第一节二重积分的概念与性质精选文档.ppt

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1、第一节二重积分的概念与性质本讲稿第一页，共三十页三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义二、二重积分的定义二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 第十章第十章 本讲稿第二页，共三十页1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、引例一、引例x0z yDS曲顶柱体曲顶柱体:底底:xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D;顶顶:S:侧面侧面:以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面;回顾本讲稿第三页，共三十页x0z y DSS:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法(1)分割分割(化整为零化整为零);(2)近似近似(以平代曲

2、以平代曲):1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 i本讲稿第四页，共三十页x0z yD(3)求和求和(积零为整积零为整):.i S:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法(1)分割分割(化整为零化整为零);(2)近似近似(以平代曲以平代曲):1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积本讲稿第五页，共三十页x0z yD(4)取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细 i.(3)求和求和(积零为整积零为整):S:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法(1)分割分割(化整为零化整为零);1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(2)近似近似(以平代曲以平代曲):本讲稿第六页，共三十页x0z

3、yD.(4)取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细(3)求和求和(积零为整积零为整):S:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法(1)分割分割(化整为零化整为零);1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(2)近似近似(以平代曲以平代曲):本讲稿第七页，共三十页x0z yV.(4)取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细V=(3)求和求和(积零为整积零为整):S:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法(1)分割分割(化整为零化整为零);1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(2)近似近似(以平代曲以平代曲):本讲稿第八页，共三十页2.平面薄片的质

4、量平面薄片的质量 平面薄片平面薄片:在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.面密度面密度:D 的面积为的面积为,则则若若非常数非常数,则用则用元素法元素法:(1)分割分割(化整为零化整为零):D:(均匀薄片均匀薄片)本讲稿第九页，共三十页(2)近似近似(以不变代变以不变代变):(3)求和求和(积零为整积零为整):(4)取极限取极限:本讲稿第十页，共三十页两个问题的两个问题的共性：共性：(1)解决问题的思想和步骤相同解决问题的思想和步骤相同:(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同:“分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限”.曲顶柱体体积曲顶柱

5、体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:乘积和的极限乘积和的极限.本讲稿第十一页，共三十页二、二重积分的定义二、二重积分的定义定义定义:二重积分二重积分:(1)任意分割任意分割 D:本讲稿第十二页，共三十页积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素说明：说明：本讲稿第十三页，共三十页 在直角坐标系下用平行于坐标在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域轴的直线网来划分区域 D，故二重积分可写为故二重积分可写为D则面积元素为则面积元素为引例引例1

6、中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:本讲稿第十四页，共三十页二重积分的二重积分的几何意义几何意义:表示以表示以 f(x,y)为顶为顶以以 D 为底为底的曲顶柱体的体积的曲顶柱体的体积.本讲稿第十五页，共三十页表示曲顶柱体的体积的负值表示曲顶柱体的体积的负值(3)当当 f(x,y)在在 D 上有正有负时上有正有负时,二重积分表示曲顶柱体体积的代数和二重积分表示曲顶柱体体积的代数和.本讲稿第十六页，共三十页例例1.根据二重积分的几何意义求积分的值根据二重积分的几何意义求积分的值.解解:积分区域积分区域 被积函数被积函数-aaD上半球面上半球面,圆域圆域.本讲稿

7、第十七页，共三十页三、二重积分的性质三、二重积分的性质 为为D 的面积的面积,则则 2.积分区域可加性积分区域可加性.本讲稿第十八页，共三十页特别特别,由于由于则则4.若在若在 D 上上5.设设D 的面积为的面积为 ,则则二重积分估值不等式二重积分估值不等式本讲稿第十九页，共三十页解解:三角形斜边方程三角形斜边方程例例2.x+y=2x+y=1本讲稿第二十页，共三十页解：解：例例3.本讲稿第二十一页，共三十页例例4.解解:本讲稿第二十二页，共三十页6.(积分中值定理积分中值定理)证证:由性质由性质5 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点在闭区域在闭区域 D 上上

8、为为D 的面积的面积,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,本讲稿第二十三页，共三十页内容小结内容小结1.二重积分的定义二重积分的定义2.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似与定积分性质相似)本讲稿第二十四页，共三十页被积函数被积函数相同相同,且且非负非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:本讲稿第二十五页，共三十页2.设设 D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,则则的大小顺序为的大小顺序为()提示提示:因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有本讲稿第二

9、十六页，共三十页作业作业P137:4(1)(4),5(2)(3).本讲稿第二十七页，共三十页(1)分割分割(化整为零化整为零)(2)近似近似(以直代曲以直代曲)(3)作和作和(积零为整积零为整)yxoy=f(x)ab分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值f(i)元素法元素法回顾回顾:曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积本讲稿第二十八页，共三十页(4)取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.f(i)(1)分割分割(化整为零化整为零)(2)近似近似(以直代曲以直代曲)(3)作和作和(积零为整积零为整).分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值元素法元素法本讲稿第二十九页，共三十页yxoy=f(x).f(i)A=.Aab(4)取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细(1)分割分割(化整为零化整为零)(2)近似近似(以直代曲以直代曲)(3)作和作和(积零为整积零为整).分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值元素法元素法返回本讲稿第三十页，共三十页