第一节 导数的概念精选文档.ppt

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1、第一节第一节 导数的概念导数的概念本讲稿第一页，共二十一页位置函数为位置函数为分析：分析：当质点作匀速直线运动时，当质点作匀速直线运动时，改变量改变量 先回顾函数的改变量先回顾函数的改变量一、引例一、引例1.瞬时速度瞬时速度设一质点作变速直线运动设一质点作变速直线运动,本讲稿第二页，共二十一页在这一时间间隔内在这一时间间隔内,于是比值于是比值就是质点在就是质点在这段时间内的这段时间内的平均速度平均速度,显然显然越小越小,近似程度越好近似程度越好.则此极限值就是质点在时刻则此极限值就是质点在时刻0t的瞬时速度的瞬时速度)(0tv即即 tv=)(0记为记为即即的瞬时速度的近似值的瞬时速度的近似值,

2、可作为质点在时刻可作为质点在时刻0t若若 的极限存在。的极限存在。当质点作变速运动时，当质点作变速运动时，则不然。则不然。我们考虑从我们考虑从质点经过的路程质点经过的路程本讲稿第三页，共二十一页2质量非均匀的细杆的线密度质量非均匀的细杆的线密度将一根质量非均匀分布的细杆放在将一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上轴上,它的一它的一端位于原点，端位于原点，分布在分布在,0 x上的质量上的质量m是是x的函数的函数)(xmm=,求杆中某点求杆中某点0 x处的线密度。处的线密度。分析：分析：若细杆质量分布是均匀的若细杆质量分布是均匀的,总长度总长度总质量总质量=对质量分布是非均匀的细杆对质量分布是非均匀的

3、细杆,就不能这样计算。就不能这样计算。在在,00 x上细杆的质量为上细杆的质量为)(0 xm,在在,00 xxD D+上的上的质量为质量为细杆的细杆的质量为质量为:则它在则它在 处的线密度处的线密度于是在于是在这段长度内这段长度内 ,本讲稿第四页，共二十一页平均线密度为平均线密度为 处的线密度的近似值处的线密度的近似值 ，显然显然|xD D越小越小,近似程度近似程度若若r r的极限存在的极限存在 ,则此极限值则此极限值即即x)(0r r当当很小时很小时,上述两个实际问题的物理意义虽然不同，上述两个实际问题的物理意义虽然不同，但解决问题但解决问题的方法是相同的的方法是相同的，都是都是求函数的改变

4、量与自变量的求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限。改变量之比的极限。把这一共同点进行归纳把这一共同点进行归纳，于是得出导数定义如下：于是得出导数定义如下：越好越好 ，0 x处的线密度处的线密度)(0 xr r,就是细杆在点就是细杆在点本讲稿第五页，共二十一页处给自变量一改变量处给自变量一改变量D D x,相应相应地地函数函数y有有改变量改变量如果如果极限极限存在存在,二、导数的定义二、导数的定义则称则称函数函数)(xfy=在点在点0 x处处可导可导,并称并称此极限此极限值值为函数为函数)(xf在在0 x点点处处的的导数导数（或称（或称为函数为函数)(xf在在0 x点点处处的的 变化率变化率

5、）记为记为 或或 0|xxy=本讲稿第六页，共二十一页2.导函数导函数的的概念概念（简称简称“导数导数”）如果函数如果函数)(xfy=在开区间在开区间),(ba内每一点都可内每一点都可导导,则称函数则称函数)(xfy=在在开区间开区间),(ba内可导内可导,这时这时对于对于),(ba内的每一个确定的内的每一个确定的x值值 ,都对应着一个确都对应着一个确定的定的于是就确定了一个新的函数于是就确定了一个新的函数这个新的函数称为这个新的函数称为)(xfy=的的导函数导函数 记为记为 或或 y 或或或或 即即本讲稿第七页，共二十一页（1）先求导函数）先求导函数对于自变量在对于自变量在x给定改变量给定改

6、变量xD D ,相应地函数的相应地函数的改变量为改变量为 :从而从而 于是于是即即(2)再求导数再求导数)(xf 在在0 xx=处的函数值处的函数值本讲稿第八页，共二十一页解解(2)解解(1)求下列曲线在指定点处的切线方程与法线方程；求下列曲线在指定点处的切线方程与法线方程；练习练习本讲稿第九页，共二十一页解解 依题意：依题意：依题意：依题意：本讲稿第十页，共二十一页五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理证明证明本讲稿第十一页，共二十一页注意：注意：定理的逆命题不成立。定理的逆命题不成立。即即 一个函数在一点连续，它不一定在该点可导。一个函数在一点连续，它不一定在该点可导。函数在某点

7、连续，是函数在该点可导的必要条件。函数在某点连续，是函数在该点可导的必要条件。本讲稿第十二页，共二十一页左、右导数的概念左、右导数的概念则称此极限则称此极限)(xf0 x值为函数值为函数在点在点处的处的右导数右导数则称此极限则称此极限)(xf0 x值为函数值为函数在点在点处的处的左导数左导数根据左、右导数的概念，根据左、右导数的概念，本讲稿第十三页，共二十一页)(xf0 x函数函数在点在点处的处的右导数右导数)(xf0 x函数函数在点在点处的处的左导数左导数左导数、左导数、右导数右导数的另一种形式：的另一种形式：令令xxx=D D+0 也可以表示为：也可以表示为：也可以表示为：也可以表示为：本讲稿第十四页，共二十一页练习：练习：解解本讲稿第十五页，共二十一页用左导数、用左导数、右导数右导数 的另一种形式求的另一种形式求本讲稿第十六页，共二十一页证明：证明：不存在不存在.本讲稿第十七页，共二十一页解解本讲稿第十八页，共二十一页小结小结一、导数的定义一、导数的定义本讲稿第十九页，共二十一页求求)(xfy=的的导导数数y 一般一般步骤步骤如下：如下：本讲稿第二十页，共二十一页二、导数的几何意义二、导数的几何意义三、可导与连续的关系三、可导与连续的关系函数在某点连续，是函数在该点可导的必要条件。函数在某点连续，是函数在该点可导的必要条件。本讲稿第二十一页，共二十一页