲线形构件的质量和对和对4本讲稿第四页，共四十三页如果如果 L 是是 xoy 面上的曲线弧面上的曲线弧,如果如果 L 是闭曲线是闭曲线,则记为则记为则定义对弧长的曲线积则定义对弧长的曲线积分为分为思

3、考思考:(1)若在若在 L 上上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否否!对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.5本讲稿第五页，共四十三页6本讲稿第六页，共四十三页3.性质性质（k 为常数为常数)(由由 组成组成)(l 为曲线弧为曲线弧 的长度的长度)7本讲稿第七页，共四十三页二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理:且且上的连续函数上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线

4、积分求曲线积分求曲线积分根据定义根据定义 8本讲稿第八页，共四十三页点点设各分点对应参数为设各分点对应参数为对应参数为对应参数为 则则9本讲稿第九页，共四十三页说明说明:因此积分限必须满足因此积分限必须满足(2)注意到注意到 因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”.因此因此10本讲稿第十页，共四十三页如果曲线如果曲线 L 的方程为的方程为则有则有如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式:则则推广推广:设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为则则11本讲稿第十一页，共四十三页12本讲稿第十二页，共四十三页三三.几何与物理意义几何与物理意义Oyxz13本讲稿第十三页，

5、共四十三页14本讲稿第十四页，共四十三页例例1.计算计算其中其中 L 是抛物线是抛物线与点与点 B(1,1)之间的一段弧之间的一段弧.解解:上点上点 O(0,0)15本讲稿第十五页，共四十三页例例2.计算半径为计算半径为 R,中心角为中心角为的圆弧的圆弧 L 对于它的对对于它的对称轴的转动惯量称轴的转动惯量I(设线密度设线密度 =1).解解:建立坐标系如图建立坐标系如图,则则 16本讲稿第十六页，共四十三页例例3.计算计算其中其中L为双纽线为双纽线解解:在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为利用对称性利用对称性,得得17本讲稿第十七页，共四十三页例例4.计算曲线积分计算曲

6、线积分 其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解:线线18本讲稿第十八页，共四十三页例例5.计算计算其中其中 为球面为球面 被平面被平面 所截的圆周所截的圆周.解解:由对称性可知由对称性可知19本讲稿第十九页，共四十三页思考思考:例例5中中 改为改为计算计算解解:令令,则则圆圆 的形心的形心在原点在原点,故故,如何如何20本讲稿第二十页，共四十三页例例6.计算计算其中其中 为球面为球面解解:化为参数方程化为参数方程 则则21本讲稿第二十一页，共四十三页例例7.有一半圆弧有一半圆弧其线密度其线密度 解解:故所求引力为故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力求它对原点处单位质量质点的引力.2

7、2本讲稿第二十二页，共四十三页内容小结内容小结1.定义定义2.性质性质(l 曲线弧曲线弧 的长度的长度)23本讲稿第二十三页，共四十三页3.计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧24本讲稿第二十四页，共四十三页思考与练习思考与练习1.已知椭圆已知椭圆周长为周长为a,求求提示提示:原式原式=利用对称性利用对称性分析分析:25本讲稿第二十五页，共四十三页2.设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程为的方程为(1)求它关于求它关于 z 轴的转动惯量轴的转动惯量(2)求它的质心求它的质心.解解:设其密度为设其密度为 (常数常数).(2)L的质量的质量而而

8、(1)26本讲稿第二十六页，共四十三页故重心坐标为故重心坐标为27本讲稿第二十七页，共四十三页备用题备用题1.设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线及及所围区域的边界所围区域的边界,求求提示提示:分段积分分段积分28本讲稿第二十八页，共四十三页29本讲稿第二十九页，共四十三页2.L为球面为球面面的交线面的交线,求其形心求其形心.在第一卦限与三个坐标在第一卦限与三个坐标解解:如图所示如图所示,交线长度为交线长度为由对称性由对称性,形心坐标为形心坐标为30本讲稿第三十页，共四十三页练习练习2.3.31本讲稿第三十一页，共四十三页32本讲稿第三十二页，共四十三页例例2解解例例3解解33本讲稿

9、第三十三页，共四十三页34本讲稿第三十四页，共四十三页35本讲稿第三十五页，共四十三页36本讲稿第三十六页，共四十三页37本讲稿第三十七页，共四十三页38本讲稿第三十八页，共四十三页小结小结1.1.对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念2.2.对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算3.3.对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用39本讲稿第三十九页，共四十三页思考题思考题1,对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符的符号可能为负吗？号可能为负吗？40本讲稿第四十页，共四十三页练习题练习题41本讲稿第四十一页，共四十三页42本讲稿第四十二页，共四十三页练习题答案练习题答案 143本讲稿第四十三页，共四十三页